1、除了升本一切都是浮云！ 编辑：王小帅 海量专升本资料下载地址：http:/ 1 / 10专升本高等数学公式（全）常数项级数： 是 发 散 的调 和 级 数 ：等 差 数 列 ：等 比 数 列 ： nqqnn13212)(12 级数审敛法： 散 。存 在 ， 则 收 敛 ； 否 则 发、 定 义 法 ： 时 ， 不 确 定时 ， 级 数 发 散时 ， 级 数 收 敛， 则设 ：、 比 值 审 敛 法 ： 时 ， 不 确 定时 ， 级 数 发 散时 ， 级 数 收 敛， 则设 ： 别 法 ） ：根 植 审 敛 法 （ 柯 西 判、 正 项 级 数 的 审 敛 法 nnnnsusUulim;31li
2、21lim1211 。的 绝 对 值其 余 项， 那 么 级 数 收 敛 且 其 和如 果 交 错 级 数 满 足 莱 布 尼 兹 定 理 ：的 审 敛 法或交 错 级 数1113243 ,0li )0,( nnn n urrusuu绝对收敛与条件收敛： 时 收 敛 时 发 散 级 数 ： 收 敛 ； 级 数 ： 收 敛 ；发 散 ， 而调 和 级 数 ： 为 条 件 收 敛 级 数 。收 敛 ， 则 称发 散 ， 而如 果 收 敛 级 数 ；肯 定 收 敛 ， 且 称 为 绝 对收 敛 ， 则如 果 为 任 意 实 数 ；， 其 中1)1(1)()2()1(232pnpnuun 除了升本一切
3、都是浮云！ 编辑：王小帅 海量专升本资料下载地址：http:/ 2 / 10幂级数： 01)3(lim)3(111 1121032 RaaRRxxaxaxx nnnn 时 ，时 ，时 ，的 系 数 ， 则是， 其 中求 收 敛 半 径 的 方 法 ： 设 称 为 收 敛 半 径 。， 其 中时 不 定时 发 散时 收 敛， 使在数 轴 上 都 收 敛 ， 则 必 存 收 敛 ， 也 不 是 在 全， 如 果 它 不 是 仅 在 原 点 对 于 级 数 时 ， 发 散时 ， 收 敛 于 函数展开成幂级数： nnn nnxfxffxfx RfR xfxfxfx !)0(!2)0()(0)(0 li
4、m,()!1 )(!)(!)()10( 00)(2000时 即 为 麦 克 劳 林 公 式 ： 充 要 条 件 是 ：可 以 展 开 成 泰 勒 级 数 的余 项 ：函 数 展 开 成 泰 勒 级 数 ：一些函数展开成幂级数： )()!12()!53sin )1(1)(1)( 2 xnxxx xnmmm 可降阶的高阶微分方程类型一： ()nyfx解法（多次积分法）： (1)()()nduuyfxfx令 多 次 积 分 求类型二： (,)yfx解法： (,)dpf令 一 阶 微 分 方 程除了升本一切都是浮云！ 编辑：王小帅 海量专升本资料下载地址：http:/ 3 / 10类型三： (,)yf
5、解法： (,)dpydpfyx令 类 型 二类型四： )()( Qy若 Q(X)等于 0，则通解为 （一阶齐次线性）。若不等于 0，通解dxpCey)(（一阶齐次非线性）。cdxeeypdxp)()(一阶齐次非线性方程的通解是对应齐次方程的通解与它的一个特解之和。三、线性微分方程类型一： （二阶线性齐次微分方程）()0yPxQy解法：找出方程的两个任意线性不相关特解： 12(),yx则： 12()()()yxcyx类型二： （二阶线性非齐次微分方程）()PQf解法：先找出对应的齐次微分方程的通解： 312()()()yxcyx再找出非齐次方程的任意特解 ，则：()pyxpc类型三： （二阶线性
6、常系数齐次微分方程）0ypq解法（特征方程法）：221,240qpq（一） 1221240xxpqyce（二） 1212()（三） 12, (cosin)xiiyex除了升本一切都是浮云！ 编辑：王小帅 海量专升本资料下载地址：http:/ 4 / 10导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：axactgxxctgln1)(logs)(es)(2 221)(1)(arcosinxarctgxxCaxaxdshcxadCxctgxctgddxx)ln(lnsseesineco2222CaxadxaxadxCrctgtxxdctgCrcsinl21n1slsenilcos22Caxxadxa
7、axaxdaxIndInnn rcsin22l)(221cossi2 22 22020除了升本一切都是浮云！ 编辑：王小帅 海量专升本资料下载地址：http:/ 5 / 10一些初等函数： 两个重要极限：和差角公式： 和差化积公式： 2sini2cosco2sin2sincoictgtctg1)(1sincos)cos(ini xarthcxsechstxeshxxx1ln2)(l:2:2）双 曲 正 切双 曲 余 弦双 曲 正 弦 .59047182.)1(limsin0exx除了升本一切都是浮云！ 编辑：王小帅 海量专升本资料下载地址：http:/ 6 / 10倍角公式：半角公式： cos
