1、不等式中恒成立问题的解法研究兴义八中 李明生在不等式的综合题中，经常会遇到当一个 结论对于某一个字母的某一个取 值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型 1：设 ，（1） 上恒成立)0()(2acbxxf Rxf在0)(；（2） 上恒成立 。0且aRf在) 0且a类型 2：设（1）当 时， 上恒成立,(在，0)(20)(fabfab或或上恒成立,0x在 f（2）当 时， 上恒成立a,)(xf在 0)(f上恒成立,0)(xf在 0)(20)(2fabfab或或类型 3： min)( xIf恒 成 立对 一 切。a)(fxx恒 成 立对 一 切类型 4：)( )()()( ma
2、xinI gxfxgIgf 的 图 象 的 上 方 或的 图 象 在恒 成 立对 一 切恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质对于一次函数 有：,)(nmxbkf 0)(0)(0)( nfmfnxf 恒 成 立恒 成 立例 1：若不等式 对满足 的所有 都成立，求 x 的范围。1(22x2解析：我们可以用改变主元的办法，将 m 视为主变元，即将元不等式化为：，；令 ，则 时，0)()(2xm)1()()2xf 2恒成立，所以只需 即 ，所以 x 的范0f 0f022围是 。)231,7(x二、
3、利用一元二次函数的判别 式对于一元二次函数 有：),0(2 Rxacbxaxf （1） 上恒成立 ；Rf在0)( 且（2） 上恒成立x在 且例 2：若不等式 的解集是 R，求 m 的范围。)1()2m解析：要想应用上面的结论，就得保 证是二次的，才有判 别 式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论 m-1 是否是 0。（1）当 m-1=0 时，元不等式化为 20 恒成立，满足题意；（2） 时，只需 ，所以， 。00)1(8)(2 )9,1三、利用函数的最值（或值域）（1） 对任意 x 都成立 ；xf)( mxfin（2） 对任意 x 都成立 。简单计作： “大的大于最大的，小的小max)(于最小
4、的”。由此看出，本 类问题实质 上是一类求函数的最 值问题。例 3：在 ABC 中，已知 恒 2|)(|,2cos4si)(2 mBfBBf 且成立，求实数 m 的范围。解析：由，1,0(sin,0,1sin2co)24(sin)( Bf ， 恒成立， ，即 恒3,1|Bf2)(Bf2)Bfm成立， (m例 4：（1）求使不等式 恒成立的实数 a 的范围。,0cosinxa解析：由于函 ，显然函数有最43,)4i(2s x大值 ， 。2如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式 恒成立的实数 a 的范围。)2,0(,cosinxa解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区
5、别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得 的最大值取不到 ，即 a 取 也满足条件，所以 。xysi 2a所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最 值，因为这直接关系到最后所求参数 a 的取值。利用 这种方法时，一般要求把参数 单独放在一 侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用 对应函数的图象法求解。例 5：已知 ，求实数恒 成 立有时当 21)(,)1(,)(,102 xfxaxfaa 的取值范围。解析：由 ，在同一直角坐标系中做出两个函数xf )(22， 得的图象，如果两个函数分别在 x=-1 和 x=1 处相交， 则由得到 a 分别等于 2 和 0
6、.5，并作出函数1221及的图象，所以，要想使函数 在区间 中恒成立，xxy)(及 xa1)1,(只须 在区间 对应的图象在 在区间 对应图象的2)1,2y上面即可。当 才能保证，而 才可以，所2a只 有时 210时 ， 只 有以 。,()12a由此可以看出，对于参数不能 单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界 处（从相等处）开始形成的。例 6：若当 P(m,n)为圆 上任意一点时，不等式 恒成立，1)(22yx 0cnm则 c 的取值范围是（ ）A、 B、 112cC、 D、 解析：由 ，可以看作是点 P(m,n)在直线 的右侧，而点 P(m,n)0cnm0c
7、yx在圆 上，实质 相当于是 在直线的右侧并与它相离或1)(22yx )(22相切。 ，故 选 D。1|2其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立 问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其 实， 对于恒成立 问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习。练习题：1、对任意实数 x，不等式 恒成立的充要条),(0cossinRcbaxba件是_。 2bc2、设 上有意义，求 实数 a 的取值范围. 。1,(7932lg在ayxx ),953、当 恒成立， 则实数 a 的范围是 _。1|),1(xLogxa时 ， ),31,0(4、已知不等式： 对一切大于 1 的自32)1(21.21aLognn然数 n 恒成立，求实数 a 的范围。 )5,(
