1、专题：对数函数知识点总结1.对数函数的定义：一般地，函数 ( )叫做对数函数 .定义域是 xyalog2. 对数函数的性质为a1 00 且 a1) 互称相对应的反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称y=f(x)存在反函数 ,一般将反函数记作 y=f-1(x) 如:f(x)=2 x,则 f-1(x)=log2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线 y=x 对称函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线 y=x 对称专题应用练习一、求下列函数的定义域（1） ； （2） ； 0.2log(4);yxlog1ayx(0,1).a（3） （4）(1)3)243)(5) y=lg (6)
2、 y=xxlog1.y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是_2.y= 的定义域是_)8lg(2x3.求函数 的定义域_2o1y4.函数 y= 的定义域是 13l()5.函数 ylog 2(324 x)的定义域是 ，值域是 .6.函数 的定义域_ 5log(x7.求函数 的定义域和值域。2)0,1)aa8.求下列函数的定义域、值域：（1） ； （2） ； （3） （ 且 ） 2log(3)yx2log()yx2log(47)ayx0a19.函数 f（x）= ln（ ）定义域 1422 x10.设 f(x)=lg ,则 f 的定义域为 2)(f11.函数 f(x)= 的定义域为 )1(log
3、|2x12.函数 f(x)= 的定义域为 ；2913.函数 f（x）= ln（ ）的定义域为 143322 xx14 的定义域是 22lly1. 设 f (x)lg(ax 22x a), (1) 如果 f (x)的定义域是 (, )，求 a 的取值范围；(2) 如果 f (x)的值域是 (, )，求 a 的取值范围15.已知函数 3log21x（1）若函数的定义域为 R，求实数 a 的取值范围（2）若函数的值域为 R，求实数 a 的取值范围（3）若函数的定义域为 ，求实数 a 的值；),3()1,(（4）若函数的值域为 ，求实数 a 的值.16.若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 2xy
4、f1,02logyfx17.已知函数 f(2x）的定义域是-1，1 ，求 f(log2x)的定义域.18 若函数 y=lg(4-a2x)的定义域为 R，则实数 a 的取值范围为 19 已知 满足不等式 ，函数 的值域是 6log7(l22x)(xf )2(log)4l42x20 求函数 的值域。1)og221y(4)21 已知函数 f(x)=log2 +log2(x-1)+log2(p-x). （1）求 f(x)的定义域； （2）求 f(x)的值域.x解：f(x)有意义时，有 ,01,xp由、得 x1,由得 xp,因为函数的定义域为非空数集，故 p1,f(x)的定义域是(1,p).（2）f(x
5、)=log 2(x+1)(p-x)=log 2-（x- ） 2+ (1xp),1p4)(2当 1 p，即 p3 时，0 -(x- , 1)222log 2 2log 2(p+1)-2.4)1()(22x当 1，即 1p3 时，0 -(x- log 2 1+log 2(p-1).2p ),1(24)()21pp 4)1()(22px综合可知： 当 p3 时，f(x)的值域是（-,2log 2(p+1)-2;当 1p3 时，函数 f(x)的值域是(-,1+log 2(p-1).二、利用对数函数的性质，比较大小例 1、比较下列各组数中两个数的大小：（1） ， ； （2） ， ；2log3.4l.80
6、.5log180.5l21（3） ， ； （4） ， ，7562341. ， ， 的大小关系是_0.91.l0.7log2.已知 a2ba1，则 m=logab，n=log ba，p= log b 的大小关系是_3.已知 logm5logn5,试确定 m 和 n 的大小关系4.已知 0a1,b1,ab1，则 loga 的大小关系是 bba1log,15.已知 log blog alog c,比较 2b,2a,2c的大小关系.2121216.设 33log,l,lc，则 7. 221,logloglogdddxdaxbxcx已 知 试 比 较 ， 的 大 小 。8. 已 知 试 比 较 ， 的
