1、- 1 -习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时 , 连续 5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续 5 次都命中，至少要投 5 次以上，故 ；,7651(2) 掷一颗匀称的骰子两次 , 观察前后两次出现的点数之和 ;解： ；124,32(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从 0 到无穷，所以 ；,2103(4) 从编号为 1，2，3，4，5 的 5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：;,4jij(5) 检查两件产品是否合格 ;解：用 0 表示合格,
2、 1 表示不合格，则 ；1,0,5(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于 T1, 最高气温不高于 T2);解：用 表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：xy；216,Tx(7) 在单位圆内任取两点 , 观察这两点的距离 ;解： ；07x(8) 在长为 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.l解： ；lyxxy081.2 (1) A 与 B 都发生, 但 C 不发生; ；AB(2) A 发生, 且 B 与 C 至少有一个发生; ；)(C(3) A,B,C 中至少有一个发生; ；- 2 -(4) A,B,C 中恰有一个发生;
3、；CBABA(5) A,B,C 中至少有两个发生; ；(6) A,B,C 中至多有一个发生; ；(7) A;B;C 中至多有两个发生; ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生. ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3 设样本空间 , 事件 = ,20xA15.0x6.18.0xB具体写出下列各事件：(1) ; (2) ; (3) ; (4) ABB（1 ） ；18.0x(2) = ；.5(3) = ; BA28.0xx(4) = 6.1501.6 按从小到大次序排列 , 并说明理由.)(),(,(), BPABAP解：由于 故 ，而由加法公式，有：,AB)()(P1.7 解
4、：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为： 175.0)()()( WEPEWP- 3 -(2) 由于事件 可以分解为互斥事件 ，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事WEW件 概率为： 1.0)()(PEP(3) 昆虫未出现残翅 , 也无退化性眼睛的概率为： .8250)(1)(EWP1.8 解：(1) 由于 ，故 显然当 时 P(AB) BA, ),(),(BAPA取到最大值。 最大值是 0.6.(2) 由于 。显然当 时 P(AB) 取到最小)()()(P 1)(值，最小值是 0.4.1.9 解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0. 至少有一个发生的概率为：CBA
5、, 7.0)()()()()()( ABCPBCPPCBAP1.10 解（1 ） 通过作图，可以知道， 3.0)()(BPABP（2 ） 61)()(ABP7.0)(1)()( )()(1)3 AB由 于1.11 解：用 表示事件“杯中球的最大个数为 个” =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有iAi种，每种放法等可能。46- 4 -对事件 ：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法 432 种，故1A 83)(1AP(选排列：好比 3 个球在 4 个位置做排列) 。对事件 ：必须三球都放入一杯中。放法有 4 种。(只需从 4 个杯中选 1 个杯子，放入此3A3 个球，选法有 4 种) ，故
6、。16)(3AP69183)21.12解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为 36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2 ，1）。故前后两次出现的点数之和为 3 的概率为。8同理可以求得前后两次出现的点数之和为 4，5 的概率各是 。91,2(1) 1.13 解：从 10 个数中任取三个数，共有 种取法，亦即基本事件总数为 120。1203C(1) 若要三个数中最小的一个是 5，先要保证取得 5，再从大于 5 的四个数里取两个，取法有 种，故所求概率为 。624C20(2) 若要三个数中最大的一个是 5，先要保证取得 5，再从小于 5 的五个数里取两个，取
7、法有 种，故所求概率为 。1025 11.14 解：分别用 表示事件：321,A(1) 取到两只黄球 ; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则。,16)(,3468)( 21421 CPCP 316)()(213APAP1.15 - 5 -解： )()()( BPABPAP由于 ，故0)(B 5.0)()()( 1.16(1) （2）);(BAP);(BAP解：（1） ;8.054.1)(1)( BAPAP（2） ;6.)()(注意：因为 ，所以 。5.0BAP5.0)(1(BAP1.17 解：用 表示事件“第 次取到的是正品”（ ），则 表示事件“第 次取到的i i
