1、第 - 1 - 页 共 39 页教 师版高中数学必修+选修知识点归纳安徽合肥 郭建德老师整理引言1.课程内容：必修课程由 5 个模块组成：必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修 3：算法初步、统计、概率。必修 4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修 5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时， 进一步强调了这些知 识的发生、
2、发展过程和实际应用，而不在技巧与 难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有 4 个系列：系列 1：由 2 个模块组成。选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。选修 12：统计案例、推理与证明、数系的 扩充与复数、框图系列 2：由 3 个模块组成。选修 21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修 22：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修 23：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。系列 3：由 6 个专题组成。选修 31：数学史选讲。选修 32：信息安全与密码。选修 33：球面上的几何。选修 34：对称
3、与群。选修 35：欧拉公式与闭曲面分类。选修 36：三等分角与数域扩充。系列 4：由 10 个专题组成。选修 41：几何证明选讲。选修 42：矩阵与变换。选修 43：数列与差分。选修 44：坐标系与参数方程。选修 45：不等式选讲。选修 46：初等数论初步。选修 47：优选法与试验设计初步。选修 48：统筹法与图论初步。选修 49：风险与决策。选修 410：开关电路与布尔代数。2重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：集合与简易逻辑:集合的概念与运算、 简易逻辑、充要条件函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反
4、函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、 圆、直线与圆的位置关系圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物 线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用第 - 2 - 页 共 39 页直线、平面、简
5、单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布导数：导数的概念、求导、 导数的应用复数：复数的概念与运算必修 1 数学知识点第一章：集合与函数概念1.1.1、集合1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。3、 常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合：*N，有理数集合： ，实数集合 ： .ZQR4、集合的表示方法：列举法、描述法 .1.1.2、集合间的基本关系
6、1、 一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A是集合 B 的子集。记作 .2、 如果集合 ，但存在元素 ，且 ，x则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作：A B.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集.4、 如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有 个n2子集， 个真子集.21n1.1.3、集合间的基本运算1、 一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集.记作： .2、 一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B
7、的交集.记作： .3、全集、补集？ |,UCxU且1.2.1、函数的概念1、 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 A 中的任意一个数 ，在f x集合 B 中都有惟一确定的数 和它对应，那f么就称 为集合 A 到集合 B 的一个函数，:记作： .xfy,2、 一个函数的构成要素为：定义域、 对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：解析法、 图象法、列表法 .1.3.1、单调性与最大（小）值1、注意函数单调性的证明方法：(1)定义法：设 那么2121,xbax、上是增函数；
8、)(0)(ffxf 在上是减函数.,21在步骤：取值作差变形定号判断格式：解：设 且 ，则：bax,121x=21fxf(2)导数法：设函数 在某个区间内可导，)(fy若 ，则 为增函数；0)(若 ，则 为减函数.fx1.3.2、奇偶性1、 一般地，如果对于函数 的定义域内任意一f个 ，都有 ，那么就称函数xxf为偶函数.偶函数图象关于 轴对称.f y2、 一般地，如果对于函数 的定义域内任意一xf个 ，都有 ，那么就称函数xf为奇函数.奇函数图象关于原点对称.f知识链接：函数与导数1、函数 在点 处的导数的几何意义：)(xfy0函数 在点 处的导数是曲线 在)(xfy处的切线的斜率 ，相应的
9、切线)(,0fP)(0xf方程是 .)(0xfy2、几种常见函数的导数 ； ； C1nn； ；xcos)(sin xsi)(c第 - 3 - 页 共 39 页 ； ； axln)(xe)(；al1log 1l3、导数的运算法则（1） . ()uv（2） . （3） .2()(0)4、复合函数求导法则复合函数 的导数和函数yfgx的导数间的关系为 ，(),()yfuxuxy即 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的xu乘积.解题步骤:分层层层求导 作积还原.5、函数的极值(1)极值定义：极值是在 附近所有的点，都有 ，0x)(xf)0f则 是函数 的极大值；)(0f)(f极值是在 附近所有的
10、点，都有 ，0x)(xf)0f则 是函数 的极小值.)(0f)(f(2)判别方法：如果在 附近的左侧 0，右侧0x)(xf0，那么 是极大值；)(f )(f如果在 附近的左侧 0，右侧0x)(xf0，那么 是极小值.)(f )(f6、求函数的最值(1)求 在 内的极值（极大或者极小值）()yfx,ab(2)将 的各极值点与 比较，其()f(),fb中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质） ；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质) 。第二章：基本初等函数（）2.1.1、指数与指数幂的运算1、 一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方axnxan根