7、大 小 。9.设 0 0，且 a1，试比较| loga（1-x） |与| loga（1+x） |的大小。10.已知函数 ()lgfx，则 14f， 3f， (2)f的大小关系是_三、解指、对数方程：（1） （2） （3） （4）357x1x55log()l(21)xlg1l()x1.已知 3a=5b=A,且 =2，则 A 的值是 ba2.已知 log7log 3(log2x)=0，那么 等于 12x3.已知 log7log 3(log2x)=0，那么 x 等于 214.若 x(e -1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则 5.若 ，那么 等于 xf10f6. 已知 5()lg，则
8、 (2) 7. 已知 2lo4o1log5l(21)01)aaaaxyxya且，求 8logyx的值四、解不等式：1. 55lg(3)l(2)x2. 13.设 满足 ，给出下列四个不等式：,ab01b ， ， ， ，其中正确的不等式有 aaba4.已知：(1) 在 上恒有 ，求实数 的取值范围。()logafx3,)|()|1fxa5.已知函数 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。2,(1x2()fxga6.求 的取值范围，使关于 的方程 有两个大于 的根m(lg)l04mx1（2008全国）若 x(e -1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则 7.已知 0a1,b1,ab1
9、，则 loga 的大小关系是 bba1lo,l,18.已知函数 f(x)=logax(a0,a1)，如果对于任意 x3，+）都有|f(x)|1 成立，试求 a 的取值范围9.已知函数 f（x）=log 2(x2-ax-a)在区间（-,1- 上是单调递减函数.求实数 a 的取值范围.310.若函数 在区间 上是增函数， 的取值范围 log()yax(,1)a11.已知函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是 3)2f2 12.若函数 f(x)= 12l,0og()x,若 f(a)f(-a),则实数 a 的取值范围是 13.设 函数 ()l1f且 若 0()fx，则 0的取值范围是（ ）14
10、.设 a0 且 a1，若函数 f (x) 有最大值，试解不等式 0)32(lgxa )75(log2xa五、定点问题1.若函数 y=loga(x+b) (a0,且 a1)的图象过两点（-1，0）和（0，1） ，则 2.若函数 y=loga(x+b) (a0,且 a1)的图象过两点（-1，0）和（0，1） ，则 3.函数 恒过定点 .)()1(log)( axf 且六、求对数的底数范围问题1.（1）若 且 ，求 的取值范围 4l5a(0)2. （2）若 ，求 的取值范围 (23)og12a3.若 且 ，则 的取值范围_la)4.函数 的定义域和值域都是 ，则 的值为 .()l(afx0,1a5.
11、若函数 在 上单调递减，则 的取值范围是 og)x2,36.函数 y=log0.5(ax+a-1)在 x2 上单调减，求实数 a 的范围 7.已知 y= (2- )在0，1上是 x 的减函数，求 a 的取值范围. alog8.已知函数 y=log (x2-2ax-3)在(-,-2)上是增函数，求 a 的取值范围.a9.已知函数 f(x)=logax(a0,a1)，如果对于任意 x3，+）都有|f(x)|1 成立，试求 a 的取值范围.10.若函数 在 上是增函数， 的取值范围是 log(1)ayx0,a11.使 成立的 的取值范围是 12logaa12.若定义在(1，0)内的函数 f (x)l
12、og 2a(x1)满足 f (x)0，则 a 的取值范围是 七、最值问题1.函数 ylog ax 在2, 10上的最大值与最小值的差为 1，则常数 a .2.求函数 的最小值 ,最大值 .。21144logl524x3.设 a1,函数 f(x)=logax 在区间a,2a上的最大值与最小值之差为 ，则 a= 214.函数 f（x）=a x+loga（x+1）在0，1上的最大值和最小值之和为 a，则 a= 5.已知 ,则函数 的最大值是 ，最小值是 .20423xxy6.已知 ，求函数 的最大值与最小值()1log()f22()()gfxf7.已知 满足 ，求函数 的最值。x20.50.5)7l
