1、大 学 物 理 学习题解答陕西师范大学物理学与信息技术学院基础物理教学组2006-5-82说 明：该习题解答与范中和主编的大学物理学各章习题完全对应。每题基本上只给出了一种解答，可作为教师备课时的参考。题解完成后尚未核对，难免有错误和疏漏之处。望使用者谅解。编 者2006-5-83第 2 章 运动学21 一质点作直线运动，其运动方程为 , x 以 m 计，t 以 s 计。试求：2tx（1）质点从 t = 0 到 t = 3 s 时间内的位移；（2）质点在 t = 0 到 t = 3 s 时间内所通过的路程解 （1）t = 0 时，x 0 = 2 ；t =3 时，x 3 = 1；所以， m)()
2、(xx（2）本题需注意在题设时间内运动方向发生了变化。对 x 求极值，并令 02dttx可得 t = 1s ,即质点在 t = 0 到 t = 1s 内沿 x 正向运动，然后反向运动。分段计算 ， 11ttx m4)1()3(2txt路程为 m5s22 已知质点沿 x 轴作直线运动，其运动方程为 。试求：（1）326tx质点在最初 4s 内位移；（2）质点在最初 4s 时间内所通过的路程解 （1）t = 0 时， x0 = 2 ；t = 4 时，x 4 = 30所以，质点在最初 4s 内位移的大小 320（2）由 61d2tt可求得在运动中质点改变运动方向的时刻为 t1 = 2 s , t2
3、= 0 (舍去)则 ，m0.821xm442x所以，质点在最初 4 s 时间间隔内的路程为 821xs23 在星际空间飞行的一枚火箭，当它以恒定速率燃烧它的燃料时，其运动方程可表示为 ，其中 是喷出气流相对于火箭体)1ln(bttutx /s0.3u的喷射速度， 是与燃烧速率成正比的一个常量。试求：（ 1）t = 0 时刻，s/05.73b此火箭的速度和加速度；（2）t = 120 s 时，此火箭的速度和加速度解 ；)1ln(dbtutxvbtuva1d（1）t = 0 时 ， v = 0 ， 233s.m505.74（2）t = 120s 时， )1205.71ln(033v 13s.m9.
4、63s.m25.71a24 如图所示，湖中有一只小船，岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为 h ，t = 0 时，船与滑轮间的绳长为 l0 。试求：当人以匀速 v0 拉绳时，船在距岸边 x 处的速度和加速度。解 （1） 设任意时刻 t ，绳长为 l，由题意；船到岸边的水平距离为 x ，则tld02hlx小船的运动速度为 tlhlltvdd2202vxh负号表示小船在水面上向岸靠近。小船的运动速度为 )(02vlta2002d)(dxhthl负号表示加速度的方向指向岸边，小船在水面上加速靠岸。25 一升降机以加速度 上升，当上升速度为 时，有一螺丝2sm.1 1sm4.从升降机的天
5、花板上松脱，天花板与升降机的底面相距 2.74 m 。计算：（1）螺丝从升降机的天花板落到底面所需要的时间；（2）螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离 .解 （1）以地面为参考系，取 Oy 坐标轴向上 ，升降机的运动方程为201atvy螺丝的运动方程为 2gh当螺丝落至底面时，有 y1 = y2 ,即 202011gtvhat所以 s75.agt(2)螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 m716.0202gtvyhd26 已知一质点的运动方程为 (SI)。试求：（1）质点的运动jir)(2tt轨迹；（2）t = 1s 和 t = 2 s 时刻，质点的位置矢量；（ 3）1s 末和 2 s 末质点
