1、2017 年高考数学(理科)模拟试卷 3一、选择题1、若集合 |6,|290MxNx,则 MN( )A 3,45 B | C |35x D 2,3452、若 (2)zai为纯虚数,其中 aR,则7i1( ) A i B 1 C i D 3、在区间1,1上随机取一个数 k,使直线 y=k(x+3)与圆 x2+y2=1 相交的概率为( )A 2 B 3 C 23 D 44、执行如图所示的程序框图,则输出的 s 的值是( )A7 B6 C5 D35、某地实行高考改革,考生除参加语文,数学,外语统一考试外,还需从物理,化学,生物,政治,历史,地理六科中选考三科,要求物理,化学,生物三科至少选一科,政治
2、,历史,地理三科至少选一科,则考生共有多少种选考方法A. 6 B.12 C.18 D.246、下列命题为真命题的是A.若 0ln0xyxy, 则B.“ 2”是“ 函数 si2为偶函数”的充要条件C. 0,x,使 034x成立D. 已知两个平面 ,若两条异面直线 ,mn满足 ,/nm且 , /,/n则7、已知 fx是定义在 R 上的偶函数,且 +2fxf对 xR恒成立,当 01x时,2f,则 9A. 1 B. 2 C. 2 D. 18、已知双曲线21xyab两渐近线的夹角 满足 4sin5,焦点到渐进线的距离 1d,则该双曲线的焦距为( )A 5 B 52或 C 或 2 D 52或 9、设数列
3、na为等差数列, nS为其前 项和,若 13S, 40, 51S,则 4a的最大值为( )A3 B4 C 7D 10、已知 (,0)M, (,3)N, (,)Pxy的坐标 ,xy满足03412y,则 PMN面积的取值范围是( )A 12,4 B 12,5 C. 6,12 D 56,11、若直线 :0(,)laxbyab把圆 2:(4)()1Cxy分成面积相等的两部分,则当b取得最大值时,坐标原点到直线 l的距离是( )A 4 B 817 C. 2 D 87112、已知集合 (,)|()Mxyfx,若对于任意 (,)xyM,存在 2(,)xy,使得120xy成立,则称集合是“好集合”给出下列 4
4、 个集合: 1,|x;(,)|2xe; (,)|cosxyx; (,)|lnxy其中为“好集合”的序号是( )A B C D 二、填空题13、已知直线 l的参数方程为 4xty ( t为参数) ,圆 的极坐标方程为 2sin()4 ,则圆上的点到直线 的最大距离为 . 14、一个几何体的三视图如图所示(单位: m) ,则该几何体的体积为 _ 3m .15、设抛物线 2ypx ( 0)的焦点为 F,准线为 l.过焦点的直线分别交抛物线于 ,AB两点,分别过 ,AB作 l的垂线,垂足 C,D.若 2AB,且三角形 CDF的面积为 2,则 p的值为 .16、已知定义域为 0,)的函数 ()fx满足
5、()2)ffx,当 0,2)时, 2()4fxx,设()fx在 2n上的最大值为 *naN, 且数列 na的前 项和为 nS,则 三、解答题17、已知数列 na的前 项和为 nS, 0,且满足 241,.nnN(1)求 1及通项公式 ;(2)若 nnb,求数列 nb的前 项和 nT.18、某校开展“读好书,好读书”活动,要求本学期每人至少读一本课外书,该校高一共有 100 名学生,他们本学期读课外书的本数统计如图所示( I)求高一学生读 课外书的人均本数;()从高一学生中任意选两名学生,求他们读课外书的本数恰好相等的概率;()从高一学 生中任选两名学生,用 表示这两人读课外书的本数之差的绝对值
6、,求随机变量 的分布列及数学期望 E19、如图所示的空间几何体 ABCDEFG中,四边形 ABCD是边长为 2 的正方形, AE平面 BCD,/EFAB, /G, 1, 3.(1)求证:平面 CFG平面 AE;(2)求平面 E与平面 BD所成的锐二面角的余弦值.20、已知椭圆 的离心率为 ,点 在椭圆上,O 为坐标原点(1)求椭圆 C 的方程;(2)已知点 P,M ,N 为椭圆 C 上的三点,若四边形 OPMN 为平行四边形,证明四边形 OPMN 的面积 S 为定值,并求该定值21、已知函数 f(x)=sinx+tanx 2x(1)证明:函数 f(x)在( , )上单调递增;(2)若 x(0,
7、 ) ,f (x)mx 2,求 m 的取值范围22、选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,已知点 (1,)B,曲线 C的参数方程为2cos3inxy( 为参数) ,以坐标原点 O为极点,以 x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点 A的极坐标为 (4,),直线 l的极坐标方程为cos()4a,且 l过点 A;过点 与直线 l平行的直线为 1l, 与曲线 C相交于两点 ,MN.来源:om来源:学.科 .网(1)求曲线 C上的点到直线 l距离的最小值;(2)求 |MN的值.参考答案1.A 2.C 3.D 4 .B 5.C 6.D 7.B 8.C 9.B 10.C 11.D 12.B13、 3