8、3,21ii i是次品”（ ）。3,211 12153421(),()()20498PAPAPA(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品 ”的概率为：。3125()8PA(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：1231213125435()()()09182PA（3 ） 事件“第三次取到次品 ”的概率为：此题要注意区分事件（1）、 (2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用 表示事件 “第 次取到的是正品”（iAi），2,i- 6 -则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为： ；而事件1)(2A
9、P“第二次才取到次品”的概率为： 。区别是显然的。1)()(2121AP1.18。解：用 表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数 ”。用 表示事件“从)2,10(iA iB第二箱中取到的是次品”。则 21 212044146(),(),(),999CCCPPPA， ， ，0()2BA1()BA23()根据全概率公式，有： 283)()()()( 2100 ABPPP1.19解：设 表示事件“所用小麦种子为 等种子”，)3,21(iAi表示事件“种子所结的穗有 50 颗以上麦粒”。B则 ， ，123()0.9,()0.5,()0.,PPA1()0.5BA2()0.15PBA，根据全概率公式，有
10、：3A 4705.)()()()( 33221 B1.20 解：用 表示色盲， 表示男性，则 表示女性，由已知条件，显然有：BA因此：,025.)(,05.)(,49.0)(,51.)( ABPPA- 7 -根据贝叶斯公式，所求概率为： 1502)()()()()( ABPAPBAPBAP1.21 解：用 表示对试验呈阳性反应， 表示癌症患者，则 表示非癌症患者，显然有：BAA,01.)(,95.0)(,95.0)(,5.0)( BPAP因此根据贝叶斯公式，所求概率为： 2945)()()()()( ABPAPBAPBAP1.22 (1) 求该批产品的合格率 ;(2) 从该 10 箱中任取一箱
11、, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少?解：设， , 321 产 品 为 丙 厂 生 产产 品 为 乙 厂 生 产产 品 为 甲 厂 生 产 BBB，则产 品 为 合 格 品A（1 ） 根据全概率公式， ，该批94.0)()()()( 321 BAPBAPBPA产品的合格率为 0.94.（2 ） 根据贝叶斯公式， 941)()()()( 32111同理可以求得 ，因此，从该 10 箱中任取一箱, 再从这箱中任472)(,927)(3ABP取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：。47291- 8 -1.23
12、解：记 =目标被击中 ，则A 94.0)71(8.0)9.1()(1)( AP1.24 解：记 =四次独立试验，事件 A 至少发生一次， =四次独立试验，事件 A 一次也不4 4发生。而 ，因此 。所以5904.)(AP 4096.)()1)(4 PAP2.81,8.0)(三次独立试验中, 事件 A 发生一次的概率为： 。384.06.23)(1)(3 APC二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充：（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A 时，P(A-B)=
13、P(A)-P(B)当 A= 时，P( )=1- P(B)（12）条件概率定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称 为事件 A 发生条件下，)(PB事件 B 发生的条件概率，记为 。)/(A（16）贝叶斯公式，i=1，2，n。nj jjiii BAPAP1)/()/(此公式即为贝叶斯公式。- 9 -第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/362.2 解：根据 ，得 ，即 。1)(0kX10kae1ea故 ea2.3 解：用 X 表示甲在两次投篮中所投
14、中的次数，XB(2,0.7)用 Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, YB(2,0.4)(1) 两人投中的次数相同PX=Y= PX=0,Y=0+ PX=1,Y=1 +PX=2,Y=2=00112222 002 2.73.460.73.406.73.46.3124CCC(2)甲比乙投中的次数多PXY= PX=1,Y=0+ PX=2,Y=0 +PX=2,Y=1=102021022 2 2.73.46.73.46.73.460.5282.4 解:（1）P1X 3= PX=1+ PX=2+ PX=3= 155(2) P0.5X2.5=PX=1+ PX=2= 152.5 解：（ 1）PX=2,4,6,=
15、 =24621k 1()43klim（2）P X3=1PX3=1PX=1- PX=2=14- 10 -2.6 解：设 表示第 i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为 0，1，2iA=123412131241230()|)(|)(|)PXPAAPA1876529911234123423412348768768687622090909095A115PXPX2.6 解： (1)设 X 表示 4 次独立试验中 A 发生的次数，则 XB(4,0.4)34104(3)()()0.6.6.1792C(2)设 Y 表示 5 次独立试验中 A 发生的次数，则 YB(5,0.4)34521055(3)()(4)()0.6.0.46.3174PXPXC2.7 （1）XP()=P(0. 53)= P(1.5)=01.5!e.（2 ） XP()=P(0.54)= P(2) 012221013!PPXee2.8 解：设应配备 m 名设备维修人员。又设发生故障的设备数为 X，则 。)01.,8(B依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于 0.99，即 ，也即9.)(mP01.)(mXP因为 n=180 较大， p=0.01 较小，所以 X 近似服从参数为 的泊松分布。8.10
