1、三角函数经典解题方法与考点题型(教师)1最小正周期的确定。例 1 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。【解】 首先，T=2 是函数的周期（事实上，因为 cos(-x)=cosx，所以 cos|x|=cosx） ；其次，当且仅当 x=k+ 时，y=0（因为|2 cosx|2）,2所以若最小正周期为 T0，则 T0=m, mN+，又 sin(2cos0)=sin2 sin(2cos)，所以 T0=2。过手练习1.下列函数中，周期为 的是 （ ）2A B C Dsinxysin2yxcos4xycos4yx2. 的最小正周期为 ，其中 ，则 = co6f503.（04 全国）函数 的最
2、小正周期是（ ）.|2sin|xy4.（1） （04 北京）函数 的最小正周期是 .xfcosi)(（2 ） （04 江苏）函数 的最小正周期为（ ）.)(12Ry5.(09 年广东文)函数 是 ( )4cos2xA最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数 C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数 226.（浙江卷 2）函数 2(sinco)1yx的最小正周期是 .2三角最值问题。例 2 已知函数 y=sinx+ ，求函数的最大值与最小值。x2cs1【解法一】 令 sinx= ,430sin2co1,s2x则有 y= ).4in(ico2因为 ，所以 ，4302所
3、以 1，)sin(所以当 ，即 x=2k- (kZ)时，y min=0，432当 ，即 x=2k+ (kZ)时，y max=2.【解法二】 因为 y=sinx+ ,)cos1(sin2cos12xx=2（因为(a +b)22(a 2+b2)） ，且|sinx|1 ，所以 0sinx+ 2，xcsxcs所以当 =sinx，即 x=2k+ (kZ)时, ymax=2，2o2当 =-sinx，即 x=2k- (kZ)时, ymin=0。x2cs1注：三角函数的有界性、|sinx|1 、|cosx| 1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。过手练习1.
4、（09 福建）函数 最小值是= 。()sincofxx2.（09 上海）函数 的最小值是 .2iy3 将 函 数 的 图 像 向 右 平 移 了 n 个 单 位 ， 所 得 图 像 关 于 y 轴 对 称 ， 则xcos3sinn 的 最 小 正 值 是 A B C D67624.若动直线 与函数 和 的图像分别交于 两点，则xa()sinfx()cosgxMN，的最大值为（ ）MNA1 B C D2235.函数 在区间 上的最大值是 ()sin3sicofxx,4( )A.1 B. C. D.1+123233换元法的使用。例 4 求 的值域。xycosin1【解】 设 t=sinx+cosx
5、= ).4sin(2coin2xx因为 ,1)4in(1所以 .2t又因为 t2=1+2sinxcosx,所以 sinxcosx= ，所以 ，12t 212txy所以 .22因为 t -1，所以 ，所以 y -1.1t所以函数值域为 .21,2y4.函数单调性练习1.（04 天津）函数 为增函数的区间是 （ ),0()26sin(xy）.A. B. C. D. 3,0127,65,3,2.函数 的一个单调增区间是 （ ）sinyxA B C D， 3， ， 32，3.函数 的单调递增区间是 ()sincos(,0)fxx（ ）A B C D5,65,6,03,064 （07 天津卷） 设函数
6、，则 （ ()sin()3fxxR()fx）A在区间 上是增函数 B在区间 上是减函数2736， 2，C在区间 上是增函数 D在区间 上是减函数4， 536，5.函数 的一个单调增区间是 ( )2cosyxA B C D(,)4(0,)23,4(,)26若函数 f(x)同时具有以下两个性质： f (x)是偶函数，对任意实数 x，都有 f( )= f(x4)，则 f(x)的解析式可以是 x（ ）Af(x)=cosx Bf(x)=cos(2x ) Cf(x)=sin(4x ) D f (x) =cos6x225. 函数对称性练习1.（08 安徽）函数 图像的对称轴方程可能是 （ sin(2)3yx
7、）A B C D6x12x6x12x2 函数 的图象 （ ）sin23y关于点 对称 关于直线 对称0， 4x关于点 对称 关于直线 对称4， 3x3（09 全国）如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小3cos(2)y4(,0)值为 （ ） (A) (B) (C) (D) 64326.综合练习1. （04 年天津）定义在 R 上的函数 既是偶函数又是周期函数，若 的最小正周)(xf )(xf期是 ，且当 时， ，则 的值为 2,0xsin)35(f2 (04 年广东)函数 f(x) 是 22ii4fxx（ ）A周期为 的偶函数 B周期为 的奇函数 C 周期为 2 的偶函数 D. 周期为
8、 2 的奇函数 3 （ 09 四川）已知函数 ，下面结论错误的是 )(sin)(Rxxf( )A. 函数 的最小正周期为 2 B. 函数 在区间0， 上是增函数)(xf)(xf2C.函数 的图象关于直线 0 对称 D. 函数 是奇函数fxf4(07 安徽卷) 函数 的图象为 C, 如下结论中正确的是 )32sin()(f图象 C 关于直线 对称; 图象 C 关于点 对称;1x )0,32(函数 )内是增函数;25,()(在 区 间f由 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C.xy2sin335.（08 广东卷）已知函数 ，则 是 2()1cos)in,fxR()fx（ ）A、最小正周期为
9、的奇函数 B、最小正周期为 的奇函数2C、最小正周期为 的偶函数 D、最小正周期为 的偶函数6.在同一平面直角坐标系中，函数 的图象和直线 的交)20)(32cos(，xy 21y点个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）47若 是第三象限角，且 cos 0，则 是 （ ）A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角8已知函数 对任意 都有 ，则 等于 ()2sin()fxx()()6fxf()6f（ ）A、2 或 0 B、 或 2 C、0 D、 或 027.解答题练习1 （ 05 福建文）已知 .51cosin,02xx（）求 的值；cosin（）求 的值.xta1i22（ 06 福建文）已知函数 2 2()sin3sicos,.fxxxR（I）求函数 的最小正周期和单调增区间；f（II）函数 的图象可以由函数 的图象经过怎样的变换得到？()fxsin2()yxR3 （ 2006 年辽宁卷）已知函数 ， .求:22()sinicos3fxxxR(I) 函数 的最大值及取得最大值的自变量 的集合；()fx(II) 函数 的单调增区间.
