1、七年级上册数学数与数轴一、复习小学关于数的知识及运算1、自然数 定义:表示物体个数及顺序的数，如 0,1,2,3,4,5，. 无穷多个。特别地规定：0 是最小的自然数。2、分数 定义：把单位 1 平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。如：。分数可以表示为一个出发算式：如 表示为 。或者 = 。15,7 12123、小数 定义：把 10 进分数按照整数的写法写成不带分母的形式，这样的数叫做小数。如 2.13，其中 2 是整数部分，0.13 是小数部分。整数部分不为零的小数叫做带小数，整数部分为 0 的小数叫做纯小数，如：0.25。任何一个小数都可以表示为：整数部分 + 小数部分。任何
2、一个分数都可以用小数表示：如 计作： 。1=0.3. 0.3。41=0.8, .25, =0., .25, 6, 142857544、运算规则：先乘除，后加减。有括号先算括号里面的。如：。3+-()_运算定律：交换律： , 问题： 1 万亿和 1 亿万哪个多？, abab加法对乘法的结合律： ，反之也成立：()cc()abc5、奇数：不能被 2 整除的数为奇数如：1，3,5,7,9,11 . 也可以表示为 2n+1 （n 为0,1，2,3,4,5,6 .）如果要表示为 2n-1，则 n 为 1,2,3,4 .。偶数：能被 2 整除的书为偶数，如 2,4,6,8,10 表示为 2n，n 为 1,
3、2,3,4,5,6 。特别地规定：0 是偶数，所以上面表示偶数的 2n 中的 n 也可以为 0。倒数：乘积为 1 的两个数则互为倒数，可以表述为：如果 ，则 互为倒数。1ab,a其中 均不能为 0。注意：0 没有倒数。,ab思考： 1a如 果 , 则如 果 则 01a如 果 -, 则如 果 a则求和问题：1）自然数求和： (1)1+234n=22）奇数求和： （注意：n 从2(1)(2)(11357(2) ()2nn0 开始） 2()() (:) 注 意 从 开 始解题方法：头加尾，乘以个数除以 23）偶数求和：（其中 n 为自然数）(1)2462(13)2()nn4） 11+2345()n解
4、：同理可解（试一试）： 111+ )357(2)()n 其 中 n=1,231 )23141234n 其 中 n=1,231+234(1)11()()()51234()()1() nnnn111+ )2462462n 其 中 n=1,23二、数的扩充1、负数 生活中为了表示具有相反意义的量（数量） ，对数的概念进行了扩充，从而引进了负数。比 0 小的数叫做负数。如下图：某人从某一点 A 向东走了 5 米计作 5 的话，那么向西走了 5 米则可计作 -5。对应的向东走 5 米可计作 +5 ，一般省略 + 号。生活中有很多相反意义的数量如：天气预报，今日气温零下 5 度到 3 度，可表示为-53，
5、零下的就用负数表示。在生活中，你还能举出具有相反意义的数量吗？2、相反数 因为负数产生就是为了表示具有相反意义的量。因此，如上图中的+5 和-5就互为相反数。规定：0 的相反数为 0.a 的相反数可以表示为 a 。如：3 的相反数是-3. 的相反数是- 。1212-5 的相反数是 5 。- 的相反数是33互为相反数的两个数之和为 0 。即：若 a , b 互为相反数，则 a + b =0证明如下：对于以上结论反过来也成立，即：如果 0,aba如 果 那 么 互 为 相 反 数 。试证明： ab与 互 为 相 反 数3、有理数A 东西 ,()0aba互 为 相 反 数 ， 则有理数正整数正分数负
6、整数负分数0注意：1）0 和正整数合称为自然数，0是最小的自然数2）任何循环小数都可以表示为一个分数。4、数的乘方1）定义 表示: n 个相同数的乘积。aa记作：。,n na a读 作 的 次 方 ， 或 者 a的 n次 幂 。 其 中 a叫 底 数 ， n 叫 指 数 ， 的 结 果 叫 幂2）乘方运算法则：相加： （相同的幂，系数不同，则幂不变，系数相加。 ）34nn2mmann乘法： （底数相同，指数不同的两个幂相乘，则底数不变，指数相m加）算一算： ？ 123410aa除法： （底数相同，指数不同的两个幂相乘，则底数不变，指数想mn减）算一算： ？ 2017a乘方的乘方： （底数不变，
7、指数相乘）()mn算一算： ？ ， ？ ， 3223()观察结果。说明 ，因为乘法有交换律。mnmnaa牢记：负数的奇数次方为负数 3()27负数的偶数次方为正数 481n 个0 的任何次方等于 0 0n1 的任何次方等于 1 1任何不为 0 的数的 0 次方等于 1 00 是不存在或没有意义的a以上结论能证明吗？当指数为负数时表示什么？ 3 的-2 次方即 ？ ，我们现在来计算：23因此： （ ） 证明如下：1na0由上面推导中有 ，因此 。01nnaana和 互 为 倒 数练习： -3-2-2535=3=()（ ） ， （ ） ， 思考题：当 a0, 则 a2 0, a3 0当 a0, 则