6、的速度；vxlv0h5（4）质点的加速度。解 （1）质点在 x 、y 方向运动方程的分量形式为 x = 2t ， y = 2t 2消去时间 t , 可得 241x其运动轨迹为一抛物线（2） 时 ； 时 s1tjir21st jir242（3）质点运动的速度 v jirttd时 v1st 即 ， （ 1 为 v1 与 x 轴的夹角）m/21vo45时 v2stji即 ， （ 2 为 v2 与 x 轴的夹角）/52 63o（4）质点运动的加速度 jadt27 一质点在 Oxy 平面上运动，其运动方程为 jir2)310(tt试求：（1）质点的轨迹方程；（2）质点的速度、加速度。解 （1） 质点运动
7、方程的分量式为 ，2310tx2ty消去时间参数 t，可得运动的轨迹方程 y（2）速度 v jit46加速度 a28 一质点在 Oxy 平面上运动，其运动方程为jir )1.0cos(3)1.0sin(3tt试求质点在 5s 时的速度和加速度 。解 速度 v jir )1.0sin(3.).(.dttt 加速度 jia .co.1.0sin.3222 tttt = 5 s 时的速度为 jv)m.(加速度 ias03229 一质点从坐标原点开始沿抛物线 y = 0.5 x2 运动，它在 Ox 轴上分速度6为一恒量，试求：（1）质点的运动方程；（2）质点位于 x = 2 m 处的速度sm0.4xv
8、和加速度 。解 （1）因 为常数，故 ax = 0 。当 t = 0 时，x = 0 ，可得质点在 x 方1s0.4xv向的运动方程为 t又由质点的抛物线方程，有 28ty所以 jir4t（2）任意时刻 ； v16djt16dva由 和 x = 2，可得 t = 0.5 st4所以，当质点位于 x = 2.0 m 时，其速度 ，加速度 ji84ja16210 一汽艇以速率 沿直线行驶。发动机关闭后，汽艇因受到阻力而具有与速度0vv 成正比且方向相反的加速度 ，其中 k 为常数。试求发动机关闭后， （1）任意时a刻 t 汽艇的速度；（2）汽艇能滑行的距离。解 本题注意根据已知条件在计算过程中进行
9、适当的变量变换。（1）由 ， kvtadtv00d得 te0（2）因为 ， kststdskv00所以 v0发动机关闭后汽艇能滑行的距离为 ks/0211 一物体沿 x 轴作直线运动，其加速度为 ，k 是常数。在 t = 0 时，2va， 。试求（1）速率随坐标变化的规律；（2）坐标和速率随时间变化的规律。0vx解 本题注意变量变换。（1）因为 ； 2ddkvxtvta xkv0d0所以 ke0（2）因为 ， 2vta tkv02d0可得 10k7又因为 ， txvdtkvtxd1d00所以 )1ln(kv212 一质点沿 x 轴作直线运动，其速度大小 ， （SI 制） 。质点的初始238t位
10、置在 x 轴正方向 10 m 处，试求：（1） 时，质点的加速度；（2）质点的运动方st程；（3）第二秒内的平均速度。解 根据题意可知， 时， ，0t10s8vm0x（1）质点的加速度 ta6d时， s2t 2ms1（2） 由 ttvxd)38(2两边积分 td01因此，质点的运动方程为 3tx（3）第二秒内的平均速度为 112s.m5txtv213 质点作圆周运动，轨道半径 r = 0.2 m，以角量表示的运动方程为（SI） 。试求：（1）第 3s 末的角速度和角加速度；（2）第 3s 末的切向210t加速度和法向加速度的大小。解 （1）因为 210t故 ， ttd/ d/以 t = 3s
11、代入， ，1sar32sra（2） ， 2m.0at 2sm8.3n214 一质点在半径为 r = 0.10m 的圆周上运动，其角位置为 。 （1）在 34tt = 2.0s 时，质点的法向加速度和切向加速度各为多少？（ 2）t 为多少时，法向加速度和切向加速度的量值相等？解 (1)由于 ，则 ，342t21dttd法向加速度 4n.1tra8切向加速度 trat4.2t = 2.0s 时， ， 22n sm103st 22sm8.4dtrast（2）要使 ,则有 t rtr4)(2所以 t = 0.55 s215 一汽车发动机曲轴的转速，在 12 s 内由 20 r/s 均匀地增加到 45
