1、-_概率论与数理统计复习提要第一章 随机事件与概率1事件的关系 ABABA 2运算规则 （1） （2） )()()( CC（3） ) ) （4） BABA 3概率 满足的三条公理及性质：)(P（1） （2）101)(P（3）对互不相容的事件 ，有 （ 可以取 ）nA,21 nkknkAP11)()(（4） （5） 0)(P)(P（6） ，若 ，则 ，BBA)()(B)(（7） )()(APP（8） )()()()()( ABCPACPBCBCBA 4古典概型：基本事件有限且等可能5几何概率6条件概率（1） 定义：若 ，则0)(BP)(|(BPA（2） 乘法公式： |)若 为完备事件组， ，则有
2、nB,1 0(i（3） 全概率公式： ni iiBAPAP1)|)（4） Bayes 公式： ni iikkkB1)|()|(-_7事件的独立性： 独立 （注意独立性的应用）BA , )()(BPA第二章 随机变量与概率分布1 离散随机变量：取有限或可列个值， 满足（1） ， （2）iipxX)( 0i=1ip（3）对任意 ，RDDxiiP :)(2 连续随机变量：具有概率密度函数 ，满足（1） ；(f 1)( ,0)(-dxfxf（2） ；（3）对任意 ，badfXa)( RaaXP3 几个常用随机变量名称与记号 分布列或密度 数学期望 方差两点分布 ),1(pB，pP)1( pqXP1)0
3、( pq二项式分布 n ，nkCkXn,2, nPoisson 分布 )(,10,!)(e几何分布 )(pG,2 ,)(1kpqXPp12q均匀分布 ),(baU，bxabxf ,)( ba1)(a指数分布 E0 ,efx2正态分布 ),(2N2)( 1)(f 4 分布函数 ，具有以下性质(xXPxF（1） ；（2）单调非降；（3）右连续；1) ,0)(（4） ，特别 ；(aba )(1)(aFXP（5）对离散随机变量， ；xiipF :)（6）对连续随机变量， 为连续函数，且在 连续点上，dtf)( )(xf-_)( xfF5 正态分布的概率计算 以 记标准正态分布 的分布函数，则有)(x)
4、1,0(N（1） ；（2） ；（3）若 ，则5.0)()(1),(2X；xF（4）以 记标准正态分布 的上侧 分位数，则u),0(N)(1)(uuP6 随机变量的函数 XgY（1）离散时，求 的值，将相同的概率相加；（2） 连续， 在 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则X)(x，若不单调，先求分布函数，再求导。|)|)( 11ygfyfY第四章 随机变量的数字特征1期望(1) 离散时 ， ；iipxXE)(iipxgXE)()(2) 连续时 ， ；df)(df(3) 二维时 ，jiijipyxgYg,),( dyxfyxgYg),(,),(4) ；（5） ；CE)( (XCE（6） ；
5、)(YYX（7） 独立时，, )(2方差（1）方差 ，标准差 ；222)()()( EXXED )()(XD（2） ； ,0DC（3） ；)()(2X（4） 独立时，Y, )(YXY3协方差（1） ；)()()()(),( YEXEECov -_（2） ；),(),( ),(),( YXabCovYXCovYvXCov（3） ；,2121 （4） 时，称 不相关，独立 不相关，反之不成立，但正态时等价；0),(v,（5） ),()(YXCovDXYD4相关系数 ；有 ，)(,YXCovY1|XY1)( ,1| baYPbXY5 阶原点矩 ， 阶中心矩kkkXE kkE)(第五章 大数定律与中心
6、极限定理1Chebyshev 不等式 或2)(|)(| XD 2)(1|)(| XDXP2大数定律3中心极限定理 （1）设随机变量 独立同分布 ，则nX,21 2)( ,)(iiE， 或 或 ，),(21nNXnii近 似 ),(21nNnii近 似 )0,1( 1NnXnii近 似（2）设 是 次独立重复试验中 发生的次数， ，则对任意 ，有mApAP(x或理解为若 ，则)(li xnpqPn ),nBX),(nqX近 似第六章 样本及抽样分布1总体、样本（1） 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法） ；（2） 样本数字特征：样本均值 （ ， ） ；niiX1)(EnX
7、D2)(样本方差 （ ）样本标准差niiS122)(2)(SniiX12)(-_样本 阶原点矩 ，样本 阶中心矩knikikX1nikikX1)(2统计量：样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1） 分布 ，其中 独立同分布于2)(2212 nn n,21标准正态分布 ，若 且独立，则 ；),0(N ),(21YX )(21YX（2） 分布 ，其中 且独立；t/ntY )( ),0(2nN（3） 分布 ，其中 且独立，有下面F),(/2121F)(),(212YX的性质 ),(),( ),(1 122112 nnn4正态总体的抽样分布（1） ； （2
8、） ；)/,(2NX )()(122Xnii（3） 且与 独立； （4） ；)1()22nSn )1(/ntSt（5） ，)2()( 12121 ntYXt 2)(1S（6） ),(/2121nFS第七章 参数估计1矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计2极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为 0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为 min 或ixmax ）ix3估计量的评选原则(1)无偏性：若 ，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；)