8、 a2 0, a3 0如果 a , m, n 为大于 1 的正整数且 mn,那么 1mna如果 0a 1, m, n 为大于 1 的正整数且 mn，那么 n证明：如果 ， 且 ，m 和 n 互为相反数。amn和 互 为 倒 数乘方练习题（有难度哦）020-2-2191=3919两 式 相 除 则 ：因 此 ： 01,=1nnnnnaa0,两 边 同 时 除 以 则 有 ：122321 2017201792017108,436,396,5,5mnmabcn、 已 知 ： 求 的 值 。、 已 知 求 的 值3、 若 求 的 值4、 已 知 ： a,b为 正 整 数 ， 且 4求 （ a-bc)、
9、 判 断 下 列 各 数 的 个 位 数2213431972014,(.5)8,5(1)(1)020,820,nnxxabcdxy nadbcxyA6、 已 知 求 的 值7、 计 算 （ -)、 若 求 的 值9、 已 知 求 证 （、 已 知 求 的 值5、有理数的运算有理数加法：同号相加，取原来的符号，并把绝对值相加 -3+(2)=-5异号相加，取绝对值大的符号，用大的绝对值减去小的绝对值。-3+(5)=-2任何数加 0 等于任何数： 0a有理数减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，表示为： ()ab如： ，5(2)75(3)(532有理数乘法：同号相乘为正，异号相乘为负，并把绝对值相
10、乘。任何数乘以 0 为 0如： ，(3)10(1)任何数乘以 0 为 0，表示为： a有理数除法：除以一个数等于乘以一个数的倒数.如： ，111842（ ）2nnnaa na和 互 为 倒 数有理数混合运算：先乘方，在乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的。 （括号里面也要先乘方，在乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的）523(19)如： （注意演算过程）5532(19)4312计算： ？ 379()(20绝对值与数轴一、数轴定义：用一条直线上的点来表示数，这条直线就叫数轴数轴有三个要素：1、规定了原点，代表 02、规定了正方向，一般原点向右为正，原点向左为负。3、规定了单位长度 1，1 的
11、位置到原点的距离为单位长度。数轴的特点：1、任何一个数都能在数轴上找到相应的点，一一对应。2、数轴能比较大小，右边的数比左边的数大。3、正数大于 0，负数小于 0.正数大于负数4、互为相反数的两个数分别位于原点的两边并且离开原点的距离相等从数轴上可以看出，如果 A 点落在-1 和-3 之间，则 A 点对应的数值计作 a, 那么下面的不等式成立：-3 0 时 )a= -a ( a 0 时 )0 的绝对值是 0，任何数的绝对值都大于等于 0。即a0ba变化一下，我们来看看 表示的意义:2x两种思考方法：1、分段分析法（代数法）0,2()02(xxx当 时 ，当 时 ，2、几何分析法根据绝对值的概念
12、： 表示在数轴上2=-x（ ） -2到 的 距 离同样的道理： 33x表 示 的 点 到 的 距 离例题：1、解：2、如果 22(5)0,xyxy求解：x x-3 -2 -1 210距离距离 20,33=02,1ababab如 果 求 ，要 使 ， 那 么 ，2 222()(5)=050,()541=yxyxy因 为 ，要 使 ， 则 ，则 。所 以 ：3、 31xx当 在 什 么 数 值 范 围 时 ， 的 有 最 小 值 ， 最 小 值 是 多 少 ？解：分段法： 1=24x当 时 ，ab31-(3)xxx当 时 ，综上分析： 4,-1xx当 时 ， 达 到 最 小 值 ， 最 小 值 为 4几何解法：根据绝对值的概念： 3-1xx表 示 到 的 距 离 ， 表 示 到 的 距 离 。如上图所示：只有当 x 落在-3 和 1 之间距离最短，因此 -31 -=当 时 ， 达 到 最 小 值 ， 最 小 值 为 （ 3） 44、如果 +25,xyxy求 的 最 大 值 与 最 小 值解：根据绝对值概念，距离x-3 -2 -1 210xx -3+25161-=5=6-3+25,-4-7xyxyxyxx所 以所 以 只 有 当 ， 时 ， 等 式 成 立 。所 以两 式 相 加 则 有 7所 以 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为