13、xx22logl)4x8. 122,1,lo(841).yyuxy设 且 求 函 数 的 值 域9.函数 f (x)a xlog (x+1)在0, 1上的最大值与最小值之和为 a，则 a a10.求函数 的最小值)3log)31log22xxy11.函数 在区间 上的最大值比最小值大 2，则实数 =_八、单调性1.讨论函数 的奇偶性与单调性lg(1)l()yx2.函数 的定义域是 ,值域是 ，单调增区间是 23.函数 的递减区间是 ()ln43)fx4.函数 y=log1/3(x2-3x)的增区间是_5.证明函数 在 上是增函数 奎 屯王 新 敞新 疆1(log2xf ),0(6.函数 在 上
14、是减函数还是增函数？)l)(2xf ,7.求函数 的单调区间，并用单调定义给予证明3(1xy.8.求 y= ( -2x)的单调递减区间3.0log29.求函数 y= ( -4x)的单调递增区间 奎 屯王 新 敞新 疆 2logx10.函数 y=log (x2-3x+2)的递增区间是 111.函数 的值域是 ，单调增区间是 l()yx12.若函数 在区间 上是减函数，求实数 的取值范围2oga(,13)a1.证明函数 y= ( +1)在（0，+）上是减函数；21lx2.已知函数 f（x）=log 2(x2-ax-a)在区间（- , 1- 上是单调递减函数.，求实数 a 的取值范围.33.已知函数
15、 ， （其中 实数）()lg4)xkk（）求函数 的定义域；（）若 在 上有意义，试求实数 的取值范围xf )(xf,2k小结：复合函数的单调性的单调相同， 为增函数，否则为减函数 奎 屯王 新 敞新 疆)(,xgf )(xgfy九、奇偶性1.函数 的奇偶性是 。2ln1fxx2.若函数 是奇函数，且 时， ，则当 时， 0lg1fx0xfx3.偶函数 在 内单调递减， ，则 之间的大小关系 fx0,20.5,lo,lg.54afbfcf,abc4.已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数， ，则不等式 的解集为 )(fR),0)31(f 0)(log81xf5.已知函数 若 则 .1lg
16、,xf1(),2fa(fa6.已知奇函数 满足 ，当 时，函数 ，则 =_7.2()lg1)(2)()fxxfx已 知 判 断 奇 偶 性 判 断 的 单 调 性8.知函数 f(x)=loga (a0,且 a1，b0)（1）求 f(x)定义域；（2）讨论 f(x)奇偶性；bx（3）讨论 f(x）单调性9.a,bR，且 a2,定义在区间（-b,b）内的函数 f(x)= 是奇函数xa21lg1）求 b 取值范围 2）讨论函数 f(x)单调性.10.设 a,bR，且 a2,定义在区间（-b,b）内的函数 f(x)= 是奇函数.xl（1） 求 b 的取值范围； （2）讨论函数 f(x)的单调性.11.
17、已知函数 其中 ，设 .()log(1),log(1)aafxxx)10(a且 ()()hxfgx（1）求函数 的定义域，判断 的奇偶性，并说明理由；hh（2）若 ，求使 成立的 的集合.(3)2f()0xx十、对称问题与解析式1.已知函数 的定义域是 ，且对任意的 满足 ，当 时有fx0,12,0x1122xfffx1，请你写出一个满足上述条件的函数 。0ff2.已知函数 满足fx223log0,16axf a（1）求 的解析式；（2）判断 的奇偶性；（3）讨论 的单调性；（4）解不等式f f fxlogafx3.已知定义域为 的函数 满足条件：对于定义域内任意 都有(,0)(,)()yfx
18、12,x1212()fxffx.(1)求证： ，且 是偶函数；(2) 请写出一个满足上述条件的函数.()ff()fx5.已知函数 f(x)=loga(x+1)(a1),若函数 y=g(x)图象上任意一点 P 关于原点对称点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x)的图象.（1）写出函数 g(x)的解析式； （2）当 x0，1）时总有 f(x)+g(x)m 成立，求 m 的取值范围.解 （1）设 P（x，y）为 g(x)图象上任意一点， 则 Q（-x，-y）是点 P 关于原点的对称点，Q（-x，-y）在 f(x)的图象上，-y=log a（-x+1） ，即 y=g(x)=-loga(1-x). （2）f(
