1、试卷第 1 页，总 19 页初四数学二次函数中的最大面积专题练习题1如图，在直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点，OA=1，tanBAO=3，将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90，得到DOC抛物线 y=ax2+bx+c 经过点A、B、C （1）求抛物线的解析式（2）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 t设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求出当CEF 与COD相似时点 P 的坐标是否存在一点 P，使PCD 的面积最大？若存在，求出PCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由2如图，已知抛物线 与 x 轴相交于 A，B 两点，并与
2、直线caxy23交于 B，C 两点，其中点 C 是直线 与 y 轴的交点，连接 AC1xy 21y（1）求抛物线的解析式；（2）证明：ABC 为直角三角形；（3）ABC 内部能否截出面积最大的矩形 DEFG？（顶点 D、E、F、G 在ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由3某基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长） ，另外三边用总长54 米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为 2 米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：第24题备用图xyC ODAB试卷第 2 页，总 19 页（1）设 AB=
3、x 米（x0） ，试用含 x 的代数式表示 BC 的长；（2）请你判断谁的说法正确，为什么？ 4如图，已知抛物线 过点 A（6，0） ，B（2，0） ，C（0，3） cbay2（1）求此抛物线的解析式；（2）若点 H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形 OCHA 的最大面积；（3）若点 Q 在 轴上，点 G 为该抛物线的顶点，且QGA=45，求点 Q 的坐标y5如图，抛物线 y=-x2-2x+3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点（1）求 A、B、C 的坐标；（2）设点 H 是第二象限内抛物线上的一点，且HAB 的面
4、积是 6，求点 H 的坐标；（3）点 M 为线段 AB 上一点（点 M 不与点 A、B 重合） ，过点 M 作 x 轴的垂线，与直线AC 交于点 E，与抛物线交于点 P，过点 P 作 PQAB 交抛物线于点 Q，过点 Q 作 QNx轴于点 N若点 P 在点 Q 左边，当矩形 PQMN 的周长最大时，求AEM 的面积6如图，ABC 中，C=90，BC=7cm，AC=5，点 P 从 B 点出发，沿 BC 方向以 2m/s的速度移动，点 Q 从 C 出发，沿 CA 方向以 1m/s 的速度移动试卷第 3 页，总 19 页（1）若 P、Q 同时分别从 B、C 出发，那么几秒后，PCQ 的面积等于 4？
5、（2）若 P、Q 同时分别从 B、C 出发，那么几秒后，PQ 的长度等于 5？（3）PCQ 的面积何时最大，最大面积是多少？7如图，有长为 24 米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度 10 米）：如果 AB 的长为 ，面积为 .axy（1）求面积 与 的函数关系（写出 的取值范围） ；yxx（2） 取何值时，面积最大？面积最大是多少？8若用 40m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，墙长 a m，垂直于墙的边长为xm，围成的矩形场地的面积为 y m2（1 ）求 y 与 x 的函数关系式（2 ）矩形场地的面积能否达到 210m2？请说明理由（
6、3 ）当 a=15m 或 30m 时，请分别求出这个矩形场地面积的最大值9如图，用长为 l2 m 的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃如图，围出的苗圃是五边形 ABCDE，AEAB，BCAB，C=D=E设 CD=DE=xm，五边形 ABCDE 的面积为 S m2问当 x 取什么值时，S 最大?并求出 S 的最大值10已知，如图，抛物线 y=ax2+3ax+c（a0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 左侧点 B 的坐标为（ 1，0） ，OC=3OB （1 ）求抛物线的解析式；（2 ）若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点，求四边形 ABCD 面积的最大值
7、11如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，试卷第 4 页，总 19 页A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（ 3，0 ） ，与 y 轴交于 C（0，3 ）点，点 P 是直线 BC下方的抛物线上一动点（1 ）求这个二次函数的表达式；（2 ）当点 P 运动到什么位置时， BPC 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和BPC 的最大面积；（3 ）连接 PO、PC，并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP1C，那么是否存在点 P，使四边形 POP1C 为菱形？若存在，直接写出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由12课本中有一道作业题：有一块三
8、角形余料 ABC，它的边 BC=120mm，高 AD=80mm要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上问加工成的正方形零件的边长是多少 mm？小颖解得此题的答案为 48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题（1 ）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图 1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少 mm？请你计算（2 ）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图 2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长13某家禽养殖场，用总长为 110m 的围栏
9、靠墙（墙长为 22m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形 AEHG 与矩形 CDEF 面积都等于矩形 BFHG 面积的一半，设 AD 长为 xm，矩形区域 ABCD 的面积为 ym2试卷第 5 页，总 19 页（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）当 x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？14有一块三角形余料 ABC，它的边 BC=120mm，高 AD=80mm现要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上（1）如果此矩形可分割成两个并排放置的正方形，如图 1，此时，这个矩形零件的两条邻边长分别为多少 mm？请你计算
10、（2）如果题中所要加工的零件只是矩形，如图 2，这样，此矩形零件的两条邻边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条邻边长15如图，已知二次函数 y=ax2+ x+c 的图象与 y 轴交于点 A（0，4） ，与 x 轴交于点B、C，点 C 坐标为（8，0） ，连接 AB、AC（1）请直接写出二次函数 y=ax2+ x+c 的表达式；（2）判断ABC 的形状，并说明理由；（3）若点 N 在 x 轴上运动，当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点 N 的坐标；（4）若点 N 在线段 BC 上运动（不与点 B、C 重合） ，过点 N 作 NMAC
11、，交 AB 于点 M，当AMN 面积最大时，求此时点 N 的坐标16如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 与坐标轴分别交于点点 A（0，8） 、B（8，0）和点 E，动点 C 从原点 O 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 D 从点 B 开始沿BO 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 C、D 同时出发，当动点 D 到达原点 O 时，点C、D 停止运动试卷第 6 页，总 19 页（1）求该抛物线的解析式及点 E 的坐标；（2）若 D 点运动的时间为 t，CED 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式，并求出CED 的面积的最大值17如图，在平面直角坐标系 xoy 中，直
