1、第五章 平面向量、解三角形一一一 平面向量第一部分 三年高考荟萃2010 年高考题一、选择题1.（2010 湖南文）6. 若非零向量 a，b 满足| |,(2)0ba，则 a与 b的夹角为A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500【答案】 C2.（2010 全国卷 2理） （8） ABCV中，点 D在 AB上， C平方 AB若 Caur，Abur， 1a， ，则ur（A） 3 （B） 13ab （C） 345ab （D） 435b【答案】B 【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.【解析】因为 CD平分 AB，由角平分线定理得 A2=DBC1，所以 D为 A
2、B的三等分点，且 2(C)3，所以 1+Aab33，故选 B.3.（2010 辽宁文） （8）平面上 ,OAB三点不共线，设 ,OAaBb,则 O的面积等于（A）22()ab（B）22()b（C）221（D）221a【答案】C解析： 22111()|sin,|cos,|22 |OAB abSababab 221()ab4.（2010 辽宁理）(8)平面上 O,A,B三点不共线，设 ,OA=aBb，则OAB 的面积等于(A) 22|()abA (B) 22|()ab(C) 1| (D) 1|【答案】C【命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。【解析】
3、三角形的面积 S= 12|a|b|sin，而2221|()|()cos,ababab|cos,|sin,5.（2010 全国卷 2文） （10）ABC 中，点 D在边 AB上，CD 平分ACB，若 CB= a , CA= b , a= 1 ， b= 2, 则 C=（A） 3a + b （B） 3a + b （C） 35a + 4b （D） 45a + 3b【答案】 B【解析】B：本题考查了平面向量的基础知识 CD为角平分线， 12DBAC， ABCab， 23ADBab， 2133ba6.（2010 安徽文）(3)设向量 (1,0), 1(,)2,则下列结论中正确的是(A) ab (B)abA
4、(C) / (D) 与 垂直【答案】D【解析】 1(,)2ab=， ()0abA，所以 ab与 垂直.【规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论.7.（2010 重庆文） （3）若向量 (3,)m， (2,1)， 0A，则实数 m的值为（A） 2 （B） 3（C）2 （D）6【答案】 D解析： 60abmA，所以 =68.（2010 重庆理）(2) 已知向量 a，b 满足 0,12,ab，则 abA. 0 B. 2 C. 4 D. 8【答案】 B解析： 2ab 2)( 222 ba9.（2010 山东文） （12）定义平面向量之间的一种运算“ A”如下：对任意的 (,)am
5、n，(,)pq，令 mqnpA，下面说法错误的是(A)若 a与 b共线，则 0ab(B) (C)对任意的 R，有 ()()abA(D) 222()(|abA 【答案】B10.（2010 四川理） （5）设点 M是线段 BC的中点，点 A在直线 BC外，216,CABAC则 （ A）8 （ B）4 （ C） 2 （ D）1 解析：由 2BC16，得| BC|4 4而 CAM故 AM2【答案】C 11.（2010 天津文） （9）如图，在 ABC 中， ADB， 3CD， 1A，则AD=（A） 23 （B） 32 （C） 3 （D） 3【答案】D【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基
6、础知识，属于难题。 |cos|cos|sinACDADCADCABC sinB3【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。12.（2010 广东文）13.（2010 福建文）14.（2010 全国卷 1文） （11）已知圆 O的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么 PAB的最小值为(A) 42 (B) 32 (C) 42 (D) 32【答案】D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算
7、能力.【解析 1】如图所示：设 PA=PB=x(0),APO= ,则APB= 2，PO= 21， 21sin，|coPABP= 2(si)x=2(1)x=42x，令 ABy，则421x，即 42()0y，由 2是实数，所以1()y， 60y，解得 32y或 32y.故 min()32PAB.此时 21x.【解析 2】设 ,0， 2cos1/tancosPABP22221sinsincos1sinin 换元： 2sin,01xx，1232xPABx【解析 3】建系：园的方程为 2y，设 110(,)(,)(,AxyBPx，2211010110,AOPxyxyxyx22 20 3BPABO2210
