1、鸡兔同笼孙子算经卷下第 31 题叫“鸡兔同笼”问题，也是一道世界数学名题。“有一群野鸡和兔子关在同一个笼子里，头数是 35，脚数是 94。问野鸡和兔子的数目各是多少？”这个题目编得很有趣，如果 35 只动物全是鸡，就应该有70 只脚；如果全是兔，就应该有 140 只脚，而题中却说共有 94 只脚，给人一种左右为难的印象。其实，解题关键也正在这里，假设 35 只动物全是鸡，则共有 70 只脚，与题中“脚数是 94”相比较，还差 24 只脚，将 1 只兔看作是鸡，脚数就会相差 2，有多少只兔被看作是鸡了呢？24 2=12。 算到这里，答案也就呼之欲出了。清朝时，作家李汝珍把这类问题写进了小说镜花缘
2、中。书中有这样一个情节，一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大灯下缀 4 个小灯，大灯共 360 个，小灯共 1200 个。一位才女把大灯看作是头，小灯看作是脚；把一种灯球看作是鸡，把另一种看作是兔，运用“脚数的一半减头数得兔数，头数减兔数得鸡数”的算法，很快就算出了一大二小的灯是 120 盏，一大四小的灯是 240 盏，赢得了一片喝彩声。伴随古代中外文化交流，鸡兔同笼问题很快就漂洋过海流传到了日本。不过到了日本之后，鸡变成了仙鹤，兔变成了乌龟，鸡兔同笼变成了赫赫有名的“鹤龟算” 。狗跑与兔跳行程问题是中小学里常见的一类数学应用题，也是一类很古老的数学问题
3、。在我国古代数学名著九章算术里，收集了很多这方面的题目如书中第 6 章第 14 题：“狗追兔子。兔子先跑 100 步，狗只追了 250 步便停了下来，这时它离兔子只有 30 步的距离了。问如果狗不停下来，还要跑多少步才能追上兔子？”这道追及问题编得很有趣，它没有直接告诉狗与兔的“速度差” ，反而节外生枝地让狗在追及过程中停了下来，数量关系显得扑朔迷离。2000 年前，我们的祖先解决这类问题已经很有经验了，所以书中只是简单地说，用（250 30）作除数，用（100-30）作被除数，即可算出题目的答案。世界各国人民都很喜爱解答这类问题，一本公元 8 世纪时在欧洲很流行的习题集中，也记载了一个狗与兔
4、的追及问题：“狗追兔子，兔子在狗前面 100英尺。兔子跑 7 英尺的时间狗可以跑 9 英尺，问狗跑完多少英尺才能追上兔子？”相传俄国女数学家科瓦列夫斯卡娅还在童年时，就算出了一道有关兔跳的趣味算题：“一对兔兄弟进行跳跃比赛，兔弟弟说：应该让它先跳 10 次，哥哥才可以起跳。如果兔弟弟跳 4 次的时间兔哥哥能跳 3 次，兔哥哥跳 5 次的距离与兔弟弟跳 7 次的距离同样远，问兔哥哥要跳多少次才能追上呢？”婆什迦罗的妙算婆什迦罗是 12 世纪印度最著名的数学家，他编的许多数学题被人称作“印度问题” ，在很多国家广泛流传，如：“某人对他的朋友说：如果你给我 100枚铜币，我将比你富 2 倍。 朋友回
5、答说：你只要给我 10 枚铜币，我就比你富 6 倍。 问两人各有多少铜币？”就是其中一道著名的数学题。婆什迦罗发现了一种很巧妙的算法：设这个人有（2x-100）枚铜币，他朋友有（x+100）枚铜币，因为这个人给朋友 10 枚铜币后，他的朋友将比他富 6倍，于是有 6（2x-100）= x+100，解之得 x=70 即两人分别有 40 和 170 枚铜币。我国古代数学著作张邱建算经里有一个类似的题目：“有甲、乙两人携钱各不知其数，若乙给甲十钱，则甲比乙所多的是乙余数的 5 倍；若甲给乙十钱，则两人钱数相等。问甲、乙各有多少钱？”更早些， 希腊文集里已有了著名的“欧几里得问题”的记载：“驴子和骡子
