1、二次函数与三角形的面积问题【教学目标】1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积。2.通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。3.掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标，从而得出相关线段的长度，利用割补方法求图形的面积。【教学重点和难点】1.运用 ；2铅 垂 高水 平 宽 s2.运用 ；y3.将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。【教学过程】类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行例 1.已知：抛物线的顶点为 D（1，-4） ，并经过
2、点 E（4，5） ，求:（1）抛物线解析式；（2）抛物线与 x 轴的交点 A、B，与 y 轴交点 C；（3）求下列图形的面积ABD、ABC、ABE、OCD 、OCE。解题思路：求出函数解析式_；写出下列点的坐标：A_；B_；C_；求出下列线段的长：AO_；BO_；AB_；OC_。求出下列图形的面积ABD、ABC、ABE、OCD、OCE。一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法求出图形的面积。变式训练 1.如图所示，已知抛物线 与 轴相交于两点 A ， B02acbxyx0,1x0,2x，与 轴负半轴相交于点 C，若抛物线
3、顶点 P 的横坐标是 1，A、 B 两点间的距离为 4，且ABC21xy的面积为 6。（1）求点 A 和 B 的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）求四边形 ACPB 的面积。类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。 （歪歪三角形拦腰来一刀）关于 的知识点：如图 1，过 ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的2铅 垂 高水 平 宽 S三条直线，外侧两条直线之间的距离叫 ABC 的“水平宽”( a)，中间的这条直线在 ABC 内部线段的长度叫 ABC 的“铅垂高( h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法： ，即三角形ahSABC21面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 想
4、一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？xABOCyPBC铅垂高水平宽h a 图 1例 2如图 2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；(2)点 P 是抛物线(在第一象限内) 上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求CAB 的铅垂高 CD 及 ；(3)是否存在一点 P，使 SPAB = SCAB ，若存在，求出 PCABS 89点的坐标；若不存在，请说明理由.解题思路：求出直线 AB 的解析式是为了求出 D 点的纵坐标 ；Dy铅垂高 ，注意线段的长度非负性；分析 P 点在直线
5、 ABDCy的上方还是下方?变式训练 2.如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0） ，连结 OA，将线段 OA 绕原点 O顺时针旋转 120，得到线段 OB.（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、 O、 B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点 P 是（2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标及PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.图 -2xCOyABD11CBA OyxDBA OyxP(3)xyABCP
6、E OxyABCQO(2)变式训练 3.如图，抛物线 cbxy2与 x 轴交于 A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使 PBC 的面积最大？，若存在，求出点 P 的坐标及 PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.一般地，所谓的铅垂高度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，数学表达式为。为了保证这个差值是正数，同学们可以用在铅垂线上靠上点的纵坐标
7、减去靠下点的纵坐标.DCy因此，求出点 D 的坐标，是求铅垂高度 CD 的关键；所谓的水平宽，实际上就是，两个点的横坐标差的绝对值，数学表达式为 .为了保证这BAx个差值是正数，同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去靠左点的横坐标.因此，求出点 A、B 的坐标，是求水平宽的关键.在解这类存在性问题时，通常先假设所要的点是存在的，然后利用给出的条件，认真加以推理求解.【自主练习】1已知如图，矩形 OABC 的长 OA= ，宽 OC=1，将AOC 沿 AC 翻折得APC。3（1）填空：PCB=_度，P 点坐标为（ ， ） ；（2）若 P，A 两点在抛物线 y= x2+bx+c 上，求 b，c 的值，
8、并说明点 C 在此抛物线上；4（3）在（2）中的抛物线 CP 段（不包括 C，P 点）上，是否存在一点 M，使得四边形 MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时 M 点的坐标；若不存在，请说明理由。2如图， 已知抛物线 32bxay（a0）与 x轴交于点 A(1，0)和点 B (3，0) ，与 y 轴交于点 C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点P，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由(3) 如图，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面
9、积的最大值，并求此时 E 点的坐标第 1 题图图 图3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 cbxy2的图象与 x 轴交于 A、 B两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式（2）连结 PO、PC ， 并把POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP /C， 那么是否存在点 P，使四边形POP /C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积.4如图，抛物线 y = ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0） 、B（2，0） ，与 y 轴交于点C，顶点为 DE（1，2）为线段 BC 的中点，BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；（2）在直线 EF 上求一点 H，使CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时， EFK 的面积最大？并求出最大面积KNCEDGAxyO BFCEDGAxyO BF
