1、-_一、图中的 是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内,由两个半径都是 的AOB R1/4 圆周连接而成，它们的圆心 、 与两圆弧的连接点 在同一竖直线上 沿水池12OBO2的水面一小滑块可由弧 的任意点从静止开始下滑 1若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧上的何处？（用该处到 的连线与竖直线的夹角表AO1O示） 2凡能在 点脱离滑道的小滑块，其落水点到的距离如何？二、如图所示，O 为半径等于 R 的原来不带电的导体球的球心，O1、 O2、 O3 为位于球内的三个半径皆为 r 的球形空腔的球心，它们与 O 共面，已知 在 OO1、OO 2
2、的连线上距2321OO1、 O2 为 的 P1、P 2 点处分别放置带电量为 q1 和 q2 的线度很小的r导体（视为点电荷） ，在 O3 处放置一带电量为 q3 的点电荷，设法使q1、 q2 和 q3 固定不动在导体球外的 P 点放一个电量为 Q 的点电荷，P 点与 O1、O 2、O 3 共面，位于 的延长线上，到 O 的距离 R21求 q3 的电势能2将带有电量 q1、q 2 的小导体释放，当重新达到静电平衡时，各表面上的电荷分布有何变化？ 此时 q3 的电势能为多少？O1O2OAB第 22 届全国中学生物理竞赛复赛题O1O2O3PP2P1OR Rr-_三、(22 分) 如图所示，水平放置
3、的横截面积为 S 的带有活塞的圆筒形绝热容器中盛有 1mol 的理想气体其内能 ，C 为已TU知常量，T 为热力学温度器壁和活塞之间不漏气且存在摩擦，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等且皆为 F图中 r 为电阻丝，通电时可对气体缓慢加热起始时，气体压强与外界大气压强 p0 相等，气体的温度为 T0现开始对 r 通电，已知当活塞运动时克服摩擦力做功所产生热量的一半被容器中的气体吸收若用 Q 表示气体从电阻丝吸收的热量， T 表示气体的温度，试以 T 为纵坐标，Q 为横坐标，画出在 Q 不断增加的过程中 T 和 Q 的关系图线并在图中用题给的已知量及普适气体常量 R 标出反映图线特征的各量（不要求写出推
4、导过程） 四、 （23 分）封闭的车厢中有一点光源 S，在距光源 l 处有一半径为 r 的圆孔，其圆心为 O1，光源一直在发光，并通过圆孔射出车厢以高速 v 沿固定在水平地面上的 x 轴正方向匀速运动，如图所示某一时刻，点光源 S 恰位于 x 轴的原点 O 的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点在地面参考系中坐标为 xA 处放一半径为 R（R r）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与 x 轴垂直板的圆心 O2 、S 、 、O 1 都等高，起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）上由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没有光射到
5、屏上的情况不考虑光的衍射试求：1车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻 2地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻 五、 （25 分）一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环，其内、外半径分别为 a1、a 2，厚度可以忽略两个表面都带有电荷，电荷面密度 随离开环心距离 r 变化的规律均为 ，20)(ra1a2 a0p0rSv RxAOlr O2O1-_为已知常量薄圆环绕通过环心垂直环面的轴以大小不变的角加速度 减速转动，t = 00 时刻的角速度为 将一半径为 a0 (a0 vA、v B 七、 （25 分） 如图所示，在一个劲度系数为 k 的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的小球 A 和质
