1、一阶常微分方程的解法摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可分离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。关键词：变量分离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法 Solution of first-order differential equationAbstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the
2、 research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes th
3、e elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate.Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method1. 引言一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量
4、分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.2. 一般变量分离2.1 变量可分离方程形如()dyfxg（1.1）或 12()()MxNydxyd（1.2）的方程，称为变量可分离方程。分别称（1.1） 、 （1.2）为显式变量可分离方程和微分形式变量可分离方程 1.(1) 显式变量可分离方程的解法在方程（1.1）中，若 ， （ 1.1）变形为()0gy()dyfxg积分得()()dyfxCg（1.3）此为（1.1）的解若 ， 使 ，则 也是（1.1）的解()0gy0()gy0y注：当 不包含于（ 1.3）时要特别补上解 0y例 1：
5、求解方程 21ydx解:当 时，方程的通积分为 ，即y221dyxCarcsinrix即 .sin(r)yxC另外，方程还有解 ，不包含在通解中.1y(2) 微分形式变量可分离方程的解法方程 12()()MxNydxyd（1.2）是变量可分离方程的微分形式表达式.这时， 和 在方程中的地位是“平等”的，即 和 都可以被认为是自变量或函数 1.xy在求常数解时，若 ，则 为方程（1.2）的解.同样，若10()y0y，则 也是方程（1.2）的解.20()M0x当 时,用它除方程(1.2)两端,分离变量,得12Ny2112NyMxd上式两端同时积分,得到方程(1.2)的通积分2112NyMxddC例
6、 2:求解方程 2 0xyxy解:首先,易见 为方程的解.其次,当 时,分离变量1,y2(1)得 22110ydxd积分，得方程的通积分（C0）22lnllnxyC或 （C0）1以上内容归纳了变量可分离方程的解法,.有些方程虽然不是变量可分离方程,但是经过变量变换之后,就能化成变量可分离方程,接下来归纳了两类可化为变量可分离的方程及其解法.2.2 可化为变量可分离方程(1) 第一类可化为变量可分离的方程:齐次微分方程如果一阶显式方程(,)dyfx（1.4）的右端函数 可以改写为 的函数 ，那么称方程（1.4）为一阶齐次(,)fxy()g微分方程,也可以写为(1.5)()dyx作变量变换(1.6
7、)u于是 ，从而yux(1.7)dyx把（1.6） ， （1.7）代入（1.5）得()ug即 (1.8)()dugx方程（1.8）是一个变量可分离方程,当 时,分离变量并积分,得到它0的通积分(1.9)1ln()duxCg或 ()1dugCxe即 ()u其中 . 1(),dugC以 代入,得到原方程(1.5)的通积分yx()yxe若存在常数 ,使 ，则 是(1.8)的解, 由 ,得 是0u0()gu0uyux0ux原方程（1.5）的解 1例 3：解方程 22dyx解：将方程化为 ,令 ，代入上式得 ,即 xyu2dux易于看出 , 为这个方程的一个解,从而 为原方程的一个解.2dux0u0y当
8、 时,分离变量得 两端积分后得02.dx1lnCu或 lx将 换成 ,并解出 ,便得到原方程的通解 .uyx lnxyC(2)第二类可化为变量可分离的方程形如 （2.1）1122axbycd的方程是第二类可化为变量可分离的方程 1.其中 均为常数.分如下情况：12,abc()0i.12axbyd即 12xydab用变量代换 即可化为可分离变量的微分方程yux1122()abcik令 uxy则 1222kucduyabxx是可分离变量的微分方程12()abi若 不全为零，则1,c11220axbyc代表 平面上的两条相交的直线有且只有唯一的交点,设为oxy ,令 ，则上述方程变为XY120aXb
