1、1江苏省 2012 年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（三）解析高等数学注意事项：1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。3.本试卷五大题 24 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在题后的括号内）1、设函数 二阶可导，且 ， ，则 为 的( )(xf()0fx()fx0)xfA、极大值点 B、极小值点C、极小值 D、拐点横坐标2、设 ，则 等于( )2sin(xy0)1(xyA、1
2、B、1 C、0 D、 213、连续曲线 和直线 ， 与 轴所围成的图形的面积是( )(xfyabx)(xA、 B、dfba)( adfC、 D、xbx)(4、与三坐标夹角均相等的一个单位向量为( )A、 （1， 1，1） B、 （ ， ， ）31C、 （ ， ， ） D、 （ ， ， ）3 315、设区域 ，则 ( )2:14DxydxyA、 B、 C、 D、346、下列级数收敛的是( )2A、 B、1n 1)cos(nC、 D、1()n12)(n二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）7、极限 423lim()xx8、函数 若 在 处连续，则 0,2tansi)(xf
3、 )(f0xa9、积分 ()3bafd10、设向量 ， ， ，则 123baba11、微分方程 的通解是 30y12、幂级数 的收敛域为 nnx1三、解答题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分）13、求极限 。)214(lim2xxx14、已知 由方程 确定，求 。yx(1)2xyxyee(0)y315、求不定积分 。324xd16、设 ，求 。1,2)(xf 12)(dxf17、设区域 为圆周 与 轴在第一象限所围部分，求 。Daxyx22Dxyd418、已知函数 ，其中 具有二阶连续偏导数 ，求 。 ),(xyfz),(vuf yxz2,19、将函数 展开为 的幂级数，并指
4、出收敛区间。213xfx20、求经过点 ，且垂直于直线 ，又与平面)3,21(A654:zyxL平行的直线方程。0987:zyx5四、综合题（每小题 10 分，共 20 分）21、设曲线 ,xyln（1）求该曲线过原点的切线；（2）求由上述切线与曲线及 轴所围平面图形的面积；（3）求（2）中平面图形绕 轴旋转一周所成的旋转体的体积 。22、设函数 可导，且满足方程 ，求 。)(xf 0()()xftfdt)(xf6五、证明题（每小题 9 分，共 18 分）23、设 上连续，求证： ，并利用上述结果计算baxf,)(在 baba dxfdxf)()(积分 。16)lndxeI24、设函数 在 上
5、二阶可导，且 ， 。)(xf,ba0)(xf 0)(bfaf证明：（1）任意 ， ；（2）存在 ，使得 。 )(xf ,)(f7江苏省 2012 年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（三）高等数学一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在题后的括号内）1、设函数 二阶可导，且 ， ，则 为 的( )(xf()0fx()fx0)xfA、极大值点 B、极小值点C、极小值 D、拐点横坐标解析：该题考察函数 极值点、拐点的充分条件， ， ，则 为()fx()0fx()fx0的极小值点，故本题答案选 B（极
6、值判别第二充分条件）)(xf2、设 ，则 等于( )2sin(xy0)1(xyA、1 B、1 C、0 D、 21解析：该题考察常用函数高阶导数公式 ， 阶导数的求法主要有以下几种：n（1）归纳与递推法（2）高阶导数运算法则：莱布尼兹公式（3）利用函数在一点幂级数展开式的唯一性， ，则 ，由此1()nfxa()0!nfx解出 。()0nfx因为 ，所以 ，()sii)2n()sinsin)22xx将 代入即可，故本题答案选 A,1xn3、连续曲线 和直线 ， 与 轴所围成的图形的面积是( )(xfyabx)(x8A、 B、dxfba)( badxf)(C、 D、 b解析：本题考察定积分的几何意义
7、：曲边梯形面积的代数和。故本题答案选 A4、与三坐标夹角均相等的一个单位向量为( )A、 （1， 1，1） B、 （ ， ， ）31C、 （ ， ， ） D、 （ ， ， ）3 31解析：本题考察单位向量与方向余弦的性质。记夹角为 ，则单位向量，cos,cs由 得 ，故本题答案选 C2311o35、设区域 ，则 ( )2:4DxyDdxyA、 B、 C、 D、34解析：本题考察二重积分的几何意义：曲顶柱体的体积；当被积函数为 时即为区域 的1D面积。本题区域 是介于半径分别为 和 的圆之间的圆环。其面积为大圆与小圆面积之12差，故本题答案选 C6、下列级数收敛的是( )A、 B、1n 1)co
8、s(nC、 D、1()n12)(n解析：该题考察级数的收敛性质、级数收敛的必要条件， 级数等。 故本题答案选 CP记住 当 时收敛， 时发散。1:pn1p9交错 当 时绝对收敛， 时条件收敛， 时发散。1():np101p0p二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）7、极限 423lim()xx解析：求极限时，先判断极限类型，若是 或 型可以直接使用罗比达法则，其余类型可0以转化为 或 型。罗比达法则求极限的好处主要有两方面，一是通过求导降阶，二是通0过求导将难求极限的极限形式转变为容易求极限的形式。不过，在求极限时应灵活使用多种方法，特别是无穷小量或是无穷大量阶的比较
9、，使用等价无穷小或是等价无穷大的目的是将函数转换为幂的形式，方便判别阶数。本题为“ ”型，利用第二重要极限1。1lim()eAA。42()4231lili(xxx e8、函数 若 在 处连续，则 0,2tansi)(xxf )(f0xa解析：分段函数在分段点处的极限、连续性与可导性，若分段点的左右两侧的表达式互不相同，则必须使用定义左右分别讨论。本题只需按照连续性定义讨论即可。在 连续，等价于 ，也即()fx00lim()xf， 00limli(2)xxa0sn()li2txxxf左右极限均等于函数值，即 ，解得 。1a9、积分 ()3bafdx解析：本题考查不定积分的定义，凑微分法以及定积分
10、的计算。()()3()()3bbbaaaxaffff1010、设向量 ， ， ，则 1a2b3aba解析：该题考察向量的基本运算数量积运算。两向量数量积为对应分量乘积之和，结果是一个数量。因为，代入数据得 。222()ababab1ab11、微分方程 的通解是 30y解析：特征方程为 ，解得2r120,3r原方程的通解为 。0312xxxycece12、幂级数 的收敛域为 nnx1解析：对于幂级数 ，如果 ，则0na1limlinnaa或收敛半径 ，收敛区间为 。再将 代入级数具体考查。若幂级数1R,RxR缺少的奇次项（偶次项）或上述极限不存在（不是无穷） ，则此时将 当作常量转0naxx化为常数项级数处理。本题 ，所以 ，1limli12na1R时， 级数 发散， 时，级数 收敛，故收敛域为 。x1nx1()n)1,对于幂级数 只需作变量代换 即可。01()nnax0xt三、解答题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分）13、求极限 。)214(lim2xxx
