1、-_一选择题（共 12 小题）1 （2014海口二模）设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（2）=0，当 x0 时，有恒成立，则不等式 x2f（x）0 的解集是（ ）A （2 ，0 ）（2，+ ）B （2 ，0 ）（0，2） C （，2）（2，+） D （，2）（0，2）2 （2013安徽）若函数 f（x）=x 3+ax2+bx+c 有极值点 x1，x 2，且 f（x 1）=x 1，则关于 x 的方程 3（f （x） ）2+2af（ x）+b=0 的不同实根个数是（ ）A3 B 4 C 5 D63 （2013文昌模拟）设动直线 x=m 与函数 f（x）=x 3，g（x）=lnx 的图象
2、分别交于点 M、N，则|MN| 的最小值为（ ）AB C D ln314 （2012辽宁）已知 P，Q 为抛物线 x2=2y 上两点，点 P，Q 的横坐标分别为 4，2，过 P，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为（ ）A1 B 3 C 4 D 85 （2012无为县模拟）已知定义在 R 上的函数 f（x） 、g（x）满足 ，且 f（x）g（x）f（x）g（x） ，若有穷数列 （n N*）的前 n 项和等于 ，则 n 等于 （ ）A4 B 5 C 6 D76 （2012桂林模拟）已知 在（，+）上是增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1B 1， 4 C 1，
3、 1 D （，1）7 （2011武昌区模拟）已知 f（x）是定义域为 R 的奇函数，f（4）=1，f（x）的导函数f（x）的图象如图所示若两正数 a，b 满足 f（a+2b） 1，则 的取值范围是（ ）AB C （1 ，10 ） D （，1）8 （2010辽宁）已知点 P 在曲线 y= 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（ ）2010-2014 菁优网A0， ） B C D9已知函数 f（x）的定义域为（ 2，2） ，导函数为 f（x）=x 2+2cosx 且 f（0）=0，则满足 f（1+x）+f（x 2x） 0的实数 x 的取值范围为（ ）A （1 ，1 ）B ） C
4、 D）10若函数 ，且 0x 1x 21，设 ，则 a，b 的大小关系是（ ）Aab B abC a=b Db 的大小关系不能确定11已知函数 f（x）= x3+ ax2+2bx+c（a ，b，cR ） ，且函数 f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则 z=（a+3） 2+b2 的取值范围（ ）A （ ，2）B （ ，4） C （1，2） D（1，4）12若函数 f（x）=（a 3）xax 3 在区间 1，1上的最小值等于 3，则实数 a 的取值范围是（ ）A （2 ，+）B C D （2 ，12 二填空题（共 7 小题）13 （2014江苏模拟）已知函数 f（
5、x）满足 f（x）=2f（ ） ，当 x1，3，f（x）=lnx，若在区间 ，3内，函数g（x）=f（x）ax 有三个不同零点，则实数 a 的取值范围是 _ 14 （2010盐城三模）设 a0，函数 ，若对任意的 x1，x 21，e，都有f（x 1）g（x 2）成立，则实数 a 的取值范围为 _ 15设函数 f（x）= x3+bx（b 为常数） ，若方程 f（x）=0 的根都在区间2，2内，且函数 f（x）在区间（0，1）上单调递增，则 b 的取值范围是 _ 16已知函数 f（x）=x 33x，x 2，2和函数 g（x）=ax 1，x2，2，若对于 x12，2，总x 02，2，使得g（x 0）
6、=f（x 1）成立，则实数 a 的取值范围 _ 17某学生对函数 f（x）=2xcosx 进行研究后，得出如下四个结论：（1）函数 f（x）在，0 上单调递增，在 0，上单调递减；2010-2014 菁优网（2）存在常数 M0，使|f（x）|M|x|对一切实数 x 均成立；（3）点 是函数 y=f（x）图象的一个对称中心；（4）函数 y=f（x）图象关于直线 x= 对称其中正确的 _ （把你认为正确命题的序号都填上）18设函数 f（x）=lnx，有以下 4 个命题对任意的 x1、x 2（0，+） ，有 f（ ） ；对任意的 x1、x 2（1，+） ，且 x1x 2，有 f（x 1） f（x 2
