1、 二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。4、投影法：利用 s 投影面 =s 被投影面 这个公式对于斜面三角形，任意
2、多边形都成立，cos是求二面角的好方法。尤其对无棱问题5 异面直线距离法：EF2=m2+n2+d22mn cos例 1：若 p 是 所在平面外一点，而 和 都是边长为 2 的正三角形，ABCPBCAPA= ,求二面角 P-BC-A 的大小。6分析：由于这两个三角形是全等的三角形，故采用定义法解：取 BC 的中点 E，连接 AE、PEAC=AB，PB=PCAE BC，PE BC为二面角 P-BC-A 的平面角PEA在 中 AE=PE= ，PA=36P CBA E=900PEA二面角 P-BC-A 的平面角为 900。例 2：已知 是正三角形， 平面 ABC 且 PA=AB=a,求二面角 A-PC
3、-B 的大小。BCPA思维 二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。解 1：（三垂线定理法）取 AC 的中点 E，连接 BE，过 E 做 EF PC,连接 BF平面 ABC，PA 平面 PACPA平面 PAC 平面 ABC, 平面 PAC 平面 ABC=ACBE 平面 PAC由三垂线定理知 BF PC为二面角 A-PC-B 的平面角BFE设 PA=1,E 为 AC 的中点， BE= ,EF=234tan =6EF=arctanB解 2：（三垂线定理法）取 BC 的中点 E，连接 AE，PE 过
4、 A 做 AF PE, FM PC,连接 FMAB=AC,PB=PCAE BC,PE BCBC 平面 PAE,BC 平面 PBC平面 PAE 平面 PBC, 平面 PAE 平面 PBC=PE由三垂线定理知 AM PCPCBAEFMEPCBAF图 1图 2为二面角 A-PC-B 的平面角FMA设 PA=1，AM= ,AF=2721.PEAsin =FA74=argsinM2解 3：（投影法）过 B 作 BE AC 于 E,连结 PE平面 ABC，PA 平面 PACPA平面 PAC 平面 ABC, 平面 PAC 平面 ABC=ACBE 平面 PAC是 在平面 PAC 上的射影PECB设 PA=1,
5、则 PB=PC= ,AB=12,41PECS7PBC由射影面积公式得， ,7cosarg,7PBCESO解 4：（异面直线距离法）过 A 作 AD PC,BE PC 交 PC 分别于 D、E设 PA=1,则 AD= ,PB=PC=22BE= = ,CE= ,DE=PCSB144由异面直线两点间距离公式得AB2=AD2+BE2+DE2-2ADBE , =COS7cosarg,7点评 本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。PCBA EEPCBAD图 3图 4例 3：二面角 的大小为 ，A 是它内部的一点，AB ，AC ,B、C 为EF120垂足。（1） 求证：平面 ABC ,平面 ABC（2）
6、 当 AB=4cm,AC=6cm 时求 BC 的长及 A 到 EF 的距离。分析：本题采用作棱的垂面法找二面角的平面角解：（1）设过 ABC 的平面交平面 于 BD,交平面 于 CDAB ,AB 平面 ABC平面 ABC ,同理平面 ABC（2） ABAB EF同理 AC EFEF 平面 ABDCBD EF, CD EF=BDC1206ABC= cm7260442COS有正弦定理得点 A 到 EF 的距离为：d= cm321460sinBC 二面角的求法 一、复习引入：ABCDlnn1、什么是二面角及其平面角？范围是什么？从一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角 l。以二面
7、角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。范围： 0,2、二面角出现的状态形式有哪些？ 竖立式 横卧式2、二面角的类型及基本方法（1）四种常规几何作求法定义法 垂面法； 三垂线法； 射影面积法 =S 射影多边形 /S 多边形cos（2）向量法：设 和 分别为平面 的法向量，二面角 的大小为 ，向量 mn, l、 的夹角为 ，如图：lnn结论：设 和 分别为平面 的法向量，二面角 的大小为 ，向量 、 的夹角为 ，则有mn, lmn或 结论：一般地，若设 分别是平面 的法向量，则平面 与平面 所成的二面角 的计算公, 式是： 或 ，其mna
