1、五年制高职教案- 1 -13.1 不定积分的概念教学目的1正确理解原函数的概念。2掌握不定积分的定义，了解不定积分的几何意义。教学重点掌握不定积分的定义教学难点掌握不定积分的定义课外作业习题 13.1 A 组教学过程一、不定积分的概念定义 1.1 设函数 在某区间上有定义，若存在函数 ，使得该区间任)(xf )(xF一点处，均有 或 成立，则称 为 在该区间FdxfdF)(f上的一个原函数例如，因为 ， ， ，所以23)(x23)(23)(xC都是函数 的原函数，因此 的原函数如果存在，那么不Cx3,2, xf是唯一的。定理 1.1 若 是 的一个原函数，则 都是 的原函数，)(Fxf F)(
2、)(xf并且 的任一原函数度可以表示为 。)(xf C)(例 1 求下列函数的全部原函数 ：x（1） （2）xf2)(xfcos)(解：（1）因为 ，所以 是 的一个原函数，于是x2的全部原函数为xf)( CF2)(（2）因为 ，所以 是 的一个原函数，于是xcos(inxinxfcos)(的全部原函数为xfcos)()(定理 1.2 若函数 在区间 上连续，则 在 上必存在原函数。xfI)(xfI五年制高职教案- 2 -练习 13.1.1二、不定积分的概念定义 1.2 若 是 在区间 上的一个原函数，则 的全体原函数)(xFfI)(xf称为 在区间 上的不定积分，记为 ，即CxF)(fIdf
3、)(，其中 为积分号， 为被积函数， 为被xdf)(xdxf)(积表达式， 称为积分变量， 称为积分常数。C例 2 求下列各不定积分（1） （2） （3） （4）xxdcosdx1xe解：（1）因为 ，所以)(C2（2）因为 ，所以xcsinxsinc（3）因为 ，所以1)(ldl（4）因为 ，所以xe Cex例 3 求下列各式中的 )(f（1） （2）xdxfsin)( xdf1)(解：（1）由定义可知， 是 的一个原函数，所以有xFsin)(xxf coi)(（2）由定义可知， 是 的一个原函数，所以有1)(xf2)()(xFxf由不定积分与微分互为逆运算可以得到下列不定积分与微分的关系：
4、（1） 或)()(fdf dxffd)()(（2） 或CxF CF练习 13.1.2三、不定积分的几何意义五年制高职教案- 3 -设 是 的一个原函数，则曲线 称为 的一条积分曲线，)(xFf )(xFy)(f不定积分的几何意义是 的全部积分曲线所组成的积分曲线族，其方程是)(xCxy)(由于 ，因此这个曲线族中的所有积分曲线在点)( xfF处的切线互相平行，即这些切线有相同的斜率。)(,xf例 4 求经过点 ，且其切线的斜率为 的曲线方程)2,1(x2解：设所求曲线方程为 ，则由题意可知， ，于是所求的)(xFyxF2)(曲线方程为 Cxdy2又因为曲线经过点 ，则将其代入上述曲线方程，可得 ，故所求曲线),1( 1C方程为 。2xy练习 13.1.3作业 习题 13.1 A 组