8、1insico12cos1insico12 scsssin tgtg 正弦定理： 余弦定理： RCBbAa2iiin Cab22反三角函数性质： rctgxarctgxxxarcosrcsi 中值定理与导数应用： 拉 格 朗 日 中 值 定 理 。时 ， 柯 西 中 值 定 理 就 是当柯 西 中 值 定 理 ：拉 格 朗 日 中 值 定 理 ：xFfabfab)(F)()( )：23313cos4cosiniintgt22 2221sicosin1cossinitgtt除了升本一切都是浮云！ 编辑：王小帅 海量专升本资料下载地址：http:/ 7 / 10空间解析几何和向量代数 。代 表 平
9、 行 六 面 体 的 体 积 为 锐 角 时 ，向 量 的 混 合 积 ： 例 ： 线 速 度 ：两 向 量 之 间 的 夹 角 ： 是 一 个 数 量 轴 的 夹 角 。与是向 量 在 轴 上 的 投 影 ：点 的 距 离 ：空 间 ,cos)( .sin,cos,Pr)(Pr ,cos)()()(2 2222121 21212121 bacbaccba rwvkjic babbabajjj uABABzyxMdzyxzyxzyx zyxzyx zyxzyxuu （ 马 鞍 面 ）双 叶 双 曲 面 ：单 叶 双 曲 面 ：、 双 曲 面 ： 同 号 ）（、 抛 物 面 ：、 椭 球 面 ：
10、二 次 曲 面 ： 参 数 方 程 ：其 中空 间 直 线 的 方 程 ： 面 的 距 离 ：平 面 外 任 意 一 点 到 该 平、 截 距 世 方 程 ：、 一 般 方 程 ： ， 其 中、 点 法 式 ：平 面 的 方 程 ： 13,2211 ;,1302 ),(,)()()(12222 0000 2200 0000 czbyaxqpzyxcba ptznymxpnmstpznymxCBADzyxdczbyaxDCBA zyxMCBAnz除了升本一切都是浮云！ 编辑：王小帅 海量专升本资料下载地址：http:/ 8 / 10多元函数微分法及应用zyzx yxxyxyxFzyxF dFdd
11、dyvdvyudxvxzuxzfz tvtdttvu xffzdzududyxzd ， ， 隐 函 数 ， ， 隐 函 数隐 函 数 的 求 导 公 式 ： 时 ，当 ：多 元 复 合 函 数 的 求 导 法全 微 分 的 近 似 计 算 ： 全 微 分 ： 0),( )()(,),(),()(, ),(),(2微分法在几何上的应用： ),(),(),(3 0)(,(,2 )(),()(1,0),( ,0),( 0)()()( (,)(000 0000 000 0000 zyxFzyxzyxF zyxFzyxzyxzyxnMzyxF GFGFTGzyxFztytxt tyxzytzytx zz
12、yxzy 、 过 此 点 的 法 线 方 程 ： ：、 过 此 点 的 切 平 面 方 程、 过 此 点 的 法 向 量 ： ， 则 ：上 一 点曲 面 则 切 向 量若 空 间 曲 线 方 程 为 ：处 的 法 平 面 方 程 ：在 点 处 的 切 线 方 程 ：在 点空 间 曲 线 方向导数与梯度：除了升本一切都是浮云！ 编辑：王小帅 海量专升本资料下载地址：http:/ 9 / 10上 的 投 影 。在是单 位 向 量 。 方 向 上 的， 为， 其 中：它 与 方 向 导 数 的 关 系 是 的 梯 度 ：在 一 点函 数 的 转 角 。轴 到 方 向为其 中 的 方 向 导 数 为
13、：沿 任 一 方 向在 一 点函 数 lyxflf ljieyxflf jyfxyxpyxfzl yffllfz),(grad snco),(grad,),(),( sinco),(),( 多元函数的极值及其求法： 不 确 定时 值时 ， 无 极为 极 小 值为 极 大 值时 ，则 ： ， 令 ：设 ,0),( ),(,),(,),(0),(),(2 02 0000ACByx CyxfByxfAfff xyx柱面坐标和球面坐标：曲线积分： )()()(),(),( ,)(, 22 tyxdtttfdsyxf tytxLfL 特 殊 情 况 ： 则 ： 的 参 数 方 程 为 ：上 连 续 ，在
14、设 长 的 曲 线 积 分 ） ：第 一 类 曲 线 积 分 （ 对 弧除了升本一切都是浮云！ 编辑：王小帅 海量专升本资料下载地址：http:/ 10 / 10。， 通 常 设 的 全 微 分 ， 其 中 ：才 是 二 元 函 数时 ，在 ：二 元 函 数 的 全 微 分 求 积 注 意 方 向 相 反 ！减 去 对 此 奇 点 的 积 分 ， ， 应。 注 意 奇 点 ， 如， 且内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数在，、 是 一 个 单 连 通 区 域 ；、 无 关 的 条 件 ：平 面 上 曲 线 积 分 与 路 径 的 面 积 ：时 ， 得 到， 即 ：当 格 林 公 式 ：格 林 公 式 ： 的 方 向 角 。上 积 分 起 止 点 处 切 向 量 分 别 为和， 其 中系 ：两 类 曲 线 积 分 之 间 的 关 ， 则 ：的 参 数 方 程 为设 标 的 曲 线 积 分 ） ：第 二 类 曲 线 积 分 （ 对 坐 0),(),(),( ),( )0,(),(),(21 212, )()( cos()(),),(),(),( 0),0 yxdyxQyxPyxu uQ yPxQGyxPG ydxdxyADPQ QPdyxdyxL dQttttPyxdyxPL DLDLL
