1、-_高等数学（下册）期末考试试卷（一）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、 = 的定义域为 D= 。z)0(log2ayxa2、二重积分 的符号为 。1|nyxdx3、由曲线 及直线 ， 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 l1ey。4、设曲线 L 的参数方程表示为 则弧长元素 。),()xtyx ds5、设曲面为 介于 及 间的部分的外侧，则 。92x0z3syx)12（6、微分方程 的通解为 。ydtan7、方程 的通解为 。04)(8、级数 的和为 。1)(n二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）1、二元函数 在 处可微的充分条件是（ ）),(yxfz),0（A）
2、 在 处连续；0（B） ， 在 的某邻域内存在；),(yxf),(f),0yx（C） 当 时，是无穷小；fzyx ,(,0 0)(22yx（D） 。0)(lim2200 yxfyx2、设 其中 具有二阶连续导数，则 等于（ ）),(xyffuf 22yux（A） ； （B ） ； (C) ； (D)0 。yxy3、设 ： 则三重积分 等于（ ）,0122zzdVI（A）4 ；（B） ；2003cosindrrd20102sindr-_（C） ；（D） 。20103cosindrrd20103cosindrrd4、球面 与柱面 所围成的立体体积 V=（ ）224azyxaxyx2（A） ； （B
3、 ） ；20cos2drd20cos244adrrd（C） ； （D） 。20cos248ar2cos02a5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成，L 取正向，函数 在 D 上具有一阶连续偏导数，),(,yxQP则 LQdyPx)(（A） ； （B） ；DxdyDdxyQ)(（C） ； （D） 。)( P)(6、下列说法中错误的是（ ）（A） 方程 是三阶微分方程；02yxyx（B） 方程 是一阶微分方程；dsin（C） 方程 是全微分方程；0)3()( 2232 dyxyx（D） 方程 是伯努利方程。y17、已知曲线 经过原点，且在原点处的切线与直线 平行，而 满足微分方程)(xy
4、 62yx)(xy，则曲线的方程为 （ ）052yy（A） ； （B） ；xe2sin )cos(sinxex（C） ； （D） 。)(cox28、设 , 则 （ ）0limnu1nu（A）收敛； （B）发散； （C）不一定； （D）绝对收敛。三、求解下列问题（共计 15 分）1、 （7 分）设 均为连续可微函数。 ，gf, )(),(xygvxyfu-_求 。yux,2、 （8 分）设 ，求 。txdzft)(),( tux,四、求解下列问题（共计 15 分） 。1、计算 。 （7 分）I202xyed2、计算 ，其中 是由 所围成的空间闭区域（8 分）V)(x21,22zy及五、 （13
5、分）计算 ，其中 L 是 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点 的LyxdI2o )0,(O封闭曲线的逆时针方向。 六、 （9 分）设对任意 满足方程 ，且 存在，求 。)(,f )(1)(yfxfyxf)0(f)(xf七、 （8 分）求级数 的收敛区间。112)(nnx高等数学（下册）期末考试试卷（二）1、设 ，则 。zyxzyx32)32sin(yzx2、 。yx9lim03、设 ，交换积分次序后， 。2),(xdyfI I4、设 为可微函数，且 则 。 )(uf ,0f2)(1lim23tyxt df5、设 L 为取正向的圆周 ，则曲线积分42yx。xdedye)()1(6、设 ，则
6、。kxyzjxyizA)(222 Adiv7、通解为 的微分方程是 。xecy18、设 ，则它的 Fourier 展开式中的 。xf0,)( na-_二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分） 。1、设函数 ,则在点（0，0）处（ ）,0,),( 24yxyxf（A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在；（C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。2、设 在平面有界区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足),(yxu及 ，020yu则（ ）（A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部；（B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上；（C）最大值点在 D 的内部，最小值点在
