1、-_厦门市 2013 届高三质量检查数学（理科）试卷注意事项：1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2.本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题) 两部分，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.第卷 （选择题 共 50 分）一. 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.1已知全集 UR，集合 3Ax， 20Bx，则 UACB等于（ ）A (,3 B (,) C ,3) D (3,22. 双曲线214xy的渐近线方程为（ ）A B 4yx C 12yx D
2、4yx3. 某雷达测速区规定：凡车速大于或等于 80 km/h 的汽车视为 “超速”，并将受到处罚如图是某路段的一个检测点对 200 辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（ ）A20 辆 B40 辆 C60 辆 D80 辆4. “ abe”是 22loglab”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5.函数 ()sin()fxxR（ ）-_开始i = 0输入正整数nn为奇数 ?n = 3n+1 n = n/2i = i + 1n = 1?输出i结束是 否是否2侧侧侧 ABA.是偶函数且为减函数 B. 是偶函数且为
3、增函数C.是奇函数且为减函数 D. 是奇函数且为增函数6. 若不等式组,01yx表示的平面区域为 M，不等式 2yx表示的平面区域为 N，现随机向区域 M内投掷一粒豆子，则豆子落在区域 N内的概率为（ ）A 6 B 3 C 12 D. 237甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为 ，则甲以 31 的比分获胜的概率为（ 23）A. B. C. D. 827 6481 49 898. 在右侧程序框图中，输入 5n，按程序运行后输出的结果是（ ）A3 B4 C5 D.69若函数 3()fx在 2(,6)a上有最小值，则实数 a的取值范
4、围是（ ）A 5,1B 5,1C 2,1D (2,1)10. BC中， 2,4A， 为锐角，点 O 是 AB外接圆的圆心，则 OABC的取值范围是（ ）A. (2, B. (,2 C. 2, D. (2,)第卷 （非选择题 共 100 分）二填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分。11若 2()ai为纯虚数（ i为虚数单位） ，则实数 a= .12已知 3sn,5x则 cos2x .13一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图是半圆。现有一只蚂蚁从点 A 出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A 点，则蚂蚁所经过路程的最小值为 _-_ODACBPQ14在含有 3
5、 件次品的 10 件产品中，取出 *(10,)nN件产品，记 n表示取出的次品数，算得如下一组期望值 nE：当 n=1 时， 011037371CE;当 n=2 时， 02120373737221016C;当 n=3 时， 0123037373773101019CE;观察以上结果，可以推测：若在含有 M件次品的 N件产品中，取出 *(,)nN件产品，记 n表示取出的次品数，则 nE= 15某同学在研究函数 22()1610fxx的性质时，受到两点间距离公式的启发，将)(xf变形为 22)()3()0(，则 )(xf表示|PBA（如图） ，下列关于函数 xf的描述正确的是 （填上所有正确结论的序
6、号） )(xf的图象是中心对称图形； )(f的图象是轴对称图形；函数 的值域为 13,)； 方程 10x有两个解.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16.（本小题满分 13 分）已知函数 3()sincos2fxx（ 0）的周期为 4。（）求 f 的解析式；（）将 ()x的图象沿 x轴向右平移 23个单位得到函数 ()gx的图象，P、 Q分别为函数 ()g图象的最高点和最低点（如图） ，求 OQP的大小。17 （本小题满分 13 分）如图，PA,QC 都与正方形 ABCD 所在平面垂直，AB=PA=2QC=2 ，ACBD=OxyOB (3,
