1、Yz.Liu.2013.09卷终 公式表注解四基本不定积分表序言：微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不
2、在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。本表收录公式 16 组，151 式。公式一 基本初等函数的不定积分 18 式：幂函数1,;(1).ln|.xCxd指数函数 (2).l3xxaed对数函数(4).logllog5naaaxxeC三角函数 (6).sics7oi8.tanl|(9)csi1sin10.el|ctan|l2()s|so|ta|xdxCxxdCx反三角函数 212.arcinarci1(3)ossxdxC24.rtrtnl()1(15)acacoxdx2(16).arcsearcseln(1)7xdxC常数函数 (8).RC上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均
3、可以由分部积分公式给出，特别的，对于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。公式二 含 的积分（要指出 非零）10 式：axba21(19).120)(),().ln|dxCxbaxb 对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。 222231().(l|)3)(ln|xdabCaxaxbaxb 对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式 ，则得其积分1b是显的： 。而第二式依然采取类11()l|xbddxxCaaa似的方式，可借由带余多项式除法算得： ，然后2 21()babx利用第一个积分式即可得到结论。 221(4).ln)5xbdCxaba对于分母是二次多
4、项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所得到的。我们注意第一式中有 ，11()(/)/bxabxaxa积分即得。对于第二式依然可用分离拆项的方式： ，然后22()b积分即可，而一般对于拆项，常用待定系数的方法完成。 2 23221(6).ln|7l|(8).)()xdaxbCabbaxxab公式三 含 的积分 9 式axb3322 233(9).()30()15(1). 8()0dCaxbxabC第一式的证明用凑微分的方式即可完成。而有了第一式的结论，第二式可用分部积分完成计算。我们有： 332()()xxabdxaxbdabaxbd 其中，对上式右侧的 再次使
5、用凑微分的方法，即可得解：32()53 22 233 322 4()()()1() 3()5xxxCaaabdbbaxbC同理利用分部积分可以将第三式拆开，并以第二式证明之。 22 2(3).()348)15xaxadbaxbCb利用凑微分的方式，我们显然有不定积分 ，本1()2daxbC组公式可以考虑用此公式，并使用分部积分即可证明一式： 322 24()4()()33xxdaxbabCabC二式同理使用分部积分，并利用一式的结论即可证明。 1ln,0(4).2arct,xbdxabC该公式是重要的不定积分之一，它可以解决一类带有 的不定积分等式。但是axb该积分是不好计算的，首先分部积分就
6、不容易得出结果，而另一方面我们也无法进行一个显然的凑微分，因此对于这一类带有根号式的积分，往往是先强行换掉根号，再作观察。因此令 ，于是 ，2,tbtaxbtdxa221()dtdttbabxa显然看到的是这个不定积分的结果需要讨论 的正负来决定之后使用的不定积分公式：如b果 是负的，那么显然会使用反三角，如果 是正的，则可能使用三角换元：2 2secln|ta|2110: (sinarc/)sinrc(/)aor(/)lseri(/)tarcsi(/)1irc(/)lsxdxCbt dtbbtbdtCtbb AA211lnln(/)btbt然后将 带入上式得原积分 。另外对于axt2l,0a
7、xdtb负的 ，有：b2221110: arctn| |/|arctntdtt CbbtxCb 即原积分 。该不定积分公式对于负数的 计算是很容易的。2t,0bb02 02(35). 26.(37). 2dxadxCxabbaxbdxdxab注意到微分公式 ，故上面公式均可以分部积分公式指出。公式四 含有 的积分 3 式2a 02212211(38).rctn| 39 .)()()()(40).lnnndxxCdxCaaxa 一式用凑微分的方式以及微分公式 容易得出。第二式是利用分部2(rct)1dx积分公式给出的递推式的形式：通过这个递推关系逐步下降分母的幂直到一式的情形，然后带入一式即可得
8、解。三式是有理分式的不定积分，通常是将之拆分为两个容易计算的分式，则不难得出结果： 21ln|l|2dxdxaxCaa公式五 含有 的积分 7 式2(0)axb除开显然的 不列为公式表所用之公式外，其余均与3xdC有关，不过在下面公式的推理中，我们可以肯定的是推理可能是不唯一的，因此某2axb些推理也是可能涉及了该公式的。 21arctn,0(41). l,xbbdxaC是一个需要分类讨论的积分。显然的可以发现这个被积函数的形式与反正切是有关的，不过反正切的分母是加法运算，因此如果这里 是负的，那么就不能适用反正切，这b导致了积分需要分类讨论之。 22 2 222111arctn,0sinar
9、c1|arcsin1sinarc1loaxb bxbb badxdxCab dxddxx 1si,selnl,02 CCxCx该公式的证明中再一次的遇到了 形式的不定积分，虽然这里我采用的是换元为三2dxa角函数的方法，而并非使用公式四中利用有理函数积分的性质来推理，但是三角换元计算不定积分是值得深入探讨和学习的计算方法，也许在这个公式中体现不出来，但是在某些场合下，三角换元无疑是强大的。 22 022 023221(4).ln|3().l)1451(6).ln)7xdaxbCabxaxbddCabxxba 02一式是显然的。在这组公式中，除了一式之外，后者在各种场合的运用还是相对频繁的。二式