6、量为 2m 的小球 BA 用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为 现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相l对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴 Ox，原点 O 与此时 A 球的位置重合如图试求任意时刻两球的坐标vBvABAOABkxOl-_第 22 届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答一、1如图所示，设滑块出发点为 ，离开点为 ，按题意要求 、 与竖直1P21PO2方向的夹角相等，设其为 ，若离开滑道时的速度为v，则滑块在 处脱离滑道的条件是2P(1)cosmgRv由机械能守恒(2)21)cs(2v(1)、 (2)联立解得或 (3)54cos25364arcos2设滑块刚能在
7、O 点离开滑道的条件是（4）mgR20vv0 为滑块到达 O 点的速度，由此得（5）0v设到达 O 点的速度为 v0 的滑块在滑道 OA 上的出发点到 的连线与竖直的夹角为 ，由机1O0械能守恒，有（6）200)cos(vmmgR由（5） 、 （6 ）两式解得（7）30若滑块到达 O 点时的速度 ，则对 OB 滑道来说，因 O 点可能提供的最大向心力为0vmg，故滑块将沿半径比 R 大的圆周的水平切线方向离开 O 点对于 的滑块，其在 OA0v上出发点的位置对应的 角必大于 ，即 ，由于 ，根据机械能守恒，到达002maxO 点的最大速度（8）Rgmaxv由此可知，能从 O 点离开滑道的滑块速
8、度是 v0 到 之间所有可能的值，也就是说， 从O1O2OABP1P2-_至 下滑的滑块都将在 O 点离开滑道以速度 v0 从 O 点沿水平方向滑出滑道的滑块，32其落水点至 的距离（9）tx0v（10）21gR由（5） 、 （9 ） 、 （10 ）式得（11 ）x20当滑块以 从 O 点沿水平方向滑出滑道时，其落水点到 的距离maxv O（12 ）txmaxv由（8） 、 （10） 、 （12）式得（13 ）Rmax2因此，凡能从 O 点脱离滑道的滑块，其落水点到 的距离在 到 之间的所有可能O2值即（14 ）Rx2二、1由静电感应知空腔 1、2 及 3 的表面分别出现电量为 、 和 的面电
9、荷，1q23q由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面呈现出电量 由静电屏蔽可知，点电荷321qq1 及感应电荷 （ ）在空腔外产生的电场为零；点电荷 q2 及感应电荷（ ）在空腔外产1q 2q生的电场为零；点电荷 q3 及感应电荷（ ）在空腔外产生的电场为零因此，在导体球外3q没有电荷时，球表面的电量 作球对称分布21当球外 P 点处放置电荷 Q 后，由于静电感应，球面上的总电量仍为 ，但这321q些电荷在球面上不再均匀分布，由球外的 Q 和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零O3 处的电势由位于 P 点处的 Q、导体球表面的电荷 及空腔 3 表面的感应电321q荷（ ）共同产生
10、无论 在球面上如何分布，球面上的面电荷到 O 点的距离q321q-_都是 R，因而在 O 点产生的电势为 ， Q 在 O 点产生的电势为 ，这两部分Rqk321RQk2电荷在 O3 点产生的电势 与它们在 O 点产生的电势相等，即有U（1） Rqkqk 2231321因 q3 放在空腔 3 的中心处，其感应电荷 在空腔 3 壁上均匀分布这些电荷在 O3 点产生3的电势为(2)rqkU3根据电势叠加定理，O 3 点的电势为(3)rqRqQk321故 q3 的电势能(4)rqqkUqW32132 由于静电屏蔽，空腔 1 外所有电荷在空腔 1 内产生的合电场为零，空腔 1 内的电荷 q1 仅受到腔内