9、Y则（1.7）变为 为可分离变量的微分方程12aXbYdxgy注：若 ，则为 的情形10ci例 4：求方程 .25yxd解：令 ,则 ，代入得到 ，有 uduudx71，所以d7，)(72为 常 数Cx把 u代入得到 。)(为 常 数）（ yx例 5：求方程 .12yxd解：由 ,得 ,令 ,有 ，代入得到023y31yvxuduxvy，uvud21令 ， 有 ，代入得到 ， 化简得到，uvttttdt，)1(222tttdu有 ， 所以有)(2)1ln(l 为 常 数Ctu )(121Cetu，故代入得到 )0(,3113121Cxyx3 常数变易法一阶线性微分方程的一般形式 ()dypxf
10、（2.2）其中 在考虑的区间上是 的连续函数.(),pxf当 时,即 0（2.30dyPx）称为一阶线性齐次微分方程，当 ，称为一阶线性非齐次微分方程.()0fx3.1 齐次方程通解的解法：一般变量分离对 分离变量，得dypx1dypx两边同时积分，得 1lnc即 2pxdyce则 (0)3.2 非齐次方程通解的解法：常数变易法不难看出,（2.3）是（2.2）的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中 恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在c中将常数 变易为 的待定函数,使它满足方程,从而求出
11、 为此，令cx ,xc()pxdye（2.4）为方程（2.2）的解，其中 待定，将（2.4）代入（2.2） ，()cx得 ()() () ()pdpxd pxdcxeexcef 即 ()xcf从而 ()()pxdcxfec故，方程（2.2）的通解为 ()()()pxdpxdpxdyefe注：一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和 4。例 6：求解方 2dx（2.5）解：方程（2.5）所对应的齐次方程为 （2.6dyx）其通解为,1lndxxycec由常数变易法，令 为方程（2.5）的通解，并代入（2.5）(x)2c()x即 ， ，则方程（2.5）的通解为 (
12、x)c21cx.312ycx4恰当微分方程若一阶微分方程 （2.7）0),(),(dyxNyxM的左端恰好是某个二元函数的全微分，即 dyuxu),(),(),(则（2.7）为恰当微分方程，其中 ， 为某矩形区域上连续且具有,yx,N连续的一阶偏导数 1那么如何判定一个微分方程是否为恰当微分方程呢，下面给出其判别方法 若（2.7）为恰当微分方程，则（2.8）xuM（2.9）yN对（2.8） ， （2.9）分别求关于 ， 的偏导数，有 yxyxuM2， ， 由 ， 的连续性，可知 故 ，此即xyuN2MN2xN为判定微分方程是否为恰当微分方程的充要条件下面来讨论(2.7)的通解形式由(2.8)知
13、 (,)()uxyd是 的可微函数，下面来求 ,使 也满足 (2.9)y()(,)yMxdNy由此知 ()(,)dNxyy下证 与 无关即可xyMN),( 0),(),(),( yMxNdyxyxNdyxMNdx所以左边与 无关积分得 ()(,)yNxyd所以 yxMydxyMyxu),(),(),(从而，原方程的通解为 CdyxyNxyyx ),(),(),(为任意常数C例 7: 0)46()3( 322ddx解：由题意得到， ,由32246),(, yxyNxyxM得到，原方程是一个恰当方程；xNyM12下面求一个 ，由),(),(),(),(.),( yxNyGXMxyGtsy ，得26
14、3, x，两边对 y求偏导得到 ，)(3),(2yxyxG 32246)(yxyy得到 ，有 ，故 ，由 ，得到34)(4)(423),(xxG0dG.)342为 常 数Cyx5积分因子恰当微分方程可以通过积分求出它的通解因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义积分因子就是为了解决这个问题引进的概念如果存在连续可微函数 ，使得,0xy, ,0xyMdNxyd为一恰当微分方程，即存在函数 ，使u，xu则称 为方程 的积分因子； 积分因子不唯一 2.,xy,0xydy函数 为 积分因子的充要条件是MNx()()y即 ()Mxx假设原方程存在只与 有关的积分因子 ，则 ，则 为原方0x程的积分因子的充要条件是 ，即 仅是关于()Nxyx()Ny
