1、1第三讲：立体几何中的向量方法利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图 形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑 战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题 提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现 了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学 习 的难度，减 轻了学生学习的负担，体现
2、了新课程理念。为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文 举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此 强化向量的应 用价值，激 发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。利用向量法求空间角，不需要繁 杂的推理，只需要将几何 问题转 化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法 进行总结。教学目标1使学生会求平面的法向量；2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法；3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点求平面的法向量；求解二面角的平
3、面角的向量法.教学难点 求解二面角的平面角的向量法.教学过程、复习回顾一、回顾相关公式：1、二面角的平面角：（范围： ）,0结论： 或1nl2,21,cosn 21,cosn1nl 2n1, 21,n 21,n3102统一为：2、法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进 同出，二面角等于法向量夹角的补角.3、用空间向量解决立体几何问题 的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空 间向量表示问题 中涉及的点、直 线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把
4、向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形）、典例分析与练习例 1、如图， 是一直角梯形， ， 面 ， ， ，ABCD90ABCSABCD1BCS2AD求面 与面 所成二面角的余弦值.S分析 分别以 所在直线为 轴，,S,xyz建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量 ，CD1n平面 法向量 ，利用 夹角SBA2n12,求平面 与平面 的夹角余弦值。CDS解：如图建立空间直角坐标系 ，则xyzA)1,0(,2(),01(),0( SA易知面 的法向量为 ，SB1Dn )1,20(),21,(SDC设面 的法向量为 ，则有 ，取 ，得 ， CD),(2zyx02zyx,yx)1,2(n3
5、6|,cos2121nn又 方向朝面内， 方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角1即所求二面角的余弦值为 .36点拨 求二面角的方法有两种：（1）利用向量的加法及数量积公式求出与两半平面的棱垂直的向量的夹角，从而确定二面角的大小；（2）根据几何体的特征建立空 间直角坐标系，先求二面角两个半平面的法向量，再求法向量的夹角，从而确定二面角的大小。ABCDxzyS2121,cosnn3练习 1：正方体 的棱长为 1，点 、 分别为 、 的中点.求二面角1DCBAEFCD1的余弦值。DAEF解：由题意知， ，则)0,2(),0(E)2,0()0,(A设平面 的法向量为 ，则,zyxn
6、，取 ，得 0210yxzAEnF12zx),(又平面 的法向量为D)1,0(1A32|,cos11 n观察图形知，二面角 为锐角，所以所求二面角 的余弦值为EFDAEF32练习 2：如图，三棱柱中，已知 A BCD 是边长为 1 的正方形，四边形 是矩形，B。平 面平 面 BCDA试问：当 的长度为多少时，二面角 的大小 为 AC？60解： 如图建立空间坐标系 ，则 Axyz(1,)a(,1)D设面 的法向量为 DAC1(,)n则 得 101,a易得面 的法向量 2(,0)n向量 的夹角为12,n6由 得 121221cos,|aa当 时，二面角 的大小为 A ACD60设计说明：复习面面角
7、转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况ABxC1zy1DEF4练习 3：正三棱柱 的所有棱长均为，是侧棱 上任意一点1ABC1A当 时，求二面角 的平面角的余弦 值1P1PC解：如图建立空间坐标系 ，设OxyzAa则 的坐标分别为1, (0,)(,3,02)(,1a , 1,BC由 ，得1BCP1A即 2()0aa又 111BCP面是面 的法向量(3,2)C设面 的法向量为 ，由 得 ,1P(1,)nyz10Bn(1,32)设二面角 的大小为 ，则 1B16cos4|CnA、小结与收获1、二面角的平面角的正弦值弦 值：2、求平面法向量的方法.、课后练习1、如图,已知四棱锥 的底面是直角梯形, ,PABCD 90ABCD,侧面 底面 .2ABC求二面角 的大小.2、如图,已知正三棱柱 ABCA 1B1C1的各棱长均相等,点 D 是 BC 上一 点,ADC 1D.求二面角 CAC 1D 的大小. 2121,cs