7、-1)PA(0,1) xyPQO-_（）求证：OP平面 QBD;（）求二面角 P-BQ-D 平面角的余弦值；（）过点 C 与平面 PBQ 平行的平面交 PD 于点 E，求 PD的值.18 （本小题满分 13 分）某城市 2002 年有人口 200 万，该年医疗费用投入 10 亿元。此后该城市每年新增人口 10 万，医疗费用投入每年新增 x亿元。已知 2012 年该城市医疗费用人均投入 1000 元。（）求 x的值；（）预计该城市从 2013 年起，每年人口增长率为 10%。为加大医疗改革力度，要求将来 10年医疗费用总投入达到 690 亿元，若医疗费用人均投入每年新增 y元，求 的值。（参考数
8、据： 1.2.85）19. （本小题满分 13 分）已知函数 ()lnfxax在 1处的切线 l与直线 20xy垂直，函数21()gxb（）求实数 的值；（）若函数 ()gx存在单调递减区间，求实数 b 的取值范围；（）设 12,是函数 ()gx的两个极值点，若 72，求 12()gx的最大值20. （本小题满分 14 分）已知椭圆21:xCy.（）我们知道圆具有性质：若 E为圆 O： 22(0)xyr的弦 AB 的中点，则直线 AB的斜率 ABk与直线 OE 的斜率 k的乘积 ABOEk为定值。类比圆的这个性质，写出椭圆1的类似性质，并加以证明；（）如图（1） ，点 B 为 1C在第一象限中
9、的任意一点，过 B 作 1C的切线 l， 分别与 x 轴和 y轴的正半轴交于 C，D 两点，求三角形 OCD 面积的最小值；（）如图（2） ，过椭圆2:8xy上任意一点 P作 1的两条切线 PM 和 PN，切点分别为 M，N.当点 P 在椭圆 2上运动时，是否存在定圆恒与直线 MN 相切？若存在，求出圆-_ xy COBD的方程；若不存在，请说明理由.图（1） 图（2）21.本题设有（1） （2） （3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选 2 题作答，满分 14 分.如果多做，则按所做的前两题计分.（1） （本小题满分 7 分）选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵 A321 ， 23B.（）求矩
10、阵 A 的逆矩阵 1；（）求直线 0yx在矩阵 1A对应的线性变换作用下所得曲线的方程.（2） （本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1的参数方程是 2cos,inxy（ 为参数）.（）将 C 1的方程化为普通方程；（）以 O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线 C 2的极坐标方程是()3R， 求曲线 C 1与 C 2交点的极坐标. （3） （本小题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲已知正数 x， y， z满足 622zyx（）求 2的最大值；y xMN OP-_yxA1 OBDCAy x QMBAOP（）若不等式 zyx
11、a21对满足条件的 x， y， z恒成立，求实数 a的取值范围厦门市 2013 届高三质量检查数学（理科）评分标准一选择题； BCAD A10.分析 1：BC=2， 045，所以 22sinaR，如图建系，(,)(,1)O，求得圆 O： (1)xy，设 (,)Axy，则 OC分析 2： |co,4cos,ABCABCBC分析 3： 21()()()()2Dcb 又 02sinisin45bc，所以 2221()()(sin)CB= 2221()4(sini).cbC二填空题： 11. 12. 75 13. 6 (或 3) 14. mN 1515.分析：如图设 12(,0),PxQ，当 P，Q
12、关于 ,02对称时，即 123x12()fxf,所以 f(x)关于 3对称.设 t，则 ()10ft，观察出 10t，则 23t，由知无解.三解答题：16.本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质，考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力，考查了运用数形结合的数学思想解决问题的能力满分 13 分解：（1） 3()sincos2fxx-_133(sincos)2xx-1 分iin3si()x-3 分2=4,=4o因 为 ， 所 以-5 分()3sin()fxx所 以-6 分（2）将 f的图像沿 轴向右平移 23个单位得到函数 ()3sin2gxx-7 分因为