7、）x 2x1；对任意的 x1、x 2（e，+） ，且 x1x 2 有 x1f（x 2）x 2f（x 1） ；对任意的 0x 1x 2，总有 x0（x 1，x 2） ，使得 f（x 0） 其中正确的是 _ （填写序号） 19 （2014四川二模）函数 f（x）=e xex，当 0， 变化时，f（msin）+f（1m）0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 _ 三解答题（共 4 小题）20 （2014凉州区二模）已知函数 f（x）=plnx+（p1）x 2+1（1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）当 P=1 时，f（x）kx 恒成立，求实数 k 的取值范围；（3）证明：1n（n+1）1+ + （n
8、 N+） 21 （2014佛山模拟）设 aR，函数 f（x）=lnx ax（1）若 a=2，求曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线方程；（2）若 a ，试判断函数 f（x）在 x（1，e 2）的零点个数，并说明你的理由；（3）若 f（x）有两个相异零点 x1，x 2，求证：x 1x2e 222 （2012武汉模拟）已知函数 f（x）=ln（1+x）ax 在 x= 处的切线的斜率为 1（）求 a 的值及 f（x）的最大值；（）证明：1+ + + ln （n+1） （nN *） ；（）设 g（x）=b（e xx） ，若 f（x）g（x）恒成立，求实数 b 的取值范围23 （2009聊城二模）已知
9、函数 为大于零的常数（1）若函数 f（x）在区间1，+）内调递增，求 a 的取值范围；（2）求函数 f（x）在区间1，2上的最小值；2010-2014 菁优网（3）求证：对于任意的 成立1解答：解：因为当 x0 时，有 恒成立，即 0 恒成立，所以 在（0，+）内单调递减因为 f（2）=0，所以在（0，2）内恒有 f（x） 0；在（2，+ ）内恒有 f（x）0又因为 f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以在（ ， 2）内恒有 f（ x）0；在（ 2，0）内恒有 f（x）0又不等式 x2f（x）0 的解集，即不等式 f（x）0 的解集所以答案为（， 2）（0，2） 故选 D2 解：f（x）=3x
10、 2+2ax+b，x 1， x2 是方程 3x2+2ax+b=0 的两根，不妨设 x2x 1，由 3（f（x） ） 2+2af（x）+b=0 ，则有两个 f（x）使等式成立， x1=f（x 1） ，x 2x 1=f（x 1） ，如下示意图象：如图有三个交点，故选 A3 解：画图可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直距离设 F（x）=f（ x）g（x）=x 3lnx，求导得：F（x）= 令 F（x ）0 得 x ；令 F（x）0 得 0x ，2010-2014 菁优网所以当 x= 时，F （x）有最小值为 F（ ）= + ln3= （1+ln3） ，故选 A4 解： P，Q 为抛物线 x2=2y
11、上两点，点 P，Q 的横坐标分别为 4， 2P（4，8） ，Q（ 2，2）x2=2yy= y=x切线方程 AP，AQ 的斜率 KAP=4，K AQ=2切线方程 AP 为 y8=4（x 4）即 y=4x8 切线方程 AQ 的为 y2=2（x+2）即 y=2x2令 点 A 的纵坐标为4 故选 C5解： = ，f （x）g（x）f （x）g （x） ， = 0，即函数 单调递减， 0a1又 ，即 ，即 ，解得 a=2（舍去）或 ，即数列 是首项为 ，公比 的等比数列， = = ，由 解得 n=5，故选 B6 解： 要是一个分段函数在实数上是一个增函数需要两段都是增函数且两个函数的交点处要满足递增，当
12、 x0 时，y =3x2（a 1）0 恒成立，a 13x 2 a10 a1，当 x=0 时，a 23a401 a4，综上可知1 a1 故选 C7 解：由 f（x）的导函数 f（x）的图象，设 f（x）=mx 2，则 f（x）= +nf（ x）是定义域为 R 的奇函数，f （0）=0，即 n=0又 f（ 4）= m（64）= 1，f （x）= x3= 且 f（a+2b ）= 1， 1，即 a+2b4又 a0，b0，则画出点（b，a）的可行域如下图所示而 可视为可行域内的点（b，a）与点 M（2， 2）连线的斜率又因为 kAM=3，k BM= ，所以 3故选 B2010-2014 菁优网8解：因为