11、。其中 .N,12、 当 为奇数时， ；nn当 为偶数时， .a3、 我们规定： mna；1,0*N ；1an4、 运算性质： ；Qsrsrsr,0 ；arsr , .rbbrr2.1.2、指数函数及其性质1、记住图象： 1,0ayx2、性质：2.2.1、对数与对数运算1a10a图象654321-1-4 -2 2 4 60654321-1-4 -2 2 4 60(1)定义域：R（2）值域：（0，+）（3）过定点（0，1） ，即 x=0 时，y=1（4）在 R 上是增函数 （4）在 R 上是减函数性质(5) ;,1xa(5) ;0,1xax 011y=axoy x第 - 4 - 页 共 39 页
12、1、指数与对数互化式： ；logxaaN2、对数恒等式： .loga3、基本性质： ， .011la4、运算性质：当 时：0,NMa ；Nalogllog ；aaalll .Mnaalogl5、换底公式： bcall.0,1,0ca6、重要公式： loglnmaa7、倒数关系： bll.1,0,a2.2.2、对数函数及其性质1、记住图象： 1,0logaxya2、性质：2.3、幂函数1、几种幂函数的图象：第三章：函数的应用3.1.1、方程的根与函数的零点1、方程 有实根0xf函数 的图象与 轴有交点fyx函数 有零点.2、 零点存在性定理：如果函数 在区间 上的图象是连续不断xfyba,的一条
13、曲线，并且有 ，那么函数0f在区间 内有零点，即存在 ，xfy, bac,使得 ，这个 也就是方程 的根.0ccxf3.1.2、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.3.2.1、几类不同增长的函数模型3.2.2、函数模型的应用举例1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.必修 2 数学知识点第一章：空间几何体1、空间几何体的结构常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与1a10a
14、图象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 832.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 8(1)定义域：（0，+）（2）值域：R（3）过定点（1，0） ，即 x=1 时，y=0（4）在 （0，+）上是增函数 （4）在（0，+）上是减函数性质(5) ；log,xa(5) ；0log,1xa 011y=logaxoy x第 - 5 - 页 共 39 页截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照
15、射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。3、空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积； lrS2侧 面圆锥侧面积： lrS侧 面圆台侧面积： lRlrS侧 面体积公式：； ；hV柱 体 h31锥 体SS下下上上台 体 31球的表面积和体积：.3244R球球 ，第二章：点、直线、平面之间的位置关系1、公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。2、公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。3、公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。4、公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行.5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行
16、，那么这两个角相等或互补。6、线线位置关系：平行、相交、异面。7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行：判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行） 。性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则线线平行） 。10、面面平行：判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行） 。性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行） 。11、线面垂直：
17、定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直） 。性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面面垂直：定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直） 。性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 （简称面面垂直，则线面垂直） 。第三章：直线与方程1、倾斜角与斜率： 12tanxyk2、直线方程：点斜式： 00xy斜截式：
18、bk两点式： 121yyxx截距式： ab一般式： 0CByAx3、对于直线：有：2211:,: bxkylbxkyl 第 - 6 - 页 共 39 页 ；2121/bkl 和 相交 ；1l2 和 重合 ；1l221bk .221l4、对于直线：有：0:,2211CyBxAl ；12121/Al 和 相交 ；1l2B 和 重合 ；1l2121C .0221Al5、两点间距离公式： 212121 yxP6、点到直线距离公式： 20BACyd7、两平行线间的距离公式： 与 ： 平行，1l1yx2l02CByAx则 2BACd第四章：圆与方程1、圆的方程：标准方程： 22rbyax其中圆心为 ，半径
19、为 .(,)b一般方程： .02FEyDxy其中圆心为 ，半径为(,)2DE.14rF2、直线与圆的位置关系直线 与圆0CByAx的位置关系有三种:22)()(rba;中d;0. 中r弦长公式： 2dl1212()4kxx3、两圆位置关系： O外离： ；rRd外切： ；相交： ；内切： ；内含： .r3、空间中两点间距离公式： 21212121 zyxP必修 3 数学知识点第一章：算法1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；2、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；3、算法的三种基本结构：顺序结构、条件结构、循环结构 当 型 循 环 结 构直 到 型
20、循 环 结 构顺序结构示意图：语句 n+1语句 n第 - 7 - 页 共 39 页（图 1）条件结构示意图：IF-THEN-ELSE 格式：（图 2）IF-THEN 格式：（图 3）循环结构示意图：当型（WHILE 型）循环结构示意图：（图 4）直到型（UNTIL 型）循环结构示意图：（图 5）4、基本算法语句：输入语句的一般格式： INPUT“提示内容” ；变量输出语句的一般格式： PRINT“提示内容” ；表达式赋值语句的一般格式： 变量表达式 （“=”有时也用“” ）.条件语句的一般格式有两种：IFTHENELSE 语句的一般格式为：IFTHEN 语句的一般格式为：循环语句的一般格式是两
