1、习题 15 15-3 求习题 15-3 各图中点 P 处磁感应强度的大小和方向。解 (a) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为： 210cos4aIB对于导线 1： ， ，因此02对于导线 2： ，因此 0aIB4021p方向垂直纸面向外。(b) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为： 210cos4aI对于导线 1： ， ，因此 ，方向垂直纸面向内。02rIB40对于导线 2： ， ，因此 ，方向垂直纸面向内。1a2半圆形导线在 P 点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的圆形导线在圆心处产生的磁感应强度的一半，即，方向垂直纸面向内。rIB4203所以， ，
2、方向垂直纸面向内。rIrIrIB4244000321p (c) P 点到三角形每条边的距离都是 ad63，o01o152每条边上的电流在 P 点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是aIdIB230cs34000 故 P 点总的磁感应强度大小为习题 15-3 图I12PrrI(a)I1a 2I Ia(b) (c)PPaIB2930方向垂直纸面向内。15-4 在半径为 R 和 r 的两圆周之间，有一总匝数为 N 的均匀密绕的平面线圈，通有电流 I，方向如习题 15-4 图所示。求中心 O 处的磁感应强度。解 由题意知，均匀密绕平面线圈等效于通 以 I NI 圆盘，设单位径向长度上 线圈
3、匝数为 nrRNn建立如图坐标，取一半径为 x 厚度为 dx 的圆环，其等效电流为: rIIdd)(200RxNBrRNIrxIrNI ln)(2)(dd000方向垂直纸面向外。15-5 电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流 I=5.0A，圆筒半径 R=1.0102m 如习题 15-5 图所示。求轴线上一点的磁感应强度。解 把无限长薄壁半圆筒分割成无数细条，每一细条可看作一无限长直导线，取一微元 dl则 IRld则 在 O 点所产生的磁场为l 2002dlB又因， l所以， RI20d，cosdxBsinyB半圆筒对 O 点产生的磁场为：根据对称性， ，0xxdRI20yyd所以 只有 方
4、向分量，即 ，沿 的负方向。ByIB2015-6 矩形截面的螺绕环，尺寸如习题 15-6 图所示，均匀密绕共 N 匝，通以电流 I，试证明通过螺绕环截面的磁通量为210lnDNIhOrx煤 RyxdldB证明 建立如图所示坐标，在螺绕环横截面上任取一微元 xhSd以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为 r，212DrNIrB0dlI20S所以21020lndd1 DhNIrIBD15-7 长直导线 与半径为 R 的均匀导体圆环相切于点 a，另一直导线 bb沿半径方向与圆环接于点ab，如习题 15-7 图所示。现有稳恒电流 I 从端 a 流入而从端 b 流出。(1)求圆环中心点 O 的 B；(2)
5、 B 沿闭合路径 L 的环流 等于什么?lBd解 (1) 43210BB其中: 4RI0,I231,230023lI故 与 大小相等,方向相反,所以B3 03B因而 ,方向垂直纸面向外.RI4010(2)由安培环路定理,有: 3)2(d00i0 IIL l15-8如习题 15-8 图所示，半径为 R 的 1/4 圆弧线圈通有电流 I2，置于电流为 I1 的无限长直线电流的磁场中，直线电流 I1 恰过圆的直径，求圆弧受到长直线电流 I1 的磁场力。解：在 I2 上任取以电流元 I2dl，与 x 轴的夹角为 ，则电流元所受到的磁力为：012ORaba34习题 15-8 图OI1I2X4545Y习题
6、 15-6 图0122012dcosdIBFIllxRI方向沿 O 点与电流元的连线。根据对称性可知，F y=0 0124012cosd4xIBdIB因此所受的磁力为 ，沿 x 轴的正方向。0124I15-9磁场中某点处的磁感应强度 ，一电子以速度 通过该点。0.42TBij 6610.51.msvij求作用在该电子上的磁场力。解 由洛仑兹力公式,有 N10802.4.1506.1 4619 kkjivF q15-10在一个圆柱磁铁 N 极正上方，水平放置一半径为 R 的导线圆环，如习题 15-10 图所示，其中通有顺时针方向(俯视)的电流 I。在导线处的磁感应强度 B 的方向都与竖直方向成
