1、专升本高等数学公式一、求极限方法：1、当 x 趋于常数 时的极限：0； ；0220xlim(abc)axbc0axbcdaxblimc 当；d,li 当 但222000axbfcxe,axbflicde 当 且 可 以 约 去 公 因 式 后 再 求 解 。2、当 x 趋于常数 时的极限：1naf nm,limce 只 须 比 较 分 子 、 分 母 的 最 高 次 幂 若 则 。若 则 =0。若 则 。3、可以使用洛必达发则：；对 也同样成0f(x) f(x)f(x)gli lig g 当 时 ， 与 都 或 0立。而且，只要满足条件，洛必达发则可以多次使用。二、求导公式：1、 ；2 、 ；
2、3、 ；4、 ；5、0c1n(x)x(a)lnx(e)1(log)al6、 ；7、 ；8、 ；9、x(si)cosx(cs)ix2(tan)secx10、 ；11、 ；12、2(ct)c(e)tancsot13、 ；14、 ；15、 ；21arsinx 21rcosx21(artx)16、 ；17、 ；18、 ；19、2(cot)(h)(chx)s；20、 ；21、 ；22、2thx) 21(arsx) 21ar；21(ar三、求导法则：(以下的 5、7、8 三点供高等数学本科的学员参阅)1、 ；2、 ；ux)v(u(x)v(kvx)()3、 ；4、( )u2uxv()u(x)()4、复合函数
3、 的求导： 。yf（ x） f=f,=()（ x） 其 中5、莱布尼茨公式： 。0(n)k(n)(kuv=vc6、隐函数求导规则：等式两边同时对 x 求导，遇到含有 y 的项，先对 y 求导，再乘以 y 对 x 的导数，得到一个关于 的方程，求出 即可。y7、参数方程 的求导： ； ，高阶导数依g(t)fdf(t)xg2f(t)d)g(txx次类推，分母总是多一个 ，这一点和显函数的求导不一样，要注意！t四、导数应用：1、单调性的判定：导数大于零，递增；导数小于零，递减。2、求极值的步骤：方法一：求导、求驻点及使导数不存在的点、划分区间画图表判断、代入求值。方法二：求导、求驻点及使导数不存在的
4、点、判断二阶导在上述点的值的符号，二阶导小于零，有极大值，二阶导大于零，有极小值。4、求最值的步骤：求导、求驻点及使导数不存在的点、求出上述点处的函数值并进行比较、最大的即是最大值，最小的是最小值。5、凸凹的判定：二阶导大于零则为凹；二阶导小于零则是凸。6、图形描绘步骤：确定定义域、与 x 轴的交点及图形的对称性；求出一阶导、二阶导及各自的根；划分区间列表判断以确定单调性、极值、凸凹及拐点；确定水平及铅直渐近线；根据上述资料描画图形。五、积分公式：1、 ；2、 ；3、 ；4、kdxc 1xdxc() 1dxlnc；5、 ；6、 7、ealn osi；sinxdcos8、 ；9、 ；10、tan
5、xdl|cosx cotxdln|siccs11、 ；12、 ；13、etsec 2sectaxc 2scxdotc； 14、 ；15、 ；16、 ；shxd hxd sedln|eta|17、 ；18、 ；cln|csot|c21xarct19、 ；20、 ；21xari2 0,()a21、 ；22、 ；2 0xdln|c,()21xdarcsinx23、 ；24、 ；21arcsixarsi 21arcosoc25、 ；26、tndctxln；2rcoroc27、 ； uvu六、定积分性质：1、 ；2、bbaakf(x)df(x)bbbaaaf(x)gdf(x)g()dx3、 ；4、 ；5
6、、 ；ccdaf6、 ；baf()f()b,(,)7、 ；udv8、 ；9、 ；xa(ft)f() 02xaf()daf(x)d 是 偶 函 数是 奇 函 数10、 ； 11、 ；budv()|vu bf(x)lim12、 ；cbf(x)limf(x)dlif()dac七、多元函数1、N 维空间中两点之间的距离公式： 的距离1212,n,np(x.)Q(y.)21PQ(y).x2、多元函数 求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时看作常量。比zf(x,)如， 表示对 x 求偏导，计算时把 y 当作常量，只对 x 求导就可以了。3、高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即 。2
7、2zyx4、多元函数 的全微分公式： 。zf(x,y)zdxd5、复合函数 ，其导数公式： 。f(u,v)(t),(t)zuzdvtt6、隐函数 F(x,y)=0 的求导公式： ，其中 分别表示对 x,y 求偏导数。XyFdxy,7、求多元函数 z=f(x , y)极值步骤：第一步：求出函数对 x , y 的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的 x,y 的值第二步：求出 000xyf()Af(,)B,f(x,)C第三步：判断 AC-B2 的符号，若 AC-B2 大于零，则存在极值，且当 A 小于零是极大值，当A 大于零是极小值；若 AC-B2 小于零则无极值；若 AC-B2 等于零则无法判断
8、8、双重积分的性质：（1） (,)(,)DDkfxydkfxyd（2） ,(,)Dgfgxyd(3) 12(,)()()DDDfxyfxy(4)若 ，则,fdxy（5） ，其中 s 为积分区域 D 的面积Dd（6） ，则(,)mfxyM(,)mfxyMs（7）积分中值定理： ，其中 是区域 D 中的点(,)Dfds(,)11、双重积分总可以化简为二次积分（先对 y，后对 x 的积分或先对 x，后对 y 的积分形式） ，有的积分可以随意选择积分2 21 1() ()() ()(,),PxPybdDacfxydfyfxd次序，但是做题的复杂性会出现不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分
9、区域和被积函数来确定12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以按照求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法八、排列组合及概率公示1、排列数公式： 。当 mn 时称作(1)2(1)mnPn全排列，且其排列总数的计算公式是 ，简记作 n!。22、组合公式： 。()()!mnCP特殊的，记 。另有 ，故记 。1nnm01nC3、互斥事件：不能同时发生的事件。互斥事件 A、B 中有一个发生的事件记作A+B，其概率等于事件 A、B 概率之和，即 P（A+B）P（A）+P（B） 。相互独立事件：有 A，B 两个结果，且 A 事件的发生与否与 B 事件是否发生没有关系。两个事件同时发生记作 AB，其概率是 。()()pp相互独立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是相互独立事件。4、n 次独立重复试验：设 A 事件发生的概率是 p，则 n 次试验中 A 事件发生了k 次的概率是 。()(1)knknpCp