21、种：当型循环（WHILE）语句的一般格式：直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：算法案例：辗转相除法 结果是以相除余数为 0 而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：）：用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商和一个余数 ；0S0RIF 条件 THEN语句 1ELSE语句 2END IFIF 条件 THEN语句END IF （图3）（图2）WHILE 条件循环体WEND （图4）DO循环体LOOP UNTIL 条件（图5）满足条件？语句 1 语句 2是否满足条件？语句是否满足条件？循环体是否满足条件？循环体是否第 - 8 - 页 共 39 页）：若 0，则 n 为 m，n 的最大公约
22、数；若R0，则用除数 n 除以余数 得到一个商 和一0 0R1S个余数 ；1）：若 0，则 为 m，n 的最大公约数；若10，则用除数 除以余数 得到一个商 和一2个余数 ；2依次计算直至 0，此时所得到的 即为所n1n求的最大公约数。更相减损术 结果是以减数与差相等而得到利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，执行第二步。）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。进位制十进制数化为 k 进制数除 k 取余法k 进制数化
23、为十进制数第二章：统计1、抽样方法：简单随机抽样（总体个数较少）系统抽样（总体个数较多）分层抽样（总体中差异明显）注意：在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为 。N2、总体分布的估计：一表二图：频率分布表数据详实频率分布直方图分布直观频率分布折线图便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。茎叶图：茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。3、总体特征数的估计：平均数： ；nxxn321取值为 的频率分别为 ，则其x,21 np,
24、21平均数为 ；npxp注意：频率分布表计算平均数要取组中值。方差与标准差：一组样本数据 nx,21方差： ；212)(niixs标准差：21)(niixs注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。线性回归方程变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；制作散点图，判断线性相关关系线性回归方程： （最小二乘法）abxy12niixbayx注意：线性回归直线经过定点 。),(yx第三章：概率1、随机事件及其概率：事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；必然事件、不可能事件、随机事件的特点；随机事件 A 的概率： .1)(0,)(APn
25、m2、古典概型：基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件都是等可能发生。古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有 n 个，事件 A 包含了其中的 m 个基本事件，则事件 A 发生的概率 .nP)(3、几何概型：几何概型的特点：所有的基本事件是无限个；每个基本事件都是等可能发生。第 - 9 - 页 共 39 页几何概型概率计算公式： ；的 测 度的 测 度DdAP)(其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。4、互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；如果事件 任意两个都是互斥事件，则nA,21称事件 彼此
26、互斥。A,如果事件 A，B 互斥，那么事件 A+B 发生的概率，等于事件 A，B 发生的概率的和，即： )()(BPP如果事件 彼此互斥，则有：n,21 )()()( 211 nAAA对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。事件 的对立事件记作 )(1)(,)(APAP对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。必修 4 数学知识点第一章：三角函数1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角 终边相同的角的集合：.Zk,21.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.2、 .rl3、弧长公式： .Rnl1804、
27、扇形面积公式： .lS21361.2.1、任意角的三角函数1、 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：yxP, xyytan,cos,sin2、 设点 为角 终边上任意一点，那么：,Axy（设 ）2r， ， ，sincosxrtanyxcotxy3、 ， ， 在四个象限的符号和三sinstan角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT5、 特殊角 0，30，45，60，90，180，270 等的三角函数值.0 64323432sincota1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、 平方关系： .1cossin222、 商数关系： .ita3、 倒数关系：1.3、三角
28、函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限” ）Zk1、 诱导公式一：（其中： ）.tan2tan,coscosiikk2、 诱导公式二：.tanta,coscosii3、诱导公式三：TMAOPxy第 - 10 - 页 共 39 页.tanta,cossii4、诱导公式四：.tantan,coscosii5、诱导公式五：.sin2cos,coi6、诱导公式六：.sin2cos,coin1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质： 定义域、值域、最大最小值、对称轴、 对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图. 在
29、 上的五个关键点为： sinyx0,2301-10（ ， ） （ ， ， ） （ ， ， ） （ ， ， ） （ ， ， ） .1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象： y=tanx 322-32 -2 oyx2、记住余切函数的图象： y=cotx 322 2-2 oyx3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、 值域、对称中心、奇偶性、 单调性、周期性 .周期函数定 义 ： 对于函数 ，如果存在一个非零常数 T，使得当 取定义域内的每一个值时，都有xf x，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期 .xfTf图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质 xysinxycosxytan图象1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4 -3 -2 432- oyx1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4 -3 -2 432- oyx