10、、三式都是典型的有理函数的不定积分问题，可以采取分离常数的方法来求解，其推理及其陈述如下： 22 211xaxbbddxdxaba 222 221ln()()()lnllndaxCbxCbx 类似的对于之后的不定积分，依然可以拆项： 2222333232221 1()()()11()lnadadxabxbdxdx dxbbaC但是对于最后一式，拆项显然是不理想的，分子也不具备变量以进行凑微分，因此从分母考虑： 2222221()111()()axdaxbddbaxbxaxx接着带入公式（45）即得所证。公式六 含有 的积分 2 式20abc先给出最基本的积分： 222 222arctn,444
11、(48). 1l ,xbCacdxabc b 该积分的证明需要分情形处理。一般来说，如果分母的二次式对应的二次方程是有根的，那么其不定积分可以考虑因式分解的方式拆分成两个分式之和，而对于无实数解的情形，可以考虑配方的方式，并利用反三角函数的微分公式得到该不定积分的证明，不过在此我将使用另一种方式证明上述公式，我将在此引入虚数单位 ，并规定 ：i21i2 11ln()dxdx xRdxCabcRSaxRSaS这里的 为 的两根，则：,RS0如果 ，那么 ，24222444bcbcbac则积分式即为 2 12 2214ln, Consta444axbcCRSbcbacbc否则为 ，则积分变为：24
12、iacbiRS2221LnLnConsta()()stln arg()()xaxbiCiiabiixaxbixbi422 onsta1l Ct1argConstaib ixi 这里值得注意的是辐角 的取值问题，我们选择 这个区间并考虑反2rbix,2正切表示，则这时候辐角中所给之复数必须保证实部恒正或恒负，但由判别式 依240bac然无法断言 之正负，这对反正切的表示是不利的，因此考虑对辐角进一步转化，一2axb个方便的方法是对分式上下乘以 1 个虚数单位，则： 22()()rgarg2arg2a(1) ctn()ixbixibi将该式与 带入不定积分式，得：2Const4cb22222arg
13、Constact444artndxxbicbcbxb虽然此方法比较复杂，但是可以说明的是，以复数进行实数的不定积分是可能的。 22 21(49).l|x dxdcabcabc 以拆项的方式来拆分为两个不定积分，这是及其显然的： 222211axbxxax公式七 含有 的积分 14 式(0)含 的不定积分，通常会考虑的变换是 ，特别是出现在2()a 21tnsec分母中的根式，这样做的好处不但可以抵消根式，同时可以处理并约分掉分母中的积分变量，以大幅度化简积分运算。不过在很多时候，我们也常常考虑双曲换元来完成，这是因为对于正切与正割之间的关系式运算在某些时候没有双曲函数简便。下面几个公式都是可以
14、通过换元得到的： 2122322322 2232(50).arsinhl()1)(). 15)(4). ln()5.)dxxCxaCxdaCxaxdxaaxa第一式是典型的反双曲三角函数的微分，以及反双曲三角函数的定义式所得，事实上，我们设 ，因此对于第一个22arsinhcoscosh1indxdxydyyy不定积分式，采用凑的方式即刻得之。二式也是典型的双曲换元得到的等式： sinh2222323 1(tah)tan()(s)xayd yCa A其中，将 回带，即得之所证。arinh2222 21i1t ()xxyaxA三、四均是由微分公式 直接可推论的结果。然而如果对于三式没有直接dx观
15、察到亦不妨以双曲换元的得出： sinh 22cos1shxayydCaxaA于是四式也可如法炮制： sinh23/ 23/2222iin1(cos)()(cs)cs shxayd dyCx y 五式、六式可以凑得之： ， ，再2dxa232()xxa以分部积分得： 2 222222sinh223222ln()sinhco41()xay xdxdaCx ydaCxdx a A这样就完成了五式和六式。 2 222221 23 4223242(56). ln()arsinh7)(5)l()881(8). 159()ln()xaxxadxaCCxxadaaxa一式三角换元是显然的。但值得注意的是双曲正
16、弦与对数之间的关系是： 222arsinhl1ln(1)l(1)Constaxxxa二式以双曲换元得到积分 ，以降幂进行变形，所得积分的计算是容易的：4coshd421cosh1xxdx在得出结果之后，再以（二）倍角公式将 和 还原为 即得二式右侧。三式凑的方式即得其之所证。四式以分部积分，并二式，即得之所证。 2222 22221(60).ln|1.(6). ln|3. ()dxxaCaxxadxaC先以换元的方式将一式转化为三角积分或者双曲积分。转化三角积分时，以正切与正割的恒等式可得 ，转化双曲积时，以双曲正弦或双曲余弦的恒2sec1sctanydy等式可得 ，最后以余割或双曲余割的积分
17、得到结果。2ohhi二式典型的转化为三角积分 ，这是典型的22se1secscottantandyydy余割函数的导数公式 。1(cs) oixx注意到 ，带入一式。又22222a xdda注意到 ，带入（50）式。22 2xadxx公式八 含 的积分 6 式(0)abc221(64).ln|2|dxaxbxbcCabc利用最值公式对分母配方，得： 22 222222221441 lnln4()4ll dx aaccbbcaxxbCaxaxbaca 21n2n| |l| |baxaxcC222 234(65). ln| |48abbcdxabxcC首配方，再凑微分，并公式（56） ，得： 22 222 222 22 44144(lnacbcbaxbcdxdxdxaaacbbacbx C 232222222322 233 4)ln8l4ln48()ln84ln| |4ln8 acbaxadxbxcbaxbcacCxbacbxxaxbcac 22 23()84ln| |4xbacbxxaxbcC
