1、专题 14 相似三角形问题【考点综述评价】因动点产生的相似三角形问题，常常出现在综合题中一是以几何图形为载体，赋予动点、动线和动面，来探究相似三角形问题，进而研究面积、函数最值等问题；二是以动态问题为背景或与函数图象、圆结合探究相似三角形的存在性问题；三是以相似三角形为背景，经历“问题情境，建立模型，求解，应用”的基本过程，设置探究性问题问题设置常常具有开放性 相似三角形由于对应边、对应角的不确定，或者是图形的不确定，常常需要进行分类讨论，解题时根据对应角或对应边来分类要注意确定分类标准，按一个标准进行分类，做到“不重复，不遗漏” 【考点分类总结】考点 1：利用三角形相似与图象的判断 【典型例
2、题】 （2017 湖北省黄石市）如图，直线 l：y =kx+b（k0）与函数 （x 0）的图象相交于4yA、C 两点，与 x 轴相交于 T 点，过 A、C 两点作 x 轴的垂线，垂足分别为 B、D，过 A、C 两点作 y 轴的垂线，垂足分别为 E、F；直线 AE 与 CD 相交于点 P，连接 DE，设 A、C 两点的坐标分别为（a， ） 、4a（c， ） ，其中 ac 04（1）如图，求证：EDP=ACP；（2）如图，若 A、D、E、 C 四点在同一圆上，求 k 的值；（3）如图，已知 c=1，且点 P 在直线 BF 上，试问：在线段 AT 上是否存在点 M，使得 OMAM？请求出点 M 的坐
3、标；若不存在，请说明理由【方法归纳】利用相似三角形，得出比例式，代入得出函数关系式，结合图象进行判断【变式训练】（2017 湖北省恩施州）如图，AOB=90，反比例函数 （x0）的图象过点 A（1，a） ，反比例2y=-函数 （k0，x 0）的图象过点 B，且 ABx 轴y（1）求 a 和 k 的值；（2）过点 B 作 MNOA，交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，交双曲线 于另一点，求OBC 的面积kyx考点 2：相似三角形中的开放性问题 【典型例题】 （2017 辽宁省鞍山市）如图，MBN=90，点 C 是MBN 平分线上的一点，过点 C 分别作ACBC，CEBN，垂足分别为点 C，E
4、，AC = ，点 P 为线段 BE 上的一点（点 P 不与点 B、E 重合） ，42连接 CP，以 CP 为直角边，点 P 为直角顶点，作等腰直角三角形 CPD，点 D 落在 BC 左侧（1）求证： ；CPEDB（2）连接 BD，请你判断 AC 与 BD 的位置关系，并说明理由；（3）设 PE=x，PBD 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式【方法归纳】两个三角形相似，根据不同的对应边或对应角需要分类讨论【变式训练】（2017 怀化）如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 x 轴交于 A（1，0） ，25yaxb=+-B（5，0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的函数表
5、达式；（2）若点 D 是 y 轴上的一点，且以 B，C，D 为顶点的三角形与 ABC 相似，求点 D 的坐标；（3）如图 2，CEx 轴与抛物线相交于点 E，点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动点，过点 H 且与 y 轴平行的直线与 BC，CE 分别交于点 F，G，试探究当点 H 运动到何处时，四边形 CHEF 的面积最大，求点 H 的坐标及最大面积；（4）若点 K 为抛物线的顶点，点 M（4，m ）是该抛物线上的一点，在 x 轴，y 轴上分别找点 P，Q，使四边形 PQKM 的周长最小，求出点 P，Q 的坐标考点 3：相似三角形的存在性问题【典型例题】 （2017 山东省莱芜市）抛物线 过
6、 A（2，3） ，B（4，3） ，C（6，5）三点2yaxbc（1）求抛物线的表达式；（2）如图，抛物线上一点 D 在线段 AC 的上方，DEAB 交 AC 于点 E，若满足 ，求点 D 的52A坐标；（3）如图，F 为抛物线顶点，过 A 作直线 lAB，若点 P 在直线 l 上运动，点 Q 在 x 轴上运动，是否存在这样的点 P、Q，使得以 B、P、Q 为顶点的三角形与 ABF 相似，若存在，求 P、Q 的坐标，并求此时BPQ 的面积；若不存在，请说明理由【方法归纳】一是求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形，根据未知三角形中已知边与
7、已知三角形的可能对应边分类讨论；二是利用已知三角形中的对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小； 三是若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解【变式训练】（2017 济宁）定义：点 P 是ABC 内部或边上的点（顶点除外） ，在PAB，PBC，PCA 中，若至少有一个三角形与ABC 相似，则称点 P 是ABC 的自相似点例如：如图 1，点 P 在ABC 的内部，PBC =A，PCB=ABC，则BCPABC，故点 P 是ABC的自相似点请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标
8、系中，点 M 是曲线 （x0）上的任意一点，点 N 是 x 轴正半轴上的任意一点3y（1）如图 2，点 P 是 OM 上一点，ONP=M ，试说明点 P 是MON 的自相似点；当点 M 的坐标是（，3） ，点 N 的坐标是（ ，0）时，求点 P 的坐标；3（2）如图 3，当点 M 的坐标是（ 3， ） ，点 N 的坐标是（2，0）时，求MON 的自相似点的坐标；（3）是否存在点 M 和点 N，使MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由【新题好题训练】1 （2017 江苏省泰州市）如图，P 为反比例函数 （k0）在第一象限内图象上的一点，过点 P 分别yx作 x
