1、 第 1 页上海版高二上数学矩阵及其运算一初识矩阵（一）引入：引例 1：已知向量 ，如果把 的坐标排成一列，可简记为 ；1,3OPOP13引例 2：2008 年北京奥运会奖牌榜前三位成绩如下表：我们可将上表奖牌数简记为： ；512836引例 3：将方程组 中未知数 的系数按原来的次序排列，可简记为 ；若242xymznzyx, 2341mn将常数项增加进去，则可简记为： 。3142n（二）矩阵的概念1、上述形如 、 、 、 这样的矩形数表叫做矩阵。1352863241mn3124n2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量 称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量 称12,na12nb为列向量；由
2、 个行向量与 个列向量组成的矩阵称为 阶矩阵， 阶矩阵可记做 ，如矩阵mnmnmA为 阶矩阵，可记做 ；矩阵 为 阶矩阵，可记做 。有时矩阵也可用 、13221A52183633等字母表示。B3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个 阶矩阵 中的第 （ ）行第 （ ）列数可用mnmnAijn奖项 国家（地区） 金牌 银牌 铜牌中国 51 21 28美国 36 38 36俄罗斯 23 21 28第 2 页字母 表示，如矩阵 第 3 行第 2 个数为 。ija512836321a4、当一个矩阵中所有元素均为 0 时，我们称这个矩阵为零矩阵。如 为一个 阶零矩阵。0235、当一个矩阵的行数与列数相
3、等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有 行（列） ，可称此方阵为n阶方阵，如矩阵 、 均为三阶方阵。在一个 阶方阵中，从左上角到右下角所n5128363241mn有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为 1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵 为102 阶单位矩阵，矩阵 为 3 阶单位矩阵。106、如果矩阵 与矩阵 的行数和列数分别相等，那么 与 叫做同阶矩阵；如果矩阵 与矩阵 是同阶矩阵，ABABAB当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵 与矩阵 叫做相等的矩阵，记为 。7、对于方程组 中未知数 的系数按原来的次序排列所得的矩阵 ，我们23142xymznzyx, 23
4、41mn叫做方程组的系数矩阵；而矩阵 叫做方程组的增广矩阵。3142n（三） 、应用举例：例 1、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的各阶段成绩表：各阶段姓名 第 1 组 第 2 组 第 3 组 第 4 组 总成绩张娟娟 26 27 29 28 110朴成贤 29 26 26 28 109（1）将两人的成绩各阶段成绩用矩阵表示；（2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。例 2、已知矩阵 且 ，求 、 的值及矩阵 。22,xybaABabxABabA第 3 页例 3、写出下列线性方程组的增广矩阵：（1） ； （2）2146xy3205xyz例 4、已知线性
5、方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：（1） （2）23541023例 5、已知矩阵 为单位矩阵，且 ，求 的值。sinco01,2sin（四） 、课堂练习：1、请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个 阶方阵（胜用 1 表示，输用 表示，相同则为 0） 。312、奥运会足球比赛中国队所在 C 组小组赛单循环比赛结果如下：中国平新西兰 11 巴西胜比利时 10 中国负比利时 02巴西胜新西兰 50 中国负巴西 03 比利时胜新西兰 01第 4 页（1）试用一个 4 阶方阵表示这 4 个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西兰为顺序排列）（2）若胜一场可得 3 分，平一场得 1
6、分，负一场得 0 分，试写出一个 4 阶方阵表示各队的得分情况；（排列顺序与（1）相同）（3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（1） 、 （2）两个矩阵确定各队名次。二、矩阵的三种基本变换（一） 、复习引入：引例、根据下列增广矩阵，写出其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程组解的关系，从中你能得到哪些启发？（1） （2） （3）23321132（4） （5） （6）1320610831083（二） 、矩阵的三种基本变换新课讲解：通过上面练习，我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换：（1）互换矩阵的两行；（2）把某一行同乘（除）以一个非
7、零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。（三） 、应用举例：例 1、已知每公斤五角硬币价值 132 元，每公斤一元硬币价值 165 元，现有总重量为两公斤的硬币，总数共计462 个，问其中一元与五角的硬币分别有多少个？（来自网上“新鸡兔同笼问题” ）第 5 页例 2、用矩阵变换的方法解三元一次方程组 的解。4357248xyz例 3、运用矩阵变换方法解方程组： （ 、 为常数）32axyba说明：（1）符合情况）时，方程组有唯一解，此时两个线性方程所表示的直线相交；（2）符合情况）
8、时，两个线性方程所表示的直线平行，此时方程组无解；（3）符合情况）时，两个线性方程所表示的直线重合，此时方程组有无穷多解。（四） 、课堂练习：第 6 页用矩阵变换方法解下列问题：（1）若方程组 的解 与 相等，求 的值。2(1)()4xykyxyk（2）有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如下图所示的两次称量的天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为 克，每只黑球和白球的质量各是多少克？5（3）解方程组：3205781xyz三、矩阵运算（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨
9、论的主要内容.）1相等定义 如果两个矩阵 ， 满足：nmijaApsijbB(1) 行、列数相同，即 ；s,(2) 对应元素相等，即 aij = bij ( = 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )，则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A = B（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个 m n 矩阵相等，等价于元素之间的 m n 个等式.）例如，矩阵A = ， B = 23211a41250那么 A = B，当且仅当a11 = 3，a 12 = 0，a 13 = -5，a 21 = -2，a 22 = 1，a 23 = 4第一次称量 第二次称量第 7 页而C = 21c因为 B,
10、C 这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵 C 中的元素 c11, c12, c21, c22 取什么数都不会与矩阵 B 相等.2加法定义 2.3 设 ， 是两个 m n 矩阵，则称矩阵nmijaApsijbBC = mnmmnbaba 21 22 1121为 A 与 B 的和，记作C = A + B = ijij（由定义 2.3 可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.）同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) = ijijba称 D 为 A 与 B 的差.例 1 设矩阵 A = ， B = ，求 A + B，A - B.15240313042例
11、2、矩阵 ， ， ，若 ，cos0tan1A0tantanB2017CABC， ，求 的值。(0,)(,)2si2矩阵加法满足的运算规则是什么？ 设 A, B, C, O 都是 m n 矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则1. 加法交换律： A + B = B + A； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A； 第 8 页4. 存在矩阵-A，满足：A -A = A + (-A ) = O . 3数乘定义 2.4 设矩阵 ， 为任意实数，则称矩阵 为数 与矩阵 A 的数乘，其中nmijanmijcC，记为),21
12、;,21(jiacjij C = A（由定义 2.4 可知，数 乘一个矩阵 A，需要用数 去乘矩阵 A 的每一个元素.特别地，当 = -1 时， A = -A，得到 A 的负矩阵.）例 3 设矩阵 A = ，用 2 去乘矩阵 A，求 2A.06254713数乘矩阵满足的运算规则是什么？ 对数 k , l 和矩阵 A = ，B = 满足以下运算规则：nmijanmijb1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB； 2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA ； 3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ； 4
13、. 数 1 与矩阵满足： 1A = A. 例 4 设矩阵 A = ，B = ，求 3A - 2B.6052371284例 5给出二元一次方程组 存在唯一解的条件。1122axbyc第 9 页4乘法某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵 A 表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台） ，用 B 表示两种家用电器的单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元）：I II 单价 利润A = B = 9182502.15803用矩阵 C = 表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，那么 C 中的元素分别为23ijc， 即C = = 321c 2.198.
14、0159.82.0= .50842其中，矩阵 C 中的第 行第 j 列的元素是矩阵 A 第 行元素与矩阵 B 第 j 列对应元素的乘积之和.矩阵乘积的定义 设 A= 是一个 m s 矩阵，B= 是一个 s n 矩阵，则称 m n 矩阵 C = 为矩阵ijaijb ijcA 与 B 的乘积，记作 C = AB.其中 cij = ai1b1 j + ai2b2 j + + ai s bs j = ( = 1, 2, , m；j = 1, 2, , n ).（由矩阵乘积的定义可知：）(1) 只有当左矩阵 A 的列数等于右矩阵 B 的行数时， A, B 才能作乘法运算 AB；(2) 两个矩阵的乘积 A
15、B 亦是矩阵，它的行数等于左矩阵 A 的行数，它的列数等于右矩阵 B 的列数；(3) 乘积矩阵 AB 中的第 行第 j 列的元素等于 A 的第 行元素与 B 的第 j 列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.例 6 设矩阵 A = ， B = ，计算 AB.53041210789甲乙丙III总收 入总利润第 10 页例 7 设矩阵 A = ，B = ， 求 AB 和 BA.21412由例 6、例 7 可知，当乘积矩阵 AB 有意义时，BA 不一定有意义；即使乘积矩阵 AB 和 BA 有意义时，AB和 BA 也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，
16、不能随意改变.在例 6 中矩阵 A 和 B 都是非零矩阵（A O, B O ）,但是矩阵 A 和 B 的乘积矩阵 AB 是一个零矩阵（AB = O） ，即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵 .因此，当 AB = O，不能得出 A 和 B 中至少有一个是零矩阵的结论.一般地，当乘积矩阵 AB = AC，且 A O 时，不能消去矩阵 A，而得到 B = C.这说明矩阵乘法也不满足消去律.那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？ 矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB）C = A（BC ） ； 2. 左乘分配律：A（B + C） = AB + AC； 右乘分配律：（B + C）A = BA + CA ； 3. 数乘结合律：k（AB ）= （k A ）B = A（k B） ，其中 k 是一个常数.例 8：已知 ，矩阵 ，求 。0112解： ，这可以看作向量 经过矩阵变换为向量 。变换后的向量与原向量关于直线 对称。2AB 21 yx练习：已知 ，矩阵 ， （1）求 ；（2）说明矩阵 对向量 产生了怎样的变换。10uBvABAB练习：计算下列矩阵的乘法（1） ；（2） 。 112()nbaa 122()nnab
