1、1上海中学 2014 学年第二学期期中考试（时间 90 分钟，满分 100 分）高一年级数学试卷2014 年 3 月一、填空题（每题 3 分，满分 36 分，请将正确答案直接填写在相应空格上）1若 ，则与 具有相同终边的最小正角为 。20o2. 已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则扇形的面积为 。53已知角 的终边经过点 ，则 。4,Pcos4. 函数 的定义域为 。2sin1(02)yx5若 ，则 。tata6若 ，化简： 。)23,(22cot1sinta1cos7.已知 ，则 。tansin(7)5()3si8.在 中, ,则这个三角形的形状是 。ABC1taB9在 中,已知 ，则这样的三
2、角形的有_ _个。6260bAo10在 内，使 的成立的 的取值范围是 。(0,2)cosintaxx11凸函数的性质定理为：如果函数 在区间 上是凸函数，则对 内的任意)(fDD，有 .函数 在nx,21 nff n)(21 12()nxfLxfsin)(区间 上是凸函数，则在 中， 的最大值为 )0(ABCsisiBC。12方程 的解可视为函数 的图像与函数 的图像的交点的横cos2xxyco2xy坐标，方程 的实数解的个数为 。012in二、选择题（每小题 4 分，满分 16 分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内）13 “ ”是“ ”成立的 ( )23ta3（A
3、）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D）非充分非必要条件。14函数 的单调递减区间是 ( )xycos（A） （B）Zkk12, Zkk2,1（C） （D）15下列函数中，周期为 的偶函数是 ( )（A） （B） （C） （D）xytancos2xy xycos2)si(co216设函数 的定义域为 ，值域为 ，则以下结论中错误的是 （ sinyx,ba1,2）（A） 的最小值为 （B） 的最大值为ab23ab43（C） 不可能等于 ， （D） 不可能等于 ，6kZ26kZ三、解答题（共 5 小题，满分 48 分，解答要有详细的论证过程与运算步骤）17 （本题满分 6
4、分）三角比内容丰富，公式很多。若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘。请你完成以下问题：（1）计算： ， 。cos28_in47i13cos58_in0i13（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论：18. （本题满分 10 分）定义： 。已知 。bxayx31cos)sin(inco（1）求 的值； （2）求 的值。2cos 24ta19.（本题满分 10 分）请研究与函数 相关的下列问题，在表中填写结论.xftan)(问 题 结 论（不需要过程） 分数求 的定义域(2)3fx求函数 的周期写出 的单调区间（指明是增还是减）()fx写出 在区间 范围内的值域24
5、,写出 图像的所有对称中心)(xf320 （本题满分 10 分）已知扇形 的半径为 3，圆心角 ，过弧 上的动点OAB60AOBAB作平行于 的直线交 于点 ，设 。PBOQP（1）求 的面积 关于 的函数解析式 ；QS)(fS（2） 为何值时， 有最大值？并求出该最大值。)(f21 （本题满分 12 分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数 的性质，并在()1sinsifxx此基础上填写下表，作出 在区间 上的图像。()fx,2解：性质 理由 结论 得分定义域值域QBO AP4奇偶性周期性单调性对称性作图 x5参考答案一、填空题
6、（每题 3 分，满分 36 分，请将正确答案直接填写在相应空格上）1若 ，则与 具有相同终边的最小正角为 。20o213o2. 已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则扇形的面积为 。553已知角 的终边经过点 ，则4,3Pcs44. 函数 的定义域为 。2sin1(02)yx5,65若 ，则 。ta4ta716若 ，化简： 。)23,(22cotsintacos17.已知 ，则 。tansin()5()3si358.在 中, ,则这个三角形的形状是 钝角三角形 。ABC1taB9在 中,已知 ，则这样的三角形的有_1_个。6260bAo10在 内，使 的成立的 的取值范围是 。(02)cosint
7、axx3(,2)11凸函数的性质定理为：如果函数 在区间 上是凸函数，则对 内的任意)(fDD，有 .函数 在nx,21 nff n)(21 12()nxfLxfsin)(区间 上是凸函数，则在 中， 的最大值为 。)0(ABCsisiBC3212方程 的解可视为函数 的图像与函数 的图像的交点的横cos2xyco2xy坐标，方程 的实数解的个数为 。012inxx12二、选择题（每小题 4 分，满分 16 分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内）13 “ ”是“ ”成立的 ( 23ta3B )（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D）非充分非
8、必要条件。14函数 的单调递减区间是 ( A )xycos（A） （B）Zkk12, Zkk2,1（C） （D）15下列函数中，周期为 的偶函数是 ( B )（A） （B） （C） （D）xytancos2xy xycos62)sin(coxy16设函数 的定义域为 ，值域为 ，则以下结论中错误的是 （ D ,ba1,2）（A） 的最小值为 （B） 的最大值为ab23ab43（C） 不可能等于 ， （D） 不可能等于 ，6kZ26kZ三、解答题（共 5 小题，满分 48 分，解答要有详细的论证过程与运算步骤）17 （本题满分 6 分）三角比内容丰富，公式很多。若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你
9、也能发现其中的一些奥秘。请你完成以下问题：（1）计算： ._130sin85coi_;13sin8co47i2 （直接写答案, 别忘记把计算器设置成“角度”呦！）（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论：（用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程 ）解：（1） 2;（2）猜想： 其中cos()s2.3in()i4xx,4xkz证明： 3),sin()sin()Q，又 ，所以等式左边=cos()i2x2sin()coi42s()4xx18. （本题满分 10 分）定义： 。已知 。bxayx31cos)sin(inc（1）求 的值； （2）求 的值。2cos 24ta解：（1
10、） 2 分， 4 分()sin1co()cosin 3 7coss19（2）由 知， ，又 6 分1cos32si3sin()2tan()4sin1co当 时， ， 2sin1tan()342当 时， 。 10 分i3t 2719.（本题满分 10 分）请研究与函数 相关的下列问题，在表中填写结论.xftan)(解：问 题 结 论求 的定义域(2)3fx 5|,21kxR()Z求函数 的周期 周期依次为写出 的单调区间（指明是增还是减）()fx 增区间 5(,)212k(k写出 在区间 范围内的值域()2f,4,U写出 图像的所有对称中心x (,0)4kZ20 （本题满分 10 分）已知扇形
11、的半径为 3，圆心角 ，过弧 上的动点OAB60AOBAB作平行于 的直线交 于点 ，设 。PBOQP（1）求 的面积 关于 的函数解析式 ；QS)(fS（2） 为何值时， 有最大值？并求出该最大值。)(f20 （1）在 中，由正弦定理得： ，POQPsinsin即 ， 。120sin3)60(sinO)60(32。)60,si21 QS（2） ， cos)602(co3)(si3 21)(cos23故当 ，即 时， 。1602(co43maxS QBO AP821 （本题满分 12 分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数 的性质，并在()1sinsifxx此基础上填写下表，作出 在区间 上的图像。()fx,2解：性质 理由 结论 得分定义域 1sinx 定义域 R1 分值域 2|co|2,4y值域 2,2 分奇偶性 ()fxf 偶函数 1 分周期性 ()(ff 周期 T2 分单调性2cos0,2()in,xf 在 上递减，,2k在 上递减,()kZ2 分对称性 ， ，()fxf()()2fxf关于直线 对称2kx()k2 分作图 2 分9