11、壁感应电荷 的静电力作用，因 q1 不在空腔 1 的中心 O1 点，所以感应电荷q在空腔表面分布不均匀，与 q1 相距较近的区域电荷面密度较大，对 q1 的吸力较大，在1q空腔表面感应电荷的静电力作用下，q 1 最后到达空腔 1 表面，与感应电荷 中和同理，空腔 2 中 q2 也将在空腔表面感应电荷 的静电力作用下到达空腔 2 的表面与感应电荷2q中和达到平衡后，腔 1、2 表面上无电荷分布，腔 3 表面和导体球外表面的电荷分布没有变化O 3 的电势仍由球外的电荷 Q 和导体球外表面的电量 及空腔 3 内壁的321q电荷 共同产生，故 O3 处的电势 U 与 q3 的电势能 W 仍如(3)式与
12、(4)式所示q三、答案如图所示-_附计算过程：电阻通电后对气体缓慢加热，气体的温度升高，压强增大，活塞开始有向外运动的趋势，但在气体对活塞的作用力尚未达到外界大气对活塞的作用力和器壁对活塞的最大静摩擦之和以前，活塞不动，即该过程为等容过程因气体对外不做功，根据热力学第一定律可知，在气体温度从 T0 升高到 T 的过程中，气体从电阻丝吸收的热量， (1)0TCQ此过程将持续到气体对活塞的作用力等于外界大气对活塞的作用力和器壁对活塞的最大静摩擦之和若用 T1 表示此过程达到末态的温度，p 表示末态的压强， Q1 表示此过程中气体从电阻丝吸收的热量，由等容过程方程有(2)01Tp由力的平衡可知(3)
13、FSp0由（2） 、 （3 ）两式可得abdQTT0 SpCFTQ01001SpFTtan2= FRSpCSp0021tan12-_(4)SpTFT01代入(1)式得(5)SpCFTQ01由以上讨论可知，当 时，T 与 Q 的关系为1(6)0TC在 图中为一直线如图中 所示，其斜率QTab(7)CKab1直线在 T 轴上的截距等于 T0，直线 ab 的终点 b 的坐标为（T 1，Q 1） 当电阻丝继续加热，活塞开始向外运动以后，因为过程是缓慢的，外界大气压及摩擦力皆不变，所以气体的压强不变，仍是 p，气体经历的过程为等压过程在气体的体积从初始体积 V0 增大到 V，温度由 T1 升高到 T 的
14、过程中，设气体从电阻丝吸收的热量为 ，活塞运Q动过程中与器壁摩擦生热的一半热量为 q，由热力学第一定律可知(8)01VpTCQq 可由摩擦力做功求得，即(9)SVFq021代入（8）式得(10)0102VpTCSVFQ-_由状态方程式可知(11)10TRVp将（11 ）式和（4 ）式代入（10）式，得 102TFSpRCQ即（12）10022TQFRSpCSpT从开始对气体加热到气体温度升高到 T( T1)的过程中，气体从电阻丝吸收的总热量（13）Q1把（13 ）式代入到（12 ）式，并注意到（4）式和（5） ，得（14） SpCFTQSpTFCTQFRSpCSpT 01000022由此可知，
15、当 时，T 与 Q 的关系仍为一直线，此直线起点的坐标为Q01， ；斜率为SpCFT011（15）FRSpCSp0022在 图中，就是直线 bd，当热量 Q 从零开始逐渐增大，气体温度 T 将从起始温度 T0 沿QT着斜率为 Kab 的直线 上升到温度为 T1 的 b 点，然后沿着斜率为 Kbd 的直线 上升，如图ab bd所示-_四、1相对于车厢参考系，地面连同挡板以速度 v 趋向光源S 运动由 S 发出的光经小孔射出后成锥形光束，随离开光源距离的增大，其横截面积逐渐扩大若距 S 的距离为 L 处光束的横截面正好是半径为 R 的圆面，如图所示，则有Rlr可得(1)rlL设想车厢足够长，并设想
16、在车厢前端距 S 为 L 处放置一个半径为 R 的环，相对车厢静止，则光束恰好从环内射出当挡板运动到与此环相遇时，挡板就会将光束完全遮住此时，在车厢参考系中挡板离光源 S 的距离就是 L在车厢参考系中，初始时，根据相对论，挡板离光源的距离为(2)21cxAv故出现挡板完全遮住光束的时刻为(3)vLcxtA2由（1） 、 （3）式得(4)vrRlcxtA212相对于地面参考系，光源与车厢以速度 v 向挡板运动光源与孔之间的距离缩短为(5)2c1l而孔半径 r 不变，所以锥形光束的顶角变大，环到 S 的距离即挡板完全遮光时距离应为 (6)21crRlLv初始时，挡板离 S 的距离为 xA，出现挡板完全遮住光束的时刻为(7)21crlxtAvvr RlLS