12、线 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于12y点 C抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 ，且经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点3x为点 B（1）直接写出点 B 的坐标；求抛物线解析式（2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC求PAC 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标18 （2015鄂州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A，与y 轴交于点 C抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x= 且经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B（1）直接写出点 B 的坐标；求抛物线解析式（2）若点 P 为直线 AC
13、 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC求PAC 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标（3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A、M、N 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由19 （2014 秋昆明校级期末）如图，四边形 DEFG 是ABC 的内接矩形，如果ABC 的试卷第 7 页，总 19 页高线 AH 长 8cm，底边 BC 长 10cm，设 DG=xcm，DE=ycm，（1）求 y 关于 x 的函数关系式；（2）当 x 为何值时，四边形 DEFG 的面积最大？最大面积是多少？20 （2015 秋保定期
14、末）如图，在 RtABC 中，C=90，AC=6cm，BC=8cm点 P 从A 出发，沿 AB 方向，以 2cm/s 的速度向点 B 运动，点 Q 从 C 出发，沿 CA 方向，以1cm/s 的速度向点 A 运动；若两点同时出发，当其中一点到达端点时，两点同时停止运动，设运动时间为 t（s） ，APQ 的面积为 S（cm 2）（1）t=2 时，则点 P 到 AC 的距离是 cm，S= cm 2；（2）t 为何值时，PQAB；（3）t 为何值时，APQ 是以 AQ 为底边的等腰三角形；（4）求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值21 （2012眉山）已知：如图，直线 y=3x+3
15、 与 x 轴交于 C 点，与 y 轴交于 A 点，B 点在 x 轴上，OAB 是等腰直角三角形（1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若直线 CDAB 交抛物线于 D 点，求 D 点的坐标；（3）若 P 点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标和PAB 的最大面积；若没有，请说明理由22 （2015 秋随州期末）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A （1，0） 、B（0，3）及 C（3，0）点，动点 D 从原点 O 开始沿 OB 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 E 从点 C 开始沿 CO 方向以每秒 1 个长度单位
16、移动，动点 D、E 同时出发，当动点 E 到达原点 O 时，点 D、E 停止运动试卷第 8 页，总 19 页（1）求抛物线的解析式及顶点 P 的坐标；（2）若 F（1，0） ，求DEF 的面积 S 与 E 点运动时间 t 的函数解析式；当 t 为何值时，DEF 的面积最大？最大面积是多少？（3）当DEF 的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在一点 N，使EBN 是直角三角形？若存在，求出 N 点的坐标，若不存在，请说明理由23 （2014 秋香洲区期末）已知二次函数中 x 和 y 的部分对应值如下表：x 1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 （1）求二次函数的解析式；（2）如图，点 P
17、是直线 BC 下方抛物线上一动点，当点 P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积；（3）在抛物线上，是否存在一点 Q，使QBC 中 QC=QB？若存在请直接写出 Q 点的坐标24如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点C抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x= 且经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为点B（1）直接写出点 B 的坐标；求抛物线解析式（2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC求PAC 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标（3）
18、抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A、M、N 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由试卷第 9 页，总 19 页25 （2015 秋綦江区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+3 分别交 x 轴、y轴于 A，C 两点，抛物线 y=ax2+bx+c（a0） ，经过 A，C 两点，与 x 轴交于点B（1，0） （1）求抛物线的解析式；（2）点 D 为直线 AC 上一点，点 E 为抛物线上一点，且 D，E 两点的横坐标都为 2，点F 为 x 轴上的点，若四边形 ADEF 是平行四边形，请直接写出点 F 的坐标；
19、（3）若点 P 是线段 AC 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 Q，连接AQ，CQ，求ACQ 的面积的最大值26如图，有一块边长为 6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去三个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）A cm2 B cm2 C cm2 3393D cm2727如图，矩形 ABCD 的两边长 AB18 cm，AD4 cm，点 P，Q 分别从 A，B 同时出发，P 在边 AB 上沿 AB 方向以每秒 2 cm 的速度匀速运动，Q 在边 BC 上沿 BC 方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动设运动时间为
20、 x（秒） ，PBQ 的面积为 y（cm 2） （1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（2）求PBQ 的面积的最大值28如图，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点k2C（0，3）试卷第 10 页，总 19 页（1）求 k 的值及点 A、B 的坐标；（2）设抛物线 的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积；kxy2（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC 的面积最大?若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由（4）在抛物线 上求点 Q，使BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形kxy229如图，已知抛物线经过点 A（-1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式（2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B，C 重合） ，过 M 作 MNy 轴交抛物线于 N，若点M 的横坐标为 m，请用 m 的代数式表示 MN 的长（3）在（2）的条件下，连接 NB、NC，是否存在 m，使BNC 的面积最大？若存在，求 m 的值；若不存在，说明理由30如图，在平面直角坐标系 xoy 中，直线 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于21y点 C抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 且经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为3x点 B