6、驮着货物并排走在大路上，驴子不住地抱怨驮的货物太重，压得受不了。骡子对它说：你发什么牢骚啊！我驮的比你更重。如果你给我 1 口袋，我驮的货物就是你的 2 倍；而我给你 1 口袋，咱俩才刚好一般多。 问驴子和骡子各驮了几口袋货物？”棋盘上的麦粒数印度古代有个国王天性爱玩，对国际象棋这种新发明的游戏尤其入迷，决定重赏它的发明人西萨班。西萨班指着棋盘对国王说：“陛下，请您在第1 格里赏我 1 粒麦子，在第 2 格里赏我 2 粒麦子，在第 3 格里赏我 4 粒麦子，依此类推，每增加 1 格麦粒数就增加 1 倍，一直放满 64 个格子。 ”国王哈哈大笑，觉得这点麦子简直算不了什么。可他不久就发现，即使把
7、印度的麦子全都扛来，也远远无法兑现自己许下的诺言。西萨班要的麦粒是多少呢？这是一个有趣的等比例数列求和问题。因为每增加 1 格麦粒数就增加 1 倍，所以第 1 格里是 1 粒，第 2 格里是 21 粒，第三格里是 22 粒，最后一格里是 263 粒。由等比例数列的求和公式，它们的和是 18446744073709551615（粒） 。这个数目大得惊人，如果修建一座高 4 米、宽 10 米的仓库来存放这些麦子，那么，这座仓库可以从地球修到太阳上，然后再从太阳修回地球来！奇特的墓志铭丢番图是古希腊最后一个大数学家。专家们认为，现代解方程的基本步骤，如移项、合并同类项等等，丢番图基本上都已知道了。他
8、对不定方程的研究尤其受人称赞，被西方数学家誉为这门数学分支的开山鼻祖。遗憾的是，关于他的生平，后人几乎一无所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何时，幸亏他那段奇特的墓志铭，才知道他曾享有 84 岁的高龄。丢番图的墓志铭是一道谜语般的数学题：“过路人！这里埋着丢番图的骨灰。他生命的 1/6 是幸福的童年，生命的 1/12 是少年时期。又过了生命的 1/7他才结婚，婚后 5 年有了 1 个孩子。这孩子活到他父亲一半的年纪便死去了。孩子死后，丢番图在深深的哀痛中活了 4 年，也结束了尘世生涯。 ”这段墓志铭写得太妙了。谁要想知道丢番图的年纪，就得解一个一元一次方程；而这正好提醒前来瞻仰的人们，不
9、要忘了丢番图所献身的事业。化圆为方问题公元前 6 世纪时，有位叫安拉克萨哥拉的古希腊学者，被他的政敌丢进了监狱。在牢房里他无事可干，整天思索着这样一个数学问题：“怎样用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积与某个已知圆的面积相等？”这就是著名的化圆为方问题。当然，安拉克萨哥拉没能解决这个问题。但他也不必为此感到羞愧，因为在他以后的 2400 多年里，许许多多比他更加优秀的数学家，也都未能解决这个问题。化圆为方看上去谁都能办到，实际上却谁也办不到，因而具有极大的魅力。15 世纪时，连欧洲最杰出的艺术大师达芬奇也曾拿起直尺圆规，试图解决这个问题呢。年复一年，有关化圆为方的论文雪片似地飞向各国科学院，多
10、得叫数学家们无法审读，以致在 1775 年，巴黎科学院为了维持正常的工作秩序，不得不宣布不再审读这方面的论文。化圆为方的狂热终止于 1882 年，在这一年里，德国数学家林德曼证明了 是一个超越数，从而在理论上论证了化圆为方是不可能由尺规作图法完成的。现在仍然有些青少年在尝试化圆为方，显然，这只会是白白浪费精力。立方倍积问题公元前 5 世纪时，一场大瘟疫凭空降临到古希腊的第罗斯岛上，夺去了许多人的生命，幸存的人们纷纷躲进神庙，祈求神灵保佑。神说：“你们想活命，就必须把庙中的祭坛加大 1 倍，并且不许改变它的形状。 ”祭坛是个正方体，第罗斯人连夜加工，把祭坛的长、宽、高都加大了 1 倍，以为这样就
11、满足了神的要求。岂料瘟疫更加疯狂地蔓延开来，第罗斯人满腹狐疑，再次匍匐在神像前。神怒气冲冲地说：“这个祭坛是原来的 8 倍！”第罗斯人没有办法，派人向当时最有名的学者柏拉图请教，不料他也解决不了这个问题故事中提到的这个数学问题，也是一个举世闻名的几何作图难题，叫立方倍积问题：“做一个立方体，使它的体积等于已知立方体的两倍。 ”如果借助其他工具，解决这个问题是很容易的，古希腊的埃拉托斯芬、攸多克萨斯，英国的牛顿等人都曾发明过一些巧妙的方法，但是，如果限制用直尺和圆规去解决，2000 年来，无论是初学几何的少年，还是天才的数学大师，却无一不束手无策。1837 年，又是法国数学家闻脱兹尔最先从理论上
