1、1二次函数中考考点分析考点 1、确定 a、b、c 的值二次函数：y=ax 2+bx+c （ a,b,c是常数，且 a0） 开口向上， 开口向下抛物线的对称轴为: ，由图像确定 的正负，由 a的符号确定出 b的符号,a,b 符号左 b右 即当抛物线的对称轴在 y轴的左边时，a,b 号。由 x=0时,y= ，知 c的符号取决于图像与 y轴的交点纵坐标，与 y轴交点在 y轴的正半轴时，c 0，与 y轴交点在 y轴的负半轴时，c 0确定了 a、b、c 的符号，易确定 abc的符号考点 2、确定 a+b+c的符号x=1 时，y= ，由图像 y的值确定 a+b+c的符号与之类似的还经常出现判断 4a+2b
2、+c的符号（易知 x=2时，y= ） ，由图像 y的值确定 4a+2b+c的符号还有判断 ab+c 的符号（x=1 时，y= ）等等考点 3、与抛物线的对称轴有关的一些值的符号抛物线的对称轴为 x= ，根据对称性知：取到2ba对称轴 距离相等 的两个不同的 x值时， 值相等，即当 x= +m或 x= m 时，y值相等中考考查时，通常知道 x= +m时 y值的符号，让确定出 x= m 时 y值的符号2ba考点 4、由对称轴 x= 的确定值判断 a与 b的关系如： =1能判断出 a = b2ba考点 5、顶点与最值若 x可以取全体实数，开口向下时，y 在顶点处取得最大值，开口向上时，y在顶点处取得
3、最小值例 1、已知二次函数 的图象如图所示，有下列 5 个结论： ； )0(2cba 0c； ； ； ，（ 的实数）其中正确的结cab04c3)(bam1论有（ ）A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个解析：此题考查了考点 1、2、3、4、5 错误因为： 开口向下 0;对称轴 x= =1，可以得出 b0; x=0 时,y=c0，故 abc0错误因为：ba由图知 x=1 时，y=ab+c0，即 ba+c正确因为：由对称轴 x=1知,x=0时和 x=2时 y值相等，由 x=0时，y0，知 x=2时，y=4a+2b+c0正确因为：由对称轴 x=1，可以得出 a =0.5 b，代入前面
4、已经证出 ba+c，得出 1.5bc,即 3b2c正确因为：2抛物线开口向下，故顶点处 y值最大，即 x =1，y= a+b+c最大，此时 a+b+cam 2+bm+c（ ） ，即1m， （ ） 答案：B)(bma1考点 6、图象与 x轴交点 0，ax 2+bx+c=0有两个不相等的实根； 0，ax 2+bx+c=0无实根； =0，ax 2+bx+c=0有两个相等的实根b 2-4ac0，抛物线与 x轴有 个交点；b 2-4ac0，抛物线与 x轴 交点；b 2-4ac=0，抛物线与 x轴 个交点例 2、二次函数 与 x 轴的交点个数是（ ）21yA0 B1 C2 D3解析：求图象与 x轴的交点应
5、令 y=0，即 x22x+1=0,b 2-4ac44=0,二次函数图象与 x轴只有一个交点答案：B考点 7、判断在同一坐标系中两种不同的图形的正误如：在同一种坐标系中正确画出一次函数2和二次函数 ， 关键是 两个式子中的 a、b 值应相同yaxb)0(2acbxy例 3、在同一坐标系中一次函数 和二次函数 的图象可能为（ ）y2yaxb解析：二次函数 过点（0，0） ，故排除答案 B与 C若 a0，抛物线开口向上，一次函数2yaxb的 y值随着 x值的增大而增大；若 a0，抛物线开口向下，一次函数 的 y值随着 xyaxb yaxb值的增大而减小答案：A.考点 8、能分别判断出在对称轴的左右两
6、侧二次函数 y值随 x值的变化而变化情况抛物线当开口向上时，在对称轴的左侧二次函数 y值随 的增大而减小，在对称轴的 侧二次函数 y值随 x值的增大而增大抛物线开口 时，在对称轴的左侧二次函数 y值随 x值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数 y值随 x值的增大而减小例 4、已知二次函数 (a0) 的图象经过点 (-1，2)，(1 ，0) . 下列结论正确的是( )2xbcA. 当 x0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大B. 当 x0 时，函数值 y 随 x 的增大而减小C. 存在一个负数 x0，使得当 x x0时，函数值 y 随 x 的增大而增大D. 存在一个正数 x0，使得当 xx0时
7、，函数值 y 随 x 的增大而增大解析：二次函数 (a0) 的图象没说明开口方向，故过2bc点(-1，2) ，(1 ，0)的抛物线有可能开口向上或向下，见图再结合选项，抛物线当开口向上时，在对称轴x=x0（x 00）的左侧二次函数 y 值随 x 值的增大而减小，在对称轴的右侧二次函数 y 值随 x 值的增大而增大抛物线开口向下时，在对称轴 x=x0（x 00）的左侧二次函数 y 值随 x 值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数 y 值随 x 值的增大而减小答案：D 考点 9、二次函数解析式的几种形式 (1)一般式：yax 2+bx+c (a,b,c 为常数，a0). (2)顶点式：ya(x-h
