1、金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 二次函数中的分类讨论思想一、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 轴定区间定例 1. （2008 年陕西卷）22本小题满分 14 分）设函数 322()1,()1,fxaxgax其中实数 0a（）若 0a，求函数 ()f的单调区间；（）当函数 yx与 的图象只有一个公共点且 ()gx存在最小值时，记()gx的最小值为 ()h，求 ()a的值域；（
2、）若 f与 gx在区间 ,2内均为增函数，求 a的取值范围2. 轴定区间动例 2. （全国卷）设 a 为实数，函数 2()|1,fxaR，求 f(x)的最小值。金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 3. 轴动区间定评注：已知 2()(0)fxabc，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得 ()fx在,mn上的最大值或最小值。例 3求函数 )(y在 1,x上的最大值。4. 轴变区间变例 4. 已知 24()0,yax，求 2(3)uxy的最小值。金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 （二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。例 5. 已知函数 2
3、()1fxax在区间 3,2上的最大值为 4，求实数 a 的值。例 6. 已知函数2()xf在区间 ,mn上的值域是 3,n，求 m，n 的值。练习：1、（2008 江西卷 21）已知函数 43241()(0)fxaxa（1）求函数 y的单调区间；金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 （2）若函数 ()yfx的图像与直线 1y恰有两个交点，求 a的取值范围金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 2、已知二次函数 2()(1)fxax在区间 3,2上的最大值为 3，求实数 a 的值。3、（2008 山东卷 21）（本小题满分 12 分）设函数 2132()xfeab，已知 x和 1为
4、()fx的极值点（）求 和 的值；（）讨论 ()f的单调性；（）设 32gx，试比较 ()fx与 g的大小金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 二次函数中的分类讨论思想例题答案：例 1. 解：（） 22()33()afxaxx，又 0a，当 a或 时， )0f；当 3时， ()fx，()fx在 ,)和 (,3内是增函数，在 (,内是减函数（）由题意知 2211xax，即 20a恰有一根（含重根） 2a 0，即 2 a ，又 0， ,)(,当 时， (gx才存在最小值， (0, 21()gx，1(),0,2ha )ha的值域为 ,（）当 时， ()fx在 ,和 (,3内是增函数， ()gx
5、在 1,)a内是增函数由题意得031aa，解得 ；当 0时， ()fx在 ,)和 (,)a内是增函数， ()gx在 1,)a内是增函数由题意得 231a，解得 3；综上可知，实数 a的取值范围为 (,1,)例 2.（1）当 x时， 23()4fxa若 2a，则 min1;若 ，则 2i()()fxfa（2）当 时， 34金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 若 12a，则 2min()()1fxfa;；若 ，则 i34综上所述，当 时， min()fx；当 12a时， 2min()1fxa；当 时，min3()4fxa。例 3解析：函数 4)2(axy图象的对称轴方程为 x，应分 2，
6、，12即 ， 和 2这三种情形讨论，下列三图分别为（1） a；由图可知 max()(1)ff（2） ；由图可知（3） 时；由图可知 ax()()ff2,)1(,)(affy最 大 ；即 2,14,)(2ay最 大例 4.解析：将 4)x代入 u 中，得 ，即 时， ，即 时，所以例 5. 解析： 2()1),3,2fxaax（1）若 0,，不合题意。（2）若 则 max(81ff金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 由 814a，得 38（3）若 0时，则 max()(1)ffa由 ，得综上知 8a或 3例 6.解析 1：讨论对称轴 中 1 与 ,2n的位置关系。若 ，则 maxin()
7、()3ff解得若 12mn，则 axmin()(1)3ff，无解若 ，则 axin()()ff，无解若 ，则 maxin3ff，无解综上， 4,0解析 2：由 21()()fx，知 1,26n，则 ,(,1mn，f(x)在 ,mn上递增。所以 main3()()ff解得 4,0评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 m，n 的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。练习答案：1、解：（1）因为 32()(2)fxaxax 令 0f得 13,0, 由 a时， ()f在 f根的左右的符号如下表所示x,2a(2,)a0(,)a(,)a()f 00xA极小值 A
8、极大值 A极小值 A所以 ()f的递增区间为 (2,0)(,)a与 x的递减区间为 ， 与 ， 金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 （2）由（1）得到 45()(2)3fxfa极 小 值 ， 47()()12fxfa极 小 值4()0fxa极 大 值要使 的图像与直线 1y恰有两个交点，只要 44或 ， 即4127a或 . 2、分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分 0a与 两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到 ()fx的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。解：（1）令 21()3af，得 12a此时抛物线开口向
9、下，对称轴为 ，且 3,2 故 12a不合题意；（2）令 ()f，得 ，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故 12a符合题意；（3）若 ()3f，得 2a，经检验，符合题意。综上， 12a或评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。3、21解：（）因为 12()e()3xf axb1e(2)(3)xaxb，又 2x和 为 f的极值点，所以 0ff，因此 603ab， ， 解方程组得 ， （）因为 1， ，所以 1()2)(exfx，令 ()0fx，解得 2x， 0， 3因为当 )， (， 时， f；当 21， ， 时， )所以 ()f在 ， 和 ， 上是单调递增的；在 (2)， 和 (01， 上是单调递减的（）由（）可知 2132(exf，故 213()()xfxg，令 1()exh，则 1()exh令 0h，得 ，因为 ， 时， 0 ，所以 在 ， 上单调递减故 x， 时， 0 ；因为 x， 时， ()0hx ，所以 ()在 ， 上单调递增故 1， 时， 1 金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 所以对任意 ()x， ，恒有 ()0hx ，又 2x ，因此 ()0fxg ，故对任意 ， ，恒有 fg