7、D 的边界上；（D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上。3、设平面区域 D： ，若 ，1)()2(2yxdyxI2)(DdyxI32)(则有（ ）（A） ； （B） ； （C） ； （D）不能比较。21I21I21I4、设 是由曲面 及 所围成的空间区域，则 =（ ）,xyz0zdxyz32（A） ； （B） ； （C） ； （D） 。361362366415、设 在曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为 ，其中 在),(yxf )(tyx)t)(,t上具有一阶连续导数，且 ， 则曲线积分 （ ）,0)(22ttLdsyf,(A) ； (B) ；dttf)(, ttf )(
8、,22(C) ； (D) 。 dt)(22f),(6、设 是取外侧的单位球面 ， 则曲面积分1zyx=（ ）zdyxxdz(A) 0 ； (B) ； (C) ； (D) 。247、下列方程中，设 是它的解，可以推知 也是它的解的方程是（ ）1, 21y(A) ； (B) ；0)(xqyp 0)(xqp-_(C) ； (D) 。)()(xfyqxpy 0)(xqyp8、设级数 为一交错级数，则（ ）1na(A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若 ，则必收敛。)0(nan三、求解下列问题（共计 15 分）1、 （8 分）求函数 在点 A（0，1，0）沿
9、A 指向点 B（3，-2 ，2）)ln(2zyxu的方向的方向导数。2、 （7 分）求函数 在由直线 所围成的闭区域 D 上的最大)4(),(2f0,6xyx值和最小值。四、求解下列问题（共计 15 分）1、 （7 分）计算 ，其中 是由 及 所围成的立体3)1(zyxdvI 0,zyx1zyx域。2、 （8 分）设 为连续函数，定义 ，)(xf dvyxfztF)()(22其中 ，求 。22,0|,yhzydt五、求解下列问题（15 分）1、 （8 分）求 ，其中 L 是从 A（a，0）经 到Lxx ymemeI )cos()sin( 2xayO（0，0）的弧。2、 （7 分）计算 ，其中
10、是 的外侧。dzydzI222 )(22zx六、 （15 分）设函数 具有连续的二阶导数，并使曲线积分)(x与路径无关，求函数 。L dyxyex)(2)(32 )(x高等数学（下册）期末考试试卷（三）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、设 ， 则 。 yzxtdeu2zu2、函数 在点（0，0）处沿 的方向导数)2sin(),(yxf)2,1(l-_= 。)0,(lf3、设 为曲面 所围成的立体，如果将三重积分 化为先对 再0,12zyxz dvzyxfI),(z对 最后对 三次积分，则 I= 。yx4、设 为连续函数，则 ，其中 。),(f IDt dyxf),(1lim20
11、22:tyxD5、 ，其中 。Ldsyx2 2:aL6、设 是一空间有界区域，其边界曲面 是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数 ， ),(zyxP， 在 上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： ),(zyxQ),(zyxR， 该关系式称为 公式。7、微分方程 的特解可设为 。 96962x*y8、若级数 发散，则 。1)(np二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）1、设 存在，则 =（ ）),(bafx xbaffx ),(),(lim0（A） ；（B）0；（C）2 ；（D） 。,f21),(afx2、设 ，结论正确的是（ ）2yxz（A） ； （B） ；00
12、2xyz（C） ； （D） 。2xyz23、若 为关于 的奇函数，积分域 D 关于 轴对称，对称部分记为 ， 在 D 上连续，),(f y21,D),(yxf则 （ ）Ddyx（A）0；（B）2 ；（C）4 ； (D)2 。 1),(Ddyxf1),(Ddyxf2),(Ddyxf4、设 ： ，则 =（ ）22Rzxz(2（A） ； （B） ； （C） ； （D） 。5385358R516R5、设在 面内有一分布着质量的曲线 L，在点 处的线密度为 ，则曲线弧 的重心的 坐标xoy ),(yx),(yxx-_为（ ）x（） = ； （B） = ； LdsyxM),(1xLdxyM),(1（C）