12、证明：同三等分角问题一样，立方倍积问题也是不能由尺规作图法解决的，才了结了这桩数学悬案。三等分角问题在 2000 多年前，古希腊数学家苛刻地限制几何作图工具，规定画几何图形时，只准许使用直尺和圆规。于是，从一些本来很简单的作图题中，产生了一批举世闻名的数学难题。例如三等分角问题：“只使用直尺与圆规做一个角，使它等于一个已知角的 1/3。 ”大数学家阿基米德曾试图解决这个难题。他预先在直尺上作了一个记号，很轻松地将一个角分成了三等份。可是，人们不承认他解决了这个难题。因为古希腊人还规定：作图时直尺上不能有任何刻度，而且直尺与圆规都只允许使用有限次。三等分角看上去非常简单，做起来却非常难，几千年来
13、，它激发了一代又一代的数学家。有人说，在西方数学史上，几乎每一个称得上是数学家的人，都曾拿起直尺圆规，用三等分角测试过自己的智力，但谁也未能取得成功，直到 1837 年，法国数学家闻脱兹尔从理论上予以证明，只使用直尺圆规是无法三等分一个任意角的，才率先走出了这座困惑了无数人的数学迷宫。数图之谜现在世界上所能见到的最古老的数学文献，是古埃及的莱因特纸草书。书中记载了 85 个数学问题，在书写第 79 题的位置上，作者画了一个台阶，台阶旁依次写着 7、49、343、2401 和 16807 这 5 个数，书的旁边依次画有图、猫、老鼠、大麦、量器等字样，除此之外就没有别的什么东西了。由于这是书中唯一
14、未明确给出答案的题目，后来，这个题目究竟是什么意思，成了一个有趣的谜。数学史学家康托尔猜出了这个谜，他认为题目的意思是：“有 7 个人，每个人养着 7 只猫，每只猫吃 7 只老鼠，每只老鼠吃 7 棵麦穗，每棵麦穗可以长成 7 个量器的大麦，问各有多少？”经他这么一解释，书中给出的那 5 个数就正好成了题目的答案。有趣的是，在莱因特纸草书出土之前 600 多年，意大利数学家斐波拉契曾遍了一道很相似的数学题：“7 位老太太一起到罗马去，每人有 7 匹骡子，每匹骡子驮 7 个口袋，每个口袋盛 7 个面包，每个面包有 7 把小刀，每把小刀有7 个刀鞘。问各有多少？”比斐波拉契还早几百年，我国古书里也记
15、载了一个相似的数学题：“今有出门望有九隄，隄有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问各几何？”在不同的民族、不同的国家、不同的时间里，竟流传着一个同样的问题，这也是一个很有趣的谜。百蛋(外国古题)两个农民一共带了 100 只蛋到市场上去出卖。他们两 人所卖得的钱是一样的。第一个人对第二个人说：“假若我有象你这么多的蛋，我可以卖得 15 个克利采(一种货币名称)” 。第二个人说：“假若我有了你这些蛋，我只能卖得 6 又三分之二个克利 采。 ”问他们俩人各有多少只蛋？ 和尚吃馒头(中国古题)大和尚每人吃 4 个，小和尚 4 人吃 1 个。有大小和尚 100 人，共吃了
16、 100个馒头。大、小和尚各几人？各吃 多少馒头？ 洗碗(中国古题)有一位妇女在河边洗碗，过路人问她为什么洗这么多碗？她回答说：家中来了很多客人，他们每两人合用一只饭 碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只菜碗，共用了碗 65 只。你能从她家的用碗情况，算出她家来了多少客人吗？算法统宗里的问题算法统宗是中国古代数学著作之一。书里有 这样一题：甲牵一只肥 羊走过来问牧羊人：“你赶的这群羊大概有 100 只 吧” ，牧羊人答：“如果这群羊加上一倍，再 加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊的 1/4，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好凑满一百 只。 ”请您算算这只牧羊人赶的这群羊共有多少只？张立建