8、rcos 时 ）当 二 面 角 为 锐 角 、 直 角( mnarcos当 二 面 角 为 钝 角 时 ）(中锐角、钝角根据图形确定。二、例题讲解：以锥体为载体，对求角的问题进行研究例 1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中， ADBC, ABC=90 ，SA平面AC， SA=AB=BC=1，AD= 21.求面 SCD 与面 SAB 所成的角的大小。解法 1：可用射影面积法来求，这里只要求出 SSCD 与 SSAB 即可，故所求的二面角 应满足 = cos= = 。1236点评：（1）若利用射影面积法求二面角的大小，作为解答题，高考中是要扣分的，因为它不是定理. （ 2）由学生
9、讨论解决，教师根据学生的解答情况进行引导、明确学生的解答 。解法 2：（三垂线定理法）解：延长 CD、BA 交于点 E，连结 SE，SE 即平面 CSD 与平面 BSA 的交线.又DA平面 SAB，过 A 点作 SE 的垂线交于 F.如图.AD BC 且 ADBC 21ADE BCE EA AB SAAB CDES图 1SDCBA又SAAE SAE 为等腰直角三角形，F 为中点， 又DA平面221SAEAFSAE，AFSE由三垂线定理得 DFSEDFA 为二面角的平面角,tanDFA 即所求二面角的正切值.2FAD评注：常规法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；二证：通过简单的判断或推理得到
10、相应角；三求：通过计算求出相应的角。点评：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。总之，在运用三垂线找平面角时，找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理，按三垂线的条件，一垂线垂直二面角的一个面，还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交，交点在二面角的面内。解法 3：（向量法）解：如图，建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(-1，1，0)，D(0， 21，0)，S(0，0，1)，易知平面 SAB 的法向量为 =(0， 2，0)；设平面 SDC 的法向量为 =(x，y，z
11、)，而m n=(-1， 2，0)， =(0， ， 1)， 面 SDC， ， ，n 1 .DCDS2nnDCSDC 得0nS12xyz令 得： 。即 =(1，2，1)1x,yn面 SAB 与面 SCD 所成角的二面角为锐角 ，= = 36cos,nm2=arccos 36.故面 SCD 与面 SBA 所成的角大小为 arccos 36.SDCBA点评：通过此例可以看出：求二面角大小（空间面面角等于二面角或其补角）的常规方法是构造三角形求解，其关键又是作出二面角的平面角，往往很不简单。利用建立空间直角坐标系，避开了“作、证”两个基本步骤，通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的，解题过程实现
12、了程序化，是一种有效方法。搭建平台，自主交流，数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美，一题多解是训练学生思维的有效形式。以柱体为载体，对求角的问题进行研究例 2、已知 D、E 分别是正三棱柱 ABC 一 A1B1C1的侧棱 AA1和 BB1上的点，且A1D=2B1E=B1C1.求过 D、E、C 1的平面与棱柱的下底面所成二面角的 大小.（几何法）解：在平面 M1B1B 内延长 DE 和 A1B1交于 F，则 F 是 面 DEF 与面A1B1C1的公共点，C 1也是这两个面的公共点，连结 C1F，C 1F 为这两 个面的交线，所求的二面角就是 D-C1F-A1