13、= ； （D） = , 其中 M 为曲线弧 的质量。x, s、设 为柱面 和 在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分12y1,0zyx（ ）dzxzdy2（A）0； （B） ； （C） ； （D） 。42454、方程 的特解可设为（ ）)(2xfy（A） ，若 ； （B ） ，若 ；1xAexef)(（C） ，若 ；EDxCBx234 f2)(（D） ，若 。)5cossin( x5sin、设 ，则它的 Fourier 展开式中的 等于（ ）xxf01,) na（A） ； （B）0； （C） ； （D） 。)(2nn14三、 （分）设 为由方程 确定的 的函数，其中 具有一阶连续偏txfy,
14、 0),(tyxFyx,Ff,导数，求 。d四、 （分）在椭圆 上求一点，使其到直线 的距离最短。42yx 0632yx五、 （分）求圆柱面 被锥面 和平面 割下部分的面积。zz六、 （分）计算 ，其中 为球面 的 部分xyzdI122yx,yx的外侧。七、 （10 分）设 ，求 。xxdf2sin1)(co)(f八、 （10 分）将函数 展开成 的幂级数。l(32f x-_高等数学（下册）考试试卷（一）参考答案一、1、当 时， ；当 时， ；10a102yxa12yx2、负号； 3、 ； 4、 ；3;10Deydd dtt)(5、180 ； 6、 ；Cxsin7、 ； 8、1；xxeCy 2
15、42321co二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B ； 5、D； 6、B ； 7、A； 8、C；三、1、 ； ；21fyxu)(xygu2、 ； ；)()(txftf )(tftf四、1、 ；)124202020 2 edyexedyedxy2、 ；202102133rzzrI柱 面 坐 标五、令 则 ， ； 22,yxQyxP xQyxP2)( )0,(,y于是当 L 所围成的区域 D 中不含 O（0，0）时， 在 D 内连续。所以由 Green 公式得：I=0；当,L 所围成的区域 D 中含 O（0，0）时， 在 D 内除 O（0，0）外都连续，此时作曲线 为xQyP, l，逆时针方向
16、，并假设 为 及 所围成区域，则)1(22yx *Ll2)(2* yxDllLllL dyPxGrenI 公 式六、由所给条件易得：0)(1)0(2)(fff又 =xffxf)(lim)(0 xfffx)()(1lim0-_xfffxx )0()(1lim20 )(1)(2xff即 )(2ff即 cxf)0(arctn )0(tan)(cxff又 即 )0(f Zk,x七、令 ，考虑级数tx2112)(nnt2123limtntn当 即 时，亦即 时所给级数绝对收敛；2tt3x当 即 或 时，原级数发散；13x1当 即 时，级数 收敛；t 12)(n当 即 时，级数 收敛；1t3x1)(n级数
17、的半径为 R=1，收敛区间为1，3 。高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案一、1、1； 2、-1/6； 3、 ； 4、 ；20/ 42/),(),(yydxfdxfd )0(32f5、 ； 6、 ； 7、 ； 8、0；8)(zx二、1、C； 2、B； 3、A ； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C ；三、1、函数 在点 A（1，0，1）处可微，且)ln(2yu-_；)1,0(2zyxuA/；0)1,(22zyA /1)1,0(22yzxzuA而 所以 ,故在 A 点沿 方向导数为：),(Bl 3,l Bl+ +AluxcosAyucoszucos.2/13)2(0312、由 得 D 内的驻点为 且 ，)4(0(2yxfyx ),12(0M4),(f又 0,),0f而当 时，6yxy )60(12),(3xxyf令 得)12(3421x于是相应 且,y.64),(0)6,(ff在 D 上的最大值为 ，最小值为),(xf.)2,(f四、1、 的联立不等式组为yxz10:所以 10103)(xyxddIxy10241)(210 65ln3dx2、在柱面坐标系中2002)()(thrzfzrdtFt drhrf0321)(