17、算经里的问题张立建算经是中国古代算书。书中有这样一题：公鸡每只值 5 元， 母鸡每只值 3 元，小鸡每三只值 1 元。现在用 100 元钱买 100 只鸡。问这 100 只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 九章算术里的问题九章算术是我国最古老的数学著作之一，全书共分九章，有 246 个 题目。其中一道是这样的：一个人用车装米，从甲地运往乙地，装米的车曰行 25千米，不装米的空车曰行 35 千米，5 日往返三次，问二地相距多少千米？ 共有多少个桃子？著名美籍物理学家李政道教授来华讲学时，访问了中国科技大学，会见了少年班的部分同学。在会见时，给少年班 同学出了一道题：“有五只猴子，分一堆桃子，可
18、是怎么也平分不了。于是大家同意先去睡觉，明天再 说。夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子扔到山下后，正好可以分成五份，它就把自己的一份藏起来，又睡觉去了。第二只猴子爬起来也扔了一个桃子，刚好分成五 份，也把自己那一份收起来了。第三、第四、第五只猴子都是这样，扔了一个也刚好可以分成五份，也把自己那一份收起来了。问一共有多少个桃子？注：这道题，小朋友们可能算不出来，如果我给增 加一个条件，最后剩下 1020 个桃子，看谁能算出来。韩信点兵传说汉朝大将韩信用一种特殊方法清点士兵的人数。他的方法是：让士兵先列成三列纵队(每行三人)，再列成五 列纵队(每行五人)，最后列成七列纵队(每行七人)。他只要知道这队
19、士兵大约的人数，就可以根据这三次列队排在最后一行的士兵是几个人，而推算出这队士兵 的准确人数。如果韩信 当时看到的三次列队，最后一行的士兵人数分别是 2 人、2 人、4 人，并知道这队士兵约在三四百人之间，你能很快推算出这队士兵的人数吗？ 一笔画问题 在 18 世纪的哥尼斯堡城里有七座桥。当时 有很多人想要一次走遍七座桥，并且每座桥只能经过一次。这就是世界上很有名的哥尼斯堡七桥问题。你能一次走遍这七座桥，而又不重复吗？(自己动手画画吧) 埃及金字塔世界闻名的金字塔，是古代埃及国王们的坟墓，建筑雄伟高大，形状像个“金”字。它的底面是正方形，塔身的四面是倾斜着的等腰三角形。两千六百多年前，埃及有位
20、国王，请来一位名子叫法 列士的学者测量金字塔的高度。法列士选择一个晴朗的天气，组织测量队的人来到金字塔前。太阳光给每一个测量队的人和金字塔都投下了长长的影子。当法列士测出自己的 影子等于它自己的身高时，便立即让助手测出金字塔的阴影长度(cb)。他根据塔的底边长度和塔的阴 影长度，很快算出金字塔的高度。你会计算吗？ 数学家达兰倍尔错在哪里传说 18 世纪法国有名的数学家达兰倍尔有一次拿两个五分硬币往下扔，会出现几种情况呢？情况只有三种：可能两个都是正面；可能一个是正面，一个是背面， 也可能两个都是背面。因 此，两个都出现正面的概率是 13。你想想，错在哪里？涡卡诺夫斯基的算术题一只狗追赶一匹马，
21、狗跳六次的时间，马只能跳 5 次，狗跳 4 次的距离和马跳 7 次的距离相同，马跑了 5.5 公里以后，狗开始在后面追 赶，马跑多长的距离，才被狗追上？托尔斯泰的算术题俄国伟大的作家托尔斯泰，曾出过这样一个题：一组割草人要把二块草地的草割完。大的一块比小的一块大一倍， 上午全部人都在大的一块草地割草。下午一半人仍留在大草地上，到傍晚时把草割完。另一半人去割小草地的草，到傍晚还剩下一块，这一块由一个割草人再用一天 时间刚好割完。问这组割草人共有多少人？(每个割草人的割草速度都相同)马塔尼茨基的算术题有一个雇主约定每年给工人 12 元钱和一件短衣，工人 做工到 7 个月想要离去，只给了他 5 元钱
