1、第 1 页（共 12 页）二次函数与三角形最大面积的 3 种求法一解答题（共 7 小题）1 （2012广西）已知抛物线 y=ax2+2x+c 的图象与 x 轴交于点 A（3，0）和点 C，与 y 轴交于点B（0，3） （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点 D，使得点 D 到点 B、C 的距离之和最小，并求出点 D 的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点 P，使得ABP 的面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由2 （2013茂名）如图，抛物线 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，已知点 B 的坐标为（3，0） （1）求 a 的值和
2、抛物线的顶点坐标；（2）分别连接 AC、BC在 x 轴下方的抛物线上求一点 M，使 AMC 与ABC 的面积相等；（3）设 N 是抛物线对称轴上的一个动点， d=|ANCN|探究：是否存在一点 N，使 d 的值最大？若存在，请直接写出点 N 的坐标和 d 的最大值；若不存在，请简单说明理由3 （2011茂名）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线经过点 A（0，4） ，B（1，0） ，C（5，0） ，抛物线对称轴 l 与 x 轴相交于点 M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）点 P 在抛物线上，且以 A、O 、M、P 为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点 P
3、的坐标；第 2 页（共 12 页）（3）连接 AC探索：在直线 AC 下方的抛物线上是否存在一点 N，使NAC 的面积最大？若存在，请你求出点 N 的坐标；若不存在，请你说明理由4 （2012黔西南州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线经过点 A（0，4） ，B （1，0） ，C（5，0） ，抛物线的对称轴 l 与 x 轴相交于点 M（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；（2）设点 P 为抛物线（x5）上的一点，若以 A、O 、M、P 为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点 P 的坐标；（3）连接 AC，探索：在直线 AC 下方的抛物线上是否存在一点 N，
4、使NAC 的面积最大？若存在，请你求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由5 （2013新疆）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点C，其中 A 点的坐标是（1，0） ，C 点坐标是（4，3） （1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点 D，使BCD 的周长最小？若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点 E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 AC 的下方，试求ACE 的最大面积及 E 点的坐标第 3 页（共 12 页）6 （2009江津区）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与
5、 x 轴交于 A（1，0） ，B（ 3，0）两点（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使PBC 的面积最大？若存在，求出点 P 的坐标及PBC 的面积最大值；若没有，请说明理由7如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 经过点 A（1，0） ，C（0，3） ，且对称轴为直线 x=1（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线上是否存在点 P，使PAB 得面积为 10，请写出所有点 P 的坐标第 4 页
6、（共 12 页）二次函数与三角形最大面积的 3 种求法参考答案与试题解析一解答题（共 7 小题）1 （2012广西）解答：解：（1）抛物线 y=ax2+2x+c 的图象经过点 A（3，0）和点 B（0，3） ， ，解得 a=1，c=3，抛物线的解析式为：y= x2+2x+3（2）对称轴为 x= =1，令 y=x2+2x+3=0，解得 x1=3，x 2=1，C（ 1，0） 如图 1 所示，连接 AB，与对称轴 x=1 的交点即为所求之 D 点，由于 A、C 两点关于对称轴对称，则此时 DB+DC=DB+DA=AB 最小设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，由 A（3，0） 、B（0，3）可得：
7、，解得 k=1，b=3，直线 AB 解析式为 y=x+3当 x=1 时，y=2，D 点坐标为（1，2） （3）结论：存在如图 2 所示，设 P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，过点 P 作 PNx 轴于点 N，则 ON=x，PN=y ，AN=OAON=3 xSABP=S 梯形 PNOB+SPNASAOB= （OB+PN） ON+ PNAN OAOB= （3+y）x+ y（3x） 33= （x+y） ，P（ x，y）在抛物线上，y= x2+2x+3，代入上式得：SABP= （x+y） = （x 23x）= （x ） 2+ ，当 x= 时，S ABP 取得最大值当 x= 时，y=x 2+2x+3
8、= ，P （ ， ） 第 5 页（共 12 页）所以，在第一象限的抛物线上，存在一点 P，使得ABP 的面积最大；P 点的坐标为（ ， ） 2 （2013茂名）解答： 解：（1）抛物线 y=ax2 x+2 经过点 B（3，0） ，9a 3+2=0，解得 a= ，y= x2 x+2，y= x2 x+2= （x 2+3x）+2= （x+ ） 2+ ，顶点坐标为（ ， ） ；（2）抛物线 y= x2 x+2 的对称轴为直线 x= ，与 x 轴交于点 A 和点 B，点 B 的坐标为（3，0） ，点 A 的坐标为（ 6，0） 又 当 x=0 时，y=2 ，C 点坐标为（0，2） 设直线 AC 的解析式为