7、角。求导线环受的磁场力。解 圆环上每个电流元受力为 lFdI将 分解为 z 分量和径向分量：Brz，coszsinrB所以 rzrzddBlllFIIIrz对于圆环 0圆环所受合力为，方向沿 z 轴正向。sin2dsind20rz RIBIBlIF15-11如习题 15-11 图所示，空心圆柱无限长导体内外半径分别为 a 和 b，导体内通有电流 I，且电流在横截面上均匀分布。求证导体内部(a ，说明载流平面的磁场 的方向与所放入的均21BB匀磁场 的方向在平面右侧是一致的，在平面左侧是相反的，进而说0明平面上电流方向是垂直于纸面向内。设面电流密度为 j。则jB001212由此二式解得 ， 21
8、0120Bj在载流平面上沿电流方向取长为 h、宽为 dl 的条形面积，面积 dS=hdl，面积上电流dI=jdl，此电流受到的磁力大小为 SBjljhIFd载流平面单位面积所受磁力大小为21012120d BBBjSF方向为垂直于平面向左。15-16电流为 I2 的等边三角形载流线圈与无限长直线电流 I1 共面，如习题 15-16 图所示。求：(1)载流线圈所受到的总的磁场力；(2)载流线圈所受到的磁力矩(通过点 c 并垂直于纸面方向的直线为轴)。 解 ab 边到长直导线的距离为 d，电流 在 ab 边上的磁场为1IdIB210方向垂直纸面向内。此磁场对 ab 边的作用力为0122abIlFI
9、l方向向左。在 ac 边上任取一 ,设 到 的距离为 ，则 在 处产生的磁场为 ， ld1Ix1IldxIB210受到的磁力 ，又因为ldBF2Ild所以 ，0103cosdxl所以 ，方向如图所示。301212ac 3ln()ldIIlxd同理，可求得 ，方向如图所示。acbF则线圈受到的合力为：，0y)231ln(210bcxabx dldlIFF因此线圈所受的磁场力大小为 ，方向沿 x 轴负向。)l(310 llI（2）因为 的方向垂直直面向外nPSIdm所以 B/又因为 ，所以 ，所以Mm0dM015-17半径为 a、线电荷密度为 (常量)的半圆，以角速度 绕轴 OO匀速旋转，如习题
10、15-17 图所示。求：(1) 在点 O 产生的磁感应强度 B；(2)旋转的带电半圆的磁矩 。mP解 （1）把半圆分成无数个小弧每段带电量 ddalq旋转后形成电流元 2daqnI由圆环 得 230xRBsinRcosx dsin4d2icossin2dd 20302320 IaaI方向向上8i400B（2）因为 ， nmSIP d2sindsindI32mIa，方向向上。422si0 033 aa15-18有一均匀带电细直棒 AB，长为 b，线电荷密度为 。此棒绕垂直于纸面的轴 O 以匀角速度 转动，转动过程中端 A 与轴 O 的距 离 a 保持不变，如习题 15-18 图所示。求：(1)点
11、 O 的磁感应强度 ；(2)转B动棒的磁矩 ； (3)若 ab，再求 和 。mPBmP解 (1)均匀带电直棒 AB 绕 O 轴旋转，其结果等效于载流圆盘。在均匀直棒上取一微元,等效电流为：rdqrqId2d它在 O 点的磁感应强度 0024IrBr（ ，方向垂直纸面向里）00ddln4abab0(2) rIrp21mbadd（ ，方向垂直纸面向里）6/)(30(3)若 ab，则有： ，abln00()4qbBa与带电粒子 情况相同q ),/31()(,3bb22m6paaq与点电荷的磁矩相同OABab煤 Br（ ，方向垂直纸面向里）015-19. 一平面圆盘，半径为 R，表面面电荷密度为 。设
12、圆盘绕其中心轴转动的角速度为 ，匀强磁场B 的方向与转轴的夹角为 ，试求圆盘所受的力矩。解：在半径为 r 处取宽度为 dr 的圆环，其等效电流为：dI其磁矩为 2mrnPeBpMd2sir3 401ndsin4RrBR15-20有一个无限长直圆筒形导体，导体和空腔半径分别为 R2 和 R1，它们的轴线相互平行，两轴线间的距离为 a(R2a+ R12 R1)，如习题 15-20 图所示。电流 I 沿轴向流动，在横截面上均匀分布。求两轴线上任一点的磁感应强度。解 根据叠加原理，此系统可看作由半径为 ，其上电流2密度为 的实心导体，与半径为 的，电流21RIj1R密度为-j 的实心导体所构成的。设 j 沿 z 轴正方向，根据安培环路定理，半径为 电2流均匀分布的导体，在 O 点产生的磁场为 0，而半径为电流均匀分布的导体，在 O 点产生的磁场为1R，垂直于轴线向外aRIRIajB 21021210210O 12 OR由环路定理： )(2210 RIa1ORB所以， ，方向垂直于轴线向里。)(2210O Ia