19、x)+g(x)m,即 logam.x1设 F（x）=log a ,x0，1） ， 由题意知，只要 F（x） minm 即可.xF（x）在0，1）上是增函数，F （x） min=F（0）=0.故 m0 即为所求1）证明 设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x 2,由题设知 x11,x 21,则点 A、B 的纵坐标分别为 log8x1、log 8x2.因为 A、B 在过点 O 的直线上，所以 点 C、D 的坐标分别为(x 1,log2x1)、(x 2,log2x2),2818loglx由于 log2x1= =3log8x1,log2x2=3log8x2,OC 的斜率为 k1= ,OD 的斜率为 由
20、此可知log81 1812log3lx ,log3l282xkk1=k2,即 O、C、D 在同一直线上.（2）解 由于 BC 平行于 x 轴，知 log2x1=log8x2，即得 log2x1= log2x2,x2=x31,3代入 x2log8x1=x1log8x2，得 x31log8x1=3x1log8x1,由于 x11,知 log8x10,故 x31=3x1, 又因 x11,解得 x1= ,于是点3A 的坐标为（ ，log 8 ).36.已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点，分别过 A、B 作 y 轴的平行线与函数y=log2x 的图象交于 C、D 两
21、点.（1）证明:点 C、D 和原点 O 在同一直线上； （2）当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标.7.设函数 且 求 的解析式，定义域； 讨论 的单调性，并求 的值域十一、对数函数图象1函数 的图象是由函数 的图象 得到。3log(2)yx3logyx2. 函数 的图象是由函数 的图象 得到。3. 函数 （ ）的图象是由函数 的图象abc0,1alogayx当 时向 _ 单位得到;0,bc当 时向 _ 单位得到;当 时向 _ 单位得到;,当 时向 _ 单位得到。尝试总结：平移变换 的法则_()()yfxyfxab_1.将函数 y=2x 的图象向左平移 1 个单位得到 C1，将 C1
22、向上平移 1 个单位得到 C2，而 C3 与 C2 关于直线 y=x 对称，则 C3 对应的函数解析式是 2.函数的图像与对数函数 的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间：3logyx(1) ； (2) ； log|y|(3) ；(4) 3()x3l1.已知 x1 是方程 xlgx3 的根，x 2 是方程 x10 x3 的根求函数 f (x) 的单调区间|12|log2x2.如图，曲线是对数函数 的图象，已知 的取值 ，则相应于曲线 的 值依次为( )3.方程 的解的个数为 log(1)xa4.已知关于 x 的方程 的两根均大于 1，则实数 的取值02lgl2ax a范围是
23、5.方程 的实根个数是 个.则 x1x 2 22log|6.已知 f(x)1log x3，g(x)2log x2，比较 f(x)与 g(x)的大小7.设 a0 且 a1,求证：方程 -x=2a 的根不在区间-1,1内8.若 ，且 ，则 满足的关系式是 （ ）9.若 是偶函数，则 的图象是 ( )（A）关于 轴对称（B）关于 轴对称（C）关于原点对称 （D）关于直线 对称10 方程 实数解所在的区间是 ( ) （A） （B） （C ） （D ） 11.已知 x、y 为实数，满足（log 4y） 2= ，试求 的最大值及相应的 x、y 的值1logxy十二、附加内容（补充）本节主要介绍以下几个问题一、反函数的定义二、反函数的求法三、反函数存在的条件四、反函数的性质互 换 ， 加 注 定 义 域与 定 义 域 ）求 原 函 数 值 域 （ 反 函 数中 解 出从 yxxf)(在 反 函 数在 定 义 域 内 单 调 一 定 存一 一 对 应等 价 条 件 ： y, 的 单 调 性， 反 函 数 与 之 具 有 相 同原 函 数 在 定 义 域 内 单 调 对 称关 于 直 线原 函 数 与 反 函 数 的 图 象 与 值 域 对 调原 函 数 与 反 函 数 定 义 域 xyff)(,)(11