8、2;14、 31;15、 23 ;16、 214n18、解:()由图知读课外书 1 本、2 本、3 本的学生人数分别为 10,50 和 40,高一学生读课外书的人均本数为:=2.3()从高一学生中任选 两名学生,他们读课外书的本数恰好相等的概率为:p= = ()从高一学生中任选两名学生,记“ 这两人中一人读 1 本书,另一人读 2 本书”为事件 A,“这两人中一人读 2 本书,另一人读 3 本书”为事件 B,“这两人中一人读 1 本书,另一人读 3 本书”为事件 C,从高一学生中任选两名学生,用 表示这两人读课外书的本数之差的绝对值,则 的可能取值为 0,1,2,P(=1 )= = ,P(=1
9、 )=P ( A)+P (B )= + = ,P(=2 )=P ( C)= = , 的分布列为: 1 1 2PE()= = 19、解:()证明:连接 BD交 AC于点 O,则 BDAC设 AB, 的中点分别为 M, N,连接 ,则 MN ,连接 F, GN,则 且 FG,所以 FG,所以 BD F由于 平面 ,所以 E所以 C, ,所以 平面 E所以平面 平面 ()解法一: AD, BC平面 EG与平面 B所成的锐二面角即为平面 G与平面 ABCD所成的锐二面角连接 B, 平面 , A为平面 C与平面 所成二面角的一个平面角 3, 2 13E cosEB 即平面 CG与平面 AD所成的锐二面角
10、的余弦值为 213解法二:建立如图所示空间直角坐标系 xyz,则 (0,)(2,0)(,)(0,3)ABCE, , (,1)G依题意 ,3E为平面 ABD的一个法向量,设 ()nxyz为平面 G的一个法向量,则0nCEG即 230xyz令 3x,则 ,yz,所以 (,)n设平面 CE与平面 ABD所成的锐二面角为 ,则 6213cos|AEn即平面 G与平面 所成的锐二面角的余弦值 为 21320、解:(1)由椭圆 的离心率为 ,得 , = ,a 2=2b2;将 Q 代入椭圆 C 的方程,得 + =1,解得 b2=4,a 2=8,椭圆 C 的方程为 ;(2)当直线 PN 的斜率 k 不存在时,
11、PN 方程为: 或 ,从而有 ,所以四边形 OPMN 的面积为;当直线 PN 的斜率 k 存在时,设直线 PN 方程为:y=kx+m (m0) ,P(x 1,y 1) ,N(x 2,y 2) ;将 PN 的方程代入 C 整理得:(1+2k 2)x 2+4kmx+2m28=0,所以 , ,由 得: ,来源:学。科。网将 M 点坐标代入椭圆 C 方程得: m2=1+2k2;点 O 到直线 PN 的距离为 ,四边形 OPMN 的面积为来源:Zxxk.Com综上,平行四 边形 OPMN 的面积 S 为定值 来源: 学+科+网21、解:()函数 f(x)=sinx+tanx 2x则 , ,cosx( 0
12、,1,于是 (等号当且仅当 x=0 时成立) 故函数 f(x)在 上单调递增()由()得 f(x)在 上单调递增,又 f(0)=0 ,f(x)0,()当 m0 时,f(x)0mx 2 成立()当 m0 时,令 p(x)=sinxx,则 p(x)=cosx 1,当 时,p(x) 0,p(x)单调递减,又 p(0)=0,所以 p(x)0,故 时,sinxx (*)由(*)式可得 f(x)mx 2=sinx+tanx2xmx2tanx xmx2,令 g(x)=tanxx mx2,则 g(x)=tan 2x2mx由(*)式可得 ,令 h(x)=x 2mcos2x,得 h(x)在 上单调递增,又 h(0
13、)0, ,存在 使得 h( t)=0,即 x(0,t)时,h(x)0,x(0,t)时,g(x) 0,g(x)单调递减,又g(0)=0,g(x)0,即 x(0,t)时,f(x)mx 20,与 f(x)mx 2 矛盾综上,满足条件的 m 的取值范围是( ,0 22、解:()因为 (42,)A,且 l,所以 42cos()4a,即 42所以直线 l的极坐标方程为 cos()所以 cosin424即直线 l的直角坐标方程为 8xy设曲线 C上的点到直线 l距离为 d,则|2cos3in|7sin()|2d所以曲线 上的点到直线 l距离的最小值为|78|782142()设 1l的方程为 0xym,由于 1l过点 B,所以 2m,所以 1l的方程为 20xy故 1l的参数方程为21ty( 为参数) ,曲线 C的普通方程为243xy所以 223()4()tt,即有 2710tt所以 12120+,77tt所以 212112|(+)4MNttt8401297