13、.A 1DB 1E，且 A1D=2B1E，E、B 1分别为 DF 和 A1F 的中点.A 1B1=B1F=B1C1，FC 1A 1C1.又面 AA1C1C面 A1B1C1，FC 1在面 A1B1C1内，FC 1面 AA1C1C.而 DC1在面 AA1C1C 内，FC 1DC 1.DC 1A1是二面角 D-FC1-A1的平面角.由已知 A1D=B1C=A1C1，DC 1A1= 4.故所求二面角的大小为 4.法 2：（向量法）解：建立如图的空间直角坐标系 ，设 ，则 ，1，0），E( ,1,1), (0,2,0),xyz12BC(331CD(0,0,2),易知平面 A1B1C1的法向量为 =(0,
14、0,1),n设平面 DEC 的法向量为 =(x，y，z), 而 =( ,1,-1), =(0,2,-2),由1mDE31D10mDE即 ，不妨设 ，得 =（0，1，1） ，面 A1B1C1302xyz0yzmcos,n2与面 DEC 所成角的二面角为锐角 ，1。4A BCC1QD1A1 B1 PxyzD点评：无棱的二面角一般是只已知一个共点，但两个面的交线不知道。若要找出二面角的平面角，则需要根据公理 2 或公理 4 来找出二面角的棱，化为有棱二面角问题，再按有棱二面角的解法解题。这种主要有两类：一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角（两条在同一平面内且不平行） 。那么延长这
15、两条线有一交点，根据公理 2，这点在二面角的棱上，连公共点和这点就是二面角的棱；另一类是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角。这由直线和平面平行的判定和性质定理知这直线和面平行，所以直线平行于二面角的两个面的交线。由公理 4，可知这两条直线平行于二面角的棱。所以过公共点作一条直线平行于这两直线，那么所作的直线是二面角的棱。课堂反馈练习：如图, 直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是梯形，ABCD，ADDC，CD=2，DD 1=DA=AB=1，P、Q 分别是 CC1、 C1D1 的中点，求二面角 B-PQ-D 的大小。解：建立如图所示的坐标系 D-xyz， ，则,A(1,0,0)，),
16、0(2,(0,QPB).1,0(1)1BA因 DA 面 PQD， 所 以 是 面 PDQA的 法 向 量 。 设 为 面 BPQ 的 法),(zyxn向 量 ， 则 ，B解得 ， 取 =(2,1,2)， ,021zxyyzx2n 。 从 图 中 可 知 ， 二面角 B-PQ-D 为锐角，cos3,DAn因 此 二 面 角 B-PQ-D 的 大 小 为 .2arcos点评：二面角问题可以综合较多知识点，可以综合有关的平行、垂直的关系。用到的定理几乎是我们所学立几的知识。所以要有较扎实的基础知识才能够对付得了这类问题。在计算方面要用到解三角形的知识，要会在图中有关的三角形中求出所需的边或角，然后通
17、常归结在一个三角形中去求出最后的结果。总的，解这类题，找平面角是关键的一步，要注意运用题中的条件分析图形，然后用有关的方法找出平面角，计算时要分析所要求的量是可由图中的哪些平面图形去逐步去求出。三、课堂小结：二面角的类型和求法可用框图：点评：自主小结的形式将课堂还给学生，既是对一节课的简单回顾与梳理，也是对所学内容的再次巩固。四、作业：如图，正三棱柱 的底面边长为 3，侧棱 ，D 是 CB 延长线上一点，且1CBA 321A。求二面角 的大小。BCDD1解： 取 BC 的中点 O，连 AO。由题意 平面 平面 ， ， 平面BC1BCOA，以 O 为原点，建立如图 6 所示空间1 直角坐标系， 则 ， ， ，）（ 32,0A）（ 0,2B）（ 0,29D ， ）（ 0,321 ， ）（ ,9D ）（ ,1DB， ，由题意 平面）（ 0,321B1B ABD， 为平面 ABD 的法向量。设平）（ , 面 的法向量为 A1，则 ， ， ，即 。 ),(2zyxnDnA12012nA0329yxzxzy32不妨设 ，由 ， 得 。 故)3,(2 1|,cos2121 nB60,21nB所求二面角 的大小为 。BAD1 60C B1BO A1D C1zA yx