22、和一 件短衣。这件短衣值多少钱多少蜜蜂公园里有甲、乙两种花，有一群蜜蜂飞来，在甲花上落下 1/5， 在乙花上落下 1/3，如果落在两种花上的蜜蜂的差的三倍再落在花上，那么只剩下一只蜜蜂上下飞舞欣 赏花香，算算这里聚集了多少蜜蜂？及时梨果元代数学家朱世杰于 1303 年编著的四元玉鉴中有这样一道题目：九百九十九文钱，及时梨果买一千， 一十一文梨九个，七枚果子四文钱。 问：梨果多少价几何？ 此题的题意是：用 999 文钱买得梨和果共 1000 个，梨 11 文买 9个，果 4 文买 7 个。问买梨、果各几个，各付多少钱？两鼠穿墙我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:今有垣厚
23、五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问何日相逢，各穿几何? 今意是:有厚墙 5 尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙。大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。问几天后两鼠相遇，各穿几尺? 隔壁分银只闻隔壁客分银，不知人数不知银，四两一份多四两，半斤一份少半斤。试问各位能算者，多少客人多少银？（注：旧制 1 斤16 两，半斤8 两） 李白打酒李白街上走，提壶去打酒遇店加一倍，见花喝一斗；三遇店和花，喝光壶中酒。试问酒壶中，原有多少酒？ 这是一道民间算题。题意是：李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到酒店将壶中酒加一倍，每次遇到花就
24、喝去一斗（斗是古代容量单位，1 斗10 升） ，这样遇店见花各 3 次，把酒喝完。问壶中原来有酒多少？“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？” 题目的意思就是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下 2 个；五个五个地数，会剩下 3 个；七个七个地数，也会剩下 2 个。这些物品的数量至少是多少个？ （注：诗题及题目原文都无“至少”二字，但“孙子问题”都是些求“最少”或者求“至少”的问题，否则就会有无数多个答案。所以，解释题目意思时，在语句中加上了“至少”二字。 ） 孙子算经 解这道题目的“术文”和答案是：“三三数之剩二，置一百四十；五五数之
25、剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百十减之，即得。 ”“答曰：二十三。 ” 这段话的意思是： 先求被 3 除余 2，并能同时被 5、7 整除的数，这样的数是 140； 再求被 5除余 3，并能同时被 3、7 整除的数，这样的数是 63； 然后求被 7 除余 2，并能同时被 3、5 整除的数，这样的数是 30。 于是，由1406330=233，得到的 233 就是一个所要求得的数。但这个数并不是最小的。再用求得的“233”减去或者加上 3、5、7 的最小公倍数“105”的倍数，就得到许许多多这样的数： 23，128，233，338 ，443， 从而可知，23、128、233 、338、443、都是这一道题目的解，而其中最小的解是 23。 其实由于三个三个地数和七个七个地数都是剩 2 个，由此可求出 3、7 的最小公倍数再加 2，也就是 23 个。23 也正好是五个五个地数多 3 个，所以这些物品的数目至少是 23 个。