9、(E4参数的区间估计（正态）-_参数 条件 估计函数 置信区间已知2nxu/ 2nux未知2st/ )1(2st2未知 22)1(n )(,)(212nn复习资料1、填空题（15 分）题型一：概率分布的考察【相关公式】 （P379）分布 参数 分布律或概率密度 数学期望 （E ） 方差（D）（01）分布 01p1(),0kkPXpp(1)p二项分布n,0,1,knkkn()n负二项分布10rp(1),rkrkPXpkrrp2(1)rp几何分布 11(),2k12p超几何分布,()NMan,max0,min,MNknPXkkM为 整 数 N1Nn泊松分布 0!0,12kePXk均匀分布 ab ,
10、axbb2ab2()1ba-_()fx0,其 他【相关例题】1、设 ， ， ，则求 a，b 的值。(,)XUab:(2EX1()3DZ2,()1,23.abab解 ： 根 据 性 质 ：解 得 ：2、已知 ,则求 n，p 的值。(,)0.5,().45XnpEDX:.,(1).0p解 ：由 题 意 得 ：解 得 ：题型二：正态总体均值与方差的区间估计【相关公式】 （P163）2/2, 1-/XnXzn 为 已 知 由 枢 轴 量 ， 得 到 的 一 个 置 信 水 平 为 的 置 信 区 间 ：【相关例题】1、 （样本容量已知） 1225(,0.8),5,0.9NXX已 知 总 体 为 样 本
11、 且 则 的 置 信 度 的置 信 区 间 为 ： /20.259.18964.72,5.38Xzzn解 ： 代 入 公 式 得 ：2、 （样本容量未知） 123(,), ,0.910.8,92.nNX:已 知 为 样 本 容 量 若 关 于 的 置 信 度 的 置 信 区 间 ，求 样 本 容 量-_2227.843.9.Xzzznnn解 ：由 题 意 知 ： 样 本 长 度 为 ， 则 有 ：代 入 数 据 ， 得 ：题型三：方差的性质【相关公式】 （P103）21()0,2(),)(3, )DCXDXCYYY为 常 数 。 ， 为 常 数 。相 互 独 立【相关例题】1、 2121212
12、(,4)(0,9),().UNXDX:已 知 ， 两 变 量 ， 且 相 互 独 立 求12 212(,4)(0,9)()4)49361XUbaDXD解 ：题型四：2t分 布 、 分 布 的 定 义【相关公式】 （P140、P138） 21232221(0,)(),/ ., (0,1),.nXYnXYtnttNXn:设 且 相 互 独 立 ， 则 称 随 机 变 量服 从 自 由 度 为 的 分 布 ， 记 为设 是 来 自 总 体 的 样 本 则 称 统 计 量服 从 自 由 度 为 的 分 布 记 为【相关例题】1、 2(0,)(4),/XYXY: :若 且 相 互 独 立 ？()/Xtn
13、答 ：2、 302123301,?iiXNX:若 变 量 服 从 则-_3021().iiX:答 ：题型五：互不相容问题【相关公式】 （P4）,ABAB若 则 称 事 件 与 事 件 是 互 不 相 容 的 。【相关例题】1、 ()0.6,().PP若 互 不 相 容 求,()()()(0.6ABPSPAB解 ： 互 不 相 容2、选择题（15 分）题型一：方差的性质【相关公式】 （见上，略）【相关例题】 （见上，略）题型二：考察统计量定义（不能含有未知量）题型三：考察概率密度函数的性质（见下，略）题型四：和、乘、除以及条件概率密度（见下，略）题型五：对区间估计的理解（P161）题型六：正态分
14、布和的分布【相关公式】 （P105）【相关例题】 (0,2)(3,9)?XNYXY若 则 1.答 ：题型七：概率密度函数的应用【相关例题】2,0x设 ()Xf,其 他已知 ,PaXa则 求 。-_201|2aPXaPXxda解 ： 由 题 意 ， 得 ：即 有 ：又3、解答题（70 分）题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】 全概率公式：n12SP()=| | |()(|)()|)|).i nESAEBAPBABPPBA12设 实 验 的 样 本 空 间 为 ， 为 的 事 件 ， ， ， ，为 的 划 分 ， 且 0,则 有 ：其 中 有 ： 。特 别 地 ： 当 n2
15、时 ， 有 ： 贝叶斯公式： i 1 00(,2,)(|)|) (=()(|)(|)|()i iii njESE APBAPBPBAPABPB 12n设 实 验 的 样 本 空 间 为 。 为 的 事 件 ,， ， ， 为 S的 一 个 划 分 ， 且 P，则 有 ：特 别 地 ：当 n2时 ， 有 ：【相关例题】1、P19 例 5某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂 次品率 提供原件的份额1 0.02 0.152 0.01 0.803 0.03 0.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区分标志。问：（1）在仓库中随机取一只元件，求它的次品率；