9、轴，y 轴的垂线交一次函数 y=x4 的图象于点 A、 B若AOB=135，则 k 的值是（ ）A2 B4 C6 D82 （2017 山东省潍坊市）如图，在ABC 中，ABAC D、E 分别为边 AB、AC 上的点AC=3AD，AB =3AE，点 F 为 BC 边上一点，添加一个条件： ，可以使得FDB 与ADE 相似 （只需写出一个）3 （2017 湖北省随州市）在ABC 在，AB=6，AC =5，点 D 在边 AB 上，且 AD=2，点 E 在边 AC 上，当AE= 时，以 A、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似4 （2017 江苏省南通市）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过
10、三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线” （1）等边三角形“內似线”的条数为 ；（2）如图，ABC 中，AB =AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，求证：BD 是ABC 的“內似线” ；（3）在 RtABC 中，C=90，AC=4，BC =3，E、F 分别在边 AC、BC 上，且 EF 是ABC 的“內似线”，求 EF 的长5 （2017 河南省）如图，直线 与 x 轴交于点 A（3，0） ，与 y 轴交于点 B，抛物线23yc经过点 A，B243yxbc（1）求点 B 的坐标和抛物
11、线的解析式；（2）M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N点 M 在线段 OA 上运动，若以 B，P，N 为顶点的三角形与APM 相似，求点 M 的坐标；点 M 在 x 轴上自由运动，若三个点 M，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外） ，则称 M，P ，N 三点为“共谐点” 请直接写出使得 M，P ，N 三点成为“共谐点”的 m 的值6 （2017 辽宁省葫芦岛市）如图，MAN=60，AP 平分MAN，点 B 是射线 AP 上一定点，点 C 在直线 AN 上运动，连接 BC，将ABC（0ABC 120）的两
12、边射线 BC 和 BA 分别绕点 B 顺时针旋转120，旋转后角的两边分别与射线 AM 交于点 D 和点 E（1）如图 1，当点 C 在射线 AN 上时，请判断线段 BC 与 BD 的数量关系，直接写出结论；请探究线段 AC，AD 和 BE 之间的数量关系，写出结论并证明；（2）如图 2，当点 C 在射线 AN 的反向延长线上时，BC 交射线 AM 于点 F，若 AB=4，AC= ，请直接3写出线段 AD 和 DF 的长7 （2017 新疆）如图，抛物线 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C213yx（1）试求 A，B，C 的坐标；（2）将ABC 绕 AB 中点 M 旋转 180，得
13、到BAD 求点 D 的坐标；判断四边形 ADBC 的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点 P，使BMP 与BAD 相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由8 （2017 内蒙古赤峰市）如图，一次函数 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，以线段 AB31yx为边在第一象限作等边ABC（1）若点 C 在反比例函数 的图象上，求该反比例函数的解析式；kyx（2）点 P（ ，m）在第一象限，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D，当PAD 与OAB 相似时，P 点3是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出 P 点坐标；如果不在，请加以说明9
14、（2017 海南省）抛物线 经过点 A（1，0）和点 B（5，0） 23yaxb（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线 相交于 C、D 两点，点 P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下方，直线35PMy 轴，分别与 x 轴和直线 CD 交于点 M、N 连结 PC、PD，如图 1，在点 P 运动过程中，PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；连结 PB，过点 C 作 CQ PM，垂足为点 Q，如图 2，是否存在点 P，使得CNQ 与PBM 相似？若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由10 （2017 辽宁省抚顺市）如图，OF 是
15、MON 的平分线，点 A 在射线 OM 上，P，Q 是直线 ON 上的两动点，点 Q 在点 P 的右侧，且 PQ=OA，作线段 OQ 的垂直平分线，分别交直线 OF、ON 交于点 B、点C，连接 AB、PB （1）如图 1，当 P、Q 两点都在射线 ON 上时，请直接写出线段 AB 与 PB 的数量关系；（2）如图 2，当 P、Q 两点都在射线 ON 的反向延长线上时，线段 AB，PB 是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；（3）如图 3，MON=60，连接 AP，设 =k，当 P 和 Q 两点都在射线 ON 上移动时，k 是否存在最AO小值？若存在，请直接写出 k 的最小值；若不存在，请说明理由