9、 y=kx+b，则 ，解得 ，直线 AC 的解析式为 y= x+2SAMC=SABC，点 B 与点 M 到 AC 的距离相等，第 6 页（共 12 页）又 点 B 与点 M 都在 AC 的下方，BMAC，设直线 BM 的解析式为 y= x+n，将点 B（3，0）代入，得 3+n=0，解得 n=1，直线 BM 的解析式为 y= x1由 ，解得 ， ，M 点的坐标是（ 9，4） ；（3）在抛物线对称轴上存在一点 N，能够使 d=|ANCN|的值最大理由如下：抛物线 y= x2 x+2 与 x 轴交于点 A 和点 B，点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称连接 BC 并延长，交直线 x= 于点 N
10、，连接 AN，则 AN=BN，此时 d=|ANCN|=|BNCN|=BC 最大设直线 BC 的解析式为 y=mx+t，将 B（3，0） ，C （0，2）两点的坐标代入，得 ， ，直线 BC 的解析式为 y= x+2，当 x= 时，y= （ ）+2=3，点 N 的坐标为（ ，3） ，d 的最大值为 BC= = 3 （2011茂名）解答： 解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 y=a（x1 ） （x 5） ，把点 A（0，4）代入上式得： a= ，y= （x 1） （x5）= x2 x+4= （x3） 2 ，抛物线的对称轴是：x=3 ；第 7 页（共 12 页）（2）P 点坐标为：（6，4）
11、 ，由题意可知以 A、O、M、P 为顶点的四边形有两条边 AO=4、OM=3，又 点 P 的坐标中 x5，MP2，AP 2；以 1、 2、3、4 为边或以 2、3、4、5 为边都不符合题意，四条边的长只能是 3、4、5、6 的一种情况，在 RtAOM 中， AM= = =5，抛物线对称轴过点 M，在抛物线 x5 的图象上有关于点 A 的对称点与 M 的距离为 5，即 PM=5，此时点 P 横坐标为 6，即 AP=6；故以 A、O、M、P 为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数 3、4、5、6 成立，即 P（6，4） ；（3）在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使 NAC 面积最
12、大设 N 点的横坐标为 t，此时点 N（t， t2 t+4） （0t 5） ，过点 N 作 NGy 轴交 AC 于 G；作 AMNG 于 M，由点 A（0，4）和点 C（5，0）可求出直线 AC 的解析式为：y= x+4；把 x=t 代入得： y= t+4，则 G（t ， t+4） ，此时：NG= x+4（ t2 t+4）= t2+4t，AM+CF=CO，SACN=SANG+SCGN= AMNG+ NGCF= NGOC= （ t2+4t）5=2t 2+10t=2（t ） 2+ ，当 t= 时，CAN 面积的最大值为 ，由 t= ，得：y= t2 t+4=3，N（ ， 3） 第 8 页（共 12
13、 页）4 （2012黔西南州）解答： 解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 y=a（x1 ） （x 5） ，将点 A（0，4）代入上式解得： a= ，即可得函数解析式为：y= （x1） （x5）= x2 x+4= （ x3） 2 ，故抛物线的对称轴是：x=3；（2）P 点坐标为：（6，4） ，由题意可知以 A、O、M、P 为顶点的四边形有两条边 AO=4、OM=3，又 点 P 的坐标中 x5，MP2，AP 2；以 1、 2、3、4 为边或以 2、3、4、5 为边都不符合题意，四条边的长只能是 3、4、5、6 的一种情况，在 RtAOM 中， AM= = =5，抛物线对称轴过点 M，在抛物
14、线 x5 的图象上有关于点 A 的对称点与 M 的距离为 5，即 PM=5，此时点 P 横坐标为 6，即 AP=6；故以 A、O、M、P 为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数 3、4、5、6 成立，即 P（6，4） ；（3）在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使 NAC 面积最大设 N 点的横坐标为 t，此时点 N（t， t2 t+4） （0t 5） ，过点 N 作 NGy 轴交 AC 于 G，作 AMNG 于 M，由点 A（0，4）和点 C（5，0）可求出直线 AC 的解析式为：y= x+4；把 x=t 代入 y= x+4，则可得 G（t， t+4） ，此时：NG= x+4
15、（ t2 t+4）= t2+4t，AM+CE=CO，SACN=SANG+SCGN= AMNG+ NGCE= NGOC= （ t2+4t）5=2t 2+10t=2（t ） 2+ ，当 t= 时，CAN 面积的最大值为 ，由 t= ，得：y= t2 t+4=3，N（ ， 3） 第 9 页（共 12 页）5 （2013新疆）解答： 解：（1）抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0） ，点 C（4，3） ， ，解得 ，所以，抛物线的解析式为 y=x24x+3；（2）点 A、B 关于对称轴对称，点 D 为 AC 与对称轴的交点时 BCD 的周长最小，设直线 AC 的解析式为 y=kx+b（k0
16、） ，则 ，解得 ，所以，直线 AC 的解析式为 y=x1，y=x24x+3=（x2） 21，抛物线的对称轴为直线 x=2，当 x=2 时，y=21=1，抛物线对称轴上存在点 D（ 2，1） ，使 BCD 的周长最小；（3）如图，设过点 E 与直线 AC 平行线的直线为 y=x+m，联立 ，消掉 y 得，x 25x+3m=0，=（5） 241（3m）=0 ，第 10 页（共 12 页）即 m= 时，点 E 到 AC 的距离最大， ACE 的面积最大，此时 x= ，y= = ，点 E 的坐标为（ ， ） ，设过点 E 的直线与 x 轴交点为 F，则 F（ ，0） ，AF= 1= ，直线 AC 的解析式为 y=x1，CAB=45，点 F 到 AC 的距离为 AFsin45= = ，又 AC= =3 ，ACE 的最大面积 = 3 = ，此时 E 点坐标为（ ， ） 6 （2009江津区）解答： 解：（1）将 A（1，0） ，B（3，0）代 y=x2+bx+c 中得（2 分） （3 分）抛物线解析式为：y= x22x+3；（4 分）（2）存在（5 分）理由如下：由题知 A、B 两点关于抛物线的对称轴 x=1 对称直线 BC 与 x=1 的交点即为 Q 点，此时AQC 周长最小y=x22x+3C 的坐标为：（0，3）直线 BC 解析式为：y=x+3 （6 分）Q 点坐标即为