12、r/s 。试求：（1）发动机曲轴转动的角加速度；（2）在这段时间内，曲轴转过的圈数。解 （1）由于角速度 （n 为单位时间内的转数） ，根据角加速度的定义2，在匀速转动中角加速度为 td 200 srad1.3)(2tnt（2）发动机曲轴转过的角度为 ttt )(21000 在 12 s 内曲轴转过的圈数为 圈392tnN216 某种电机启动后转速随时间变化的关系为 ，式中)1(20te。求：（1) t = 6 s 时的转速；(2) 角加速度随时间变化的规律；(3) 启动10srad.9后 6 s 内转过的圈数。解 (1)根据题意，将 t = 6 s 代入，即得 1020 s6.895.)e1
13、(t（2）角加速度随时间变化的规律为 2s.4dttt（3）t = 6 s 时转过的角度为 rad9.36)e1(26060 t则 t = 6 s 时电动机转过的圈数 圈87.5N217 半径为 r = 0.50m 的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比，在 t = 2 s 时，测得轮缘上一点的速度值为 。求：（1）该轮在 t = 0.5s 的角sm0.4速度，轮缘上一点的切向加速度和总加速度；（2）该点在 2s 内所转过的角度。解 由题意 ，因 R = v ,可得比例系数 2kt22rtvk所以 2)(t(1) 则 t= 0.5s 时，角速度为 1srad5.09角加速度 2s
14、rad4dt切向加速度 m1rat总加速度 n2nertt22sm01.)()(2) 在 2 s 内该点所转过的角度 rad3.52d0tt218 一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为 2 m 的圆形轨道运动。已知质点的角速度与时间的平方成正比，即 （SI 制） 。式中 k 为常数。已知质点在第 2 s 末的2kt速度为 32 m /s 。试求 t = 0.5 s 时质点的速度和加速度。解 首先确定常数 k 。已知 t = 2 s 时，v = 32 m/s , 则有 324Rtv故 ， ，24t4RvRtat8d当 t 0.5 s ， ， 12s.mt 2s.mtt 22s.mvan，22.5
15、8ntao10.4tant219 由山顶上以初速度 v0 水平抛出一小球，若取山顶为坐标原点，沿 v0 方向为 x 轴正方向，竖直向下为 y 轴正方向，从小球抛出瞬间开始计时。试求：（1）小球的轨迹方程；（2）在 t 时刻，小球的切向加速度和法向加速度。解 （1）小球在 x 轴作匀速直线运动 ， y 轴上作自由落体 tvx021gty上述两方程联立消 t， 可得小球的轨迹方程 20g（2） ， 0vxgtyt 时刻，小球的速率 202tgvyxt 时刻，小球的切向加速度 20dttat因为 ，所以，法向加速度 2ntga 202tgvagtn220 已知声音在空气中传播的速率为 344 m/s
16、 。当正西方向的风速为 30 m/s 时，声音相对于地面向东、向西和向北传播的速率各是多大？ 10解 ， m/s301v/s342v向东传播的声音的速率 m/s374021E向西传播的声音的速率 1W向北传播的声音的速率 /s34034221vN221 一架飞机从 A 处向东飞到 B 处，然后又向西飞回到 A 处。 已知 A、B 间的距离为 l，空气相对地面的速率为 u，飞机相对空气的速率 v 保持不变。试证：（1）假定空气是静止的（即 u0） ，飞机往返飞行时间为 ；lt1（2）假定空气的速度方向向东，飞机往返飞行时间为 ；22u（3）假定空气的速度方向向北，飞机往返飞行的时间为 。23vlt试证：由速度关系 v = u + v （1）u0 时，飞机往返飞行时间为 llt21（2）空气相对地面的速度为 u 向东，从 A B 所需时间为 uvl从 B A 所需时间为 vl所以，飞机往返飞行时间为 22 lvlult（3）空气相对地面的速度为 u 向北，如图 221 所示，vvu( a )A vvu( b )B习题 221从 A B，飞机相对地面的速度为 ；从 B A 飞机相对地面的速度的大小2uv与从 A B 等值，但方向相反。所以，飞机往返飞行的时间为 23llt
