1、 （概率） 第 1 页 共 7 页上海交通大学 概率论与数理统计试卷 2004-01姓名: 班级: 学号: 得分: 一判断题（10 分，每题 2 分）1. 在古典概型的随机试验中， 当且仅当 是不可能事件 ( )0)(APA2连续型随机变量的密度函数 与其分布函数 相互唯一确定 ( )xf xF3若随机变量 与 独立，且都服从 的 (0，1) 分布，则 ( ) XY1.pYX4设 为离散型随机变量, 且存在正数 k 使得 ，则 的数学期0)(kP望未必存在( )XE5在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二选择题（15 分，每题
2、 3 分）1. 设每次试验成功的概率为 ，重复进行试验直到第 次才取)10(pn得 次成功的概率为 . )1(nr(a) ； (b) ；rnpC rnrnpC)(c) ； (d) .11)(nr 12. 离散型随机变量 的分布函数为 ，则 . X)(xF)(kxXP() ； () ； )1kkxP (11F() ； () .1 )(kkx3. 设随机变量 服从指数分布，则随机变量 的分布函X203,maXY数 . () 是连续函数； () 恰好有一个间断点； （概率） 第 2 页 共 7 页() 是阶梯函数； () 至少有两个间断点.4. 设随机变量 的方差 相关系数 则),(YX,1)(,4
3、)(YDX,6.0XY方差 . 23D() 40； () 34； () 25.6； () 17.6 5. 设 为总体 的一个样本， 为样本均值，则下列结,21nX 2,1NX论中正确的是 . () ； () ；)(/2tn )1,()(412nFnii() ； () .)1,0(/NX )()(21Xnii二. 填空题（28 分，每题 4 分）1. 一批电子元件共有 100 个, 次品率为 0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为 2. 设连续随机变量的密度函数为 ，则随机变量 的概率密度函数)(xf XeY3为 )(yfY3. 设 为总体 中抽取的样本( )的均
4、值, 则X)4,3N4321,X . )51(P4. 设二维随机变量 的联合密度函数为 ),(Y他其,0;1,1, xyxf则条件密度函数为,当 时 , )(fXY5. 设 ,则随机变量 服从的分布为 ( 需写出自由度 )(mtX26. 设某种保险丝熔化时间 （单位：秒） ，取 的样本，得,N16n样本均值和方差分别为 ，则 的置信度为 95%的单侧36.0152SX置信区间上限为 （概率） 第 3 页 共 7 页7. 设 的分布律为X1 2 3P2)(2)1(已知一个样本值 ，则参数的极大似然估计值,),(31x为 三. 计算题（40 分，每题 8 分） 1. 已知一批产品中 96 %是合格
5、品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是 0.02；一次品被误认为是合格品的概率是 0.05求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2设随机变量 与 相互独立， ， 分别服从参数为 的指数XYXY)(,分布，试求 的密度函数 . Z23)(zfZ3某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为 1的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52 周）售出该商品件数在 50 件到 70 件之间的概率. 4. 总体 ， 为总体 的一个样本. ),(2NX),(21nX求常数 k , 使 为 的无偏估计量. nii15 （1） 根据长
6、期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力 ),(2NX（单位：kg）. 已知 kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中8随机抽取 10 个样品，测得样本均值 kg. 问这批特种金属丝的257x平均折断力可否认为是 570 kg ？ （ ）%（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布 . 某日抽取)048.,(2N5 个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . （概率） 第 4 页 共 7 页问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用 作假设检验. %10四.证明题（7 分）设随机变量 相互独立且服从同一贝努利分布 . 试证明随机ZYX, ),1(pB变
7、量 与 相互独立.附表： 标准正态分布数值表 分布数值表 t 分布数值表26103.)28.(48.9)(05.135.2)(025.975712. 7.t.)( .)(05.9.)6(025.3802429.41.t概 率 统 计 试 卷 参 考 答 案一. 判断题（10 分，每题 2 分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15 分，每题 3 分） （） （） （） （） （）. 三. 填空题（28 分，每题 4 分）1.1/22 ； 2. ； 3.0.9772 ； 00)/ln()(1yfyfY4. 当 时 ；10x 他其)2/()( xxfXY5. 6. 上限为 15.263 .
8、7. 5 / 6 .),(mF四. 计算题（40 分，每题 8 分）1. 被查后认为是合格品的事件， 抽查的产品为合格品的事件. (2 分)AB， (4 分)9428.05.40986)()()( APBP(2 分).2./0./（概率） 第 5 页 共 7 页2. (1 分)其 他0)(xexfX 其 他0)(yeyfY时， ，从而 ； (1 分)zzFZ0)(zfZ时， (2 分)dxxfYX2/3)(21(2 分)(2/3/3/0/)( zzzxz ee 所以 0,0),(23)( 2/3/ zezf zzZ (2 分),),()( 3/2/ zezf zzZ 3. 设 为第 i 周的销
9、售量, (1 分)iX5,1iiX)1(P则一年的销售量为 ， , . (2 分) 521iiY2)(YE52D由独立同分布的中心极限定理，所求概率为(4 分)152185252)705( P. (1 分)6043.09.)8.0(.( 4. 注意到 nii XnXnX )1(12 )2(,0)( 2分DEii 12 分Ni dzenzXni 211|)(| dzenz21021 )3(1分niik|令（概率） 第 6 页 共 7 页5. (1) 要检验的假设为 (1 分)570:,570:10H检验用的统计量 ， )1,0(/NnXU拒绝域为 . (2 分)96)(25.2zz，落在拒绝域内
10、，.10.6.10/857.0 故拒绝原假设 ，即不能认为平均折断力为 570 kg . H , 落在拒绝域外，96.132.0.10/92570 U故接受原假设 ，即可以认为平均折断力为 571 kg . (1 分)(2) 要检验的假设为 (1 分)221220 048:,48.: HH 79.79检验用的统计量 ， )1()(220512 nXii拒绝域为 或48.9)(5.n(2 分)70(12.02 41.x9.x, 落在拒绝域内，48.73.50/3620 ,落在拒绝域内， 1062.58. 故拒绝原假设 ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1 分)0H五、证明题 (7 分) 由题设知0 1 0 1 2XYX(2 分)PpqP2qp； )()(),(3ZZY）分（ 22k（概率） 第 7 页 共 7 页； )1(0()1,0(2ZPYXpqZYXP；)(),(2；0202ZPYXpqZYXP. )1()1,(3所以 与 相互独立. (5 分)