8、) 2+k(a,h,k为常数，a0). 抛物线的顶点坐标是(h,k)，h0 时，抛物线 yax 2+k的顶点在 轴上；当 k0 时，抛物线 ya(x-h) 2的顶点在 x轴上；当 h0 且 k0 时，抛物线yax 2的顶点在 .(3) (3)两根式：ya(x-x 1)(x-x2)，其中 x1,x2是抛物线与 x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两个根. 求解析式时若已知抛物线过三点坐标一般设成一般式，已知抛物线过的顶点坐标时设成顶点式，已知抛物线与 x轴的两个交点的横坐标时设成两根式例 5、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 ，且过点 求该二次函数的解析(4)A，
9、 (30)B，式为 解析：（1）设二次函数解析式为 ，二次函数图象过点 ， ，得2(1)yax()， 4aO xyO xyO xyO xyA B C D3 二次函数解析式为 ，即 1a2(1)4yx23yx【知识梳理】1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.2.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中.3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛
10、物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，顶点是 ，对称轴是直线 .（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.6.抛物线 中， 的作用（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ，4故： 时，对称轴为
11、 轴； （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧； （即 、异号）时，对称轴在 轴右侧.（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）： ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .7.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .12.直线与抛物线的交点（1） 轴与抛物线 得交点为(0,
12、 ).（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).（3）抛物线与 轴的交点二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 抛物线与 轴相交；有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；没有交点 抛物线与 轴相离.（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解
13、时 与 有两个交点; 方程5组只有一组解时 与 只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，由于 、 是方程 的两个根，故练一练：1、如图，二次函数 的图象开口向上,图像经过点（-1，2）和（1，0）且与 y轴交cbxay2于负半轴(以下有（1）、（2）两问，每个考生只须选答一问，若两问都答， 则只以第（2）问计分) 第（1）问：给出四个结论： 0； 0； 0； c a+b+c=0其中正确的结论的序号是 （答对得 3分，少选、错选均不得分）第（）问：给出四个结论：abc0；2a+ 0；a+c=1；a1其中正确的结论的序号是 b （答
14、对得5分，少选、错选均不得分）2、二次函数 的图像可能是 22axy 【 】3、 如图，已知二次函数 的图像经过点 A 和24yaxc 点B（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点 P（ m， m） 与 点 Q 均 在 该 函 数 图 像 上 （ 其 中 m 0） ， 且 这两 点 关 于 抛 物 线 的 对 称 轴 对 称 ， 求 m 的 值 及 点 Q 到 x 轴 的距离4、 有一抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m，跨度为 10m， 如图所示，把它的图形放在直角坐标系中求这条抛物线所对应的函数关系式；如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？xyO 3911ABA.xyB.xyC.xyD.xy6【参考答案】： 1、（1）， （2），2、B.3、解：（1）将 x=-1，y =-1；x=3，y=-9 分别代入 得cxay42解得 .349,)()(2ca.6,1ca二次函数的表达式为 42xy（2）对称轴为 ；顶点坐标为（2，-10）x（3）将（m，m）代入 ，得 ，6642m解得 m0， 不合题意，舍去12,61 m=6 点 P 与点 Q 关于对称轴 对称，2x点 Q 到 x 轴的距离为 64、y0.16x 21.6x；3.84m