13、 P、 Q分别为该图像的最高点和最低点，所以 (1,3)(,)-9 分所以 24O-10 分223,cosPOQ-12 分所以 6-13 分法 2： 60,30=ooooPxx可 以 得 所 以法 3：利用数量积公式 (2,)(,3)cs 2419POQ ， =30o所 以17 本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行及二面角的判断及计算、空间向量应用的基本方法，考查空间想象、计算、推理论证等能力满分 13 分解：（）连接 OQ，由题知 PAQC,P 、A 、Q、C 共面BDAC,BD PA,PAAC=A，BD平面 PACQ, BD OP. -1 分由题中数据得 PA=2，AO=OC=
14、2,OP= 6,QC=1，OQ= 3 PAO OCQ,POA=OQC,又POA+ OPA=90 POA+COQ=90 OPOQ（或计算 PQ=3，由勾股定理得出POQ=90，OPOQ） -3 分OPBD, OPOQ,BDOQ=O ，OP平面 QBD-4 分-_（）如图，以 A 为原点，分别以 AB,AD,AP 所在直线为 X,Y,Z 轴建立直角坐标系，各点坐标分别为 A(0,0,0) ，B(2,0,0) ，C （2,2,0） ，D （0,2,0）,P（0,0,2）,Q(2,2,1),O(1,1,0)- -5 分 BP=(-2,0,2), Q=（0,2,1 ）,设平面 PBQ 的法向量 ),(z
15、yxn 20nxzy，得 zyx2，不妨设 1， ),1(n-6 分由（）知平面 BDQ 的法向量 )2,1(OP，-7 分cosOP， n= 2463，二面角 P-BQ-D 平面角的余弦值为 6.-9 分（）设 PED, (1)0,2PEED, 10,22,1C，-11 分CE平面 PBQ, C与平面 PBQ 的法向量 )2,1(n垂直。24011nE,-12 分 . PD-13 分（方法二）在平面 PAD 中，分别过 D 点、P 点作直线 PA、AD 的平行线相交于点 M，连结 MC 交直线 DQ 与点 N， 在平面 PQD 中过点 N 作直线 NEPQ 交 PQ 于点 E，-11 分由题
16、可知 CNPB,NEPQ,CNNE=N平面 CNE平面 PBQ,CE平面 PBQ-12 分CQ=1，MD=PA=2 ， 12QND-_NEPQ, 12PED-13 分18本题主要考查学生审题阅读、理解分析的能力，考查等差等比数列的基本知识，考查数学建模及其应用与计算的能力，考查运用数学知识分析问题和解决实际问题问题的能力满分 13 分.解：（）依题意，从 2002 年起，该城市的人口数组成一个等差数列，到 2012 年， 1n，该城市的人口数为 20(1)03万人， -2 分故 2012 年医疗费用投入为 49313元，即为 30 亿元，由于从 2002 年到 2012 年医疗费用投入也组成一
17、个等差数列，-4 分所以 10()0x，解得 2x，-5 分（）依题意，从 2013 年起（记 2013 年为第一年） ，该城市的人口数组成一个等比数列 na，其中 130(%)301.a，公比 1.q， 301.nna-6 分医疗费用人均投入组成一个等差数列 nb，其中 1by，公差为 ， y；-7 分于是，从 2013 年起，将来 10 医疗费用总投入为：10210Saab，-8 分2 103().3()1.30(1).yyy，210. 0，相减得： 2 110. .y ，1110.3().30(75)Syy，所以 (75)ny（万元） ，-12 分由题设， 069，解得 5y。-13 分
18、-_19. 本题主要考查函数的导数的几何意义，导数知识的应用等基础知识，函数的单调性、考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、数学建模应用解决问题、分类与整合思想。满分 13 分.解：（） ()lnfxax， ()1afx.-1 分l与直线 20y垂直， 2ky， 1a.-3 分（） 21()ln()gxxb，21()()()xbgx.-4 分由题知 ()0在 (,)上有解， 0,-5 分设 2()(1)uxbx，则 ()1u 只须 210()4b-7 分 331bb ，故 的取值范围为 (3,).-8 分（）2(1)()()xgx， 令 ()0gx，得： 2(1)0xb 1212,b， 法 1： 2 211 2()ln()ln()xxbxx2 21 112 12122 2ln()()l()()xbx