8、1010,B15.（2010 四川文） （6）设点 M是线段 BC的中点，点 A在直线 BC外， 216， ABCA，则来源:Z|xx|k.Com（ A）8 （ B）4 （ C）2 （ D）1【答案】C解析：由 216，得| BC|4ABACB4而 M故216.（2010 湖北文）8.已知 ABC和点 M满足 0ABC.若存在实 m使得ACm成立，则 =A.2 B.3 C.4 D.517.（2010 山东理）(12)定义平面向量之间的一种运算“ A”如下，对任意的 a=(m,n)，bp,q)（，令 ab=mq-npA，下面说法错误的是（ ）A.若 与 共线，则 0 B.ab= C.对任意的 R
9、，有 a)(（ b)A D. 22()+(|abA 【答案】B【解析】若 a与 b共线，则有 =mq-np0，故 A正确；因为 pn-qm，而=mq-npA，所以有 baA，故选项 B错误，故选 B。【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。18.（2010 湖南理）4、在 RtABC中， =90AC=4，则 ABCur等于A、-16 B、-8 C、8 D、1619.(2010年安徽理)20.（2010 湖北理）5已知 ABC和点 M满足 0BC+.若存在实数 m使得ABCm成立，则 m=A2 B3 C4 D5二、填空题1.（
10、2010 上海文）13.在平面直角坐标系中，双曲线 的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)， 1(2,)e、 2(,1)e分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线 上的点 P，若 1Oab（ 、 R） ，则 a、 b满足的一个等式是 4ab1 。解析：因为 1(2,)e、 2(,)e是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为xy21，又 1,2,5bac双曲线方程为 42y， 12OPe= ),(ba，1)()2(2ba，化简得 4ab12.（2010 浙江理） （16）已知平面向量 ,(0,)满足 1，且 与 的夹角为 120，则 的取值范围是_ .解析：利用题设条件及其几何意义表示在三角形
11、中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。3.（2010 陕西文）12.已知向量 a（2，1） ， b（1， m） ， c（1，2）若（ a b） c，则m .【答案】1解析： 0)1(21/)(),1,( cbaba得由 ，所以 m=-14.（2010 江西理）13.已知向量， 满足 a， b， a与 b的夹角为 60，则【答案】 3 【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图 ,aOAbBaOAB，由余弦定理得： 3b5.（2010 浙江文） （17）在平行四边形 ABCD 中
12、，O 是 AC 与 BD 的交点，P、Q、M、N分别是线段 OA、OB、OC、OD 的中点，在 APMC 中任取一点记为 E，在 B、Q 、N、D中任取一点记为 F，设 G 为满足向量 EF的点，则在上述的点 G 组成的集合中的点，落在平行四边形 ABCD 外（不含边界）的概率为 。答案： 346.（2010 浙江文） （13）已知平面向量 ,1,2,(),则 2a的值是 答案 ： 107.（2010 天津理） （15）如图，在 ABC中， DAB, 3CD,AD,则 CA .【答案】D【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。 |cos|cos|sinAADCAD
13、CABC sinB3C【解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。8.（2010 广东理）10.若向量 ar=（1,1,x）, br=(1,2,1), cr=(1,1,1),满足条件 ()2cabrr=-2,则x= .【答案】2 (0,1)cax， ()2(0,1)(,2(1)2cabxx ，解得 x三、解答题1.（2010 江苏卷）15、 （本小题满分 14分）在平面直角坐标系 xOy中，点 A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数
14、t满足( OCtAB) =0，求 t的值。解析本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分 14分。（1） （方法一）由题设知 (3,5)(1,)A，则(2,6)4.ABCAB所以 |10,|2C故所求的两条对角线的长分别为 、 10。（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则:E为 B、C 的中点，E（0，1）又 E（0，1）为 A、D 的中点，所以 D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为 BC= 2、AD= 0；（2）由题设知： O=(2,1)， (3,5)BtOCt。由( CtAB) =0，得： (3,5)1，从而 51,所以 15t。或者： 2 Ot， (3,)AB25|OCt