13、 y= = = ， ，e x+ex+24，y 1，0）即 tan1，0） ， 0 故选 D9 解：f（x）=x2+2cosx 知 f（ x）= （1/3）x3+2sinx+c f（0）=0，知，c=0即：f（x）= （1/3）x3+2sinx 易知，此函数是奇函数，且在整个区间单调递增，因为 f（x）=x2+2cosx 在 x（0，2】0 恒成立根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的 f（1+x）+f（x2x）0f（1+x）f（ x2x）即：f（1+x）f（xx2） 2x+12（保证有意义）2 x2x2（保证有意义）x+1xx2（单调性得到的）解得即可故答案为 A10 解：f（x
14、）= =0x1 时，xtanxf（x）0，故函数单调递减，所以当 0x 1x 21 时，f（x 1）f（x 2）即 ab 故选 A11 解： f（x）= f（x）=x 2+ax+2b函数 f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（ 1，2）内取得极小值f（x）=x 2+ax+2b=0 在（0，1）和（1，2）内各有一个根 f（0）0，f（1） 0，f （2）0即 （a+3） 2+b2 表示点（a，b）到点（3，0）的距离的平方，由图知（3，0）到直线 a+b+2=0 的距离 ，平方为 为最小值，由 得（3，1）（3 ，0 ）与（ 3，1）的距离为 1，（3，0）与（1，0）的距离 2，所以
15、 z=（a+3） 2+b2 的取值范围为（ ）故选项为 B12 解：由函数 f（x）=（a 3）xax 3 求导函数为：f （x）= 3ax2+（a 3） ，当 a=0 时，f（x）=3x，此时函数在定义域内单调递减，所以函数的最小值为：f（1）=3，符合题意，所以 a=0 符合题意；当 a0 时，f （x）=0，即 3ax2=a3 （I）当 0a3 时，f （x）=3ax 2+（a 3）为开口向下的二次函数，且=12a（a 3） 0，f （x）0 恒成立所以函数 f（x）在定义域上为单调递减函数，函数的最小值为 f（1）= 3，此时符合题意；（II）当 a0 或 a3 时，f （ x）=0，
16、即 3ax2=a3 2010-2014 菁优网解得： ，当 ，即 a ，函数 f（x）在1， 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，所以此时函数在定义域的最小值为 f（1）=3 或 f（ ）= 令解得：a，即 时，函数在定义域上始终单调递减，则函数在定义域上的最小值为 f（1）=3，符合题意综上所述：当即 时符合题意故选 B13 解：在区间 ，3 内，函数 g（x）=f（x） ax，有三个不同的零点，a0 若 x1，3时，f（x）=lnx，可得 g（x）=lnx ax， （x0）g（x）= a= ，若 g（ x）0，可得 x ，g（x）为减函数，若 g（x）0，可得 x ，g（x）为增函
17、数，此时 g（x ）必须在1，3上有两个交点， ，解得， a 设 x1，可得 1 3，f（ x）=2f（ ）=2ln ，此时 g（x）= 2lnxax，g（x）= ，若 g（x）0，可得 x 0，g（x）为增函数若 g（x）0，可得 x ，g（x）为减函数，在 ，1上有一个交点，则 ，解得0a6ln3综上可得 a ；若 a0，对于 x1，3时，g（x）=lnx ax0，没有零点，不满足在区间 ，3内，函数 g（x）=f（x）ax，有三个不同的零点，a=0，显然只有一解，舍去综上： a 故答案为： a 14 解： g（x）=xlnxg （x）=1 ，x 1，e ，g（x）0 函数 g（x）单调递
18、增2010-2014 菁优网g（x）的最大值为 g（e）=e 1f（ x）=x+ f（x）= ，令 f（x）=0a0x=a当 0a1 f（x）在1，e 上单调增 f（1） 最小 =1+a2e11a当 1ae 列表可知 f（a） 最小 =2ae1 恒成立当 ae 时 f（x）在1，e上单调减 f（e） 最小 = e1 恒成立综上 a 故答案为：a15 解： 函数 f（x）= x3+bx（b 为常数） ，f（x）=x（x 2+b）=0 的三个根都在区间 2，2内， ，b4 函数 f（x）在区间（0，1）上单调递增，f （x）=3x 2+b0 在区间（0，1）上恒成立，b3 综上可知 3b4，故答案
19、为：3 ，416 解： f（x）=x 33x，f（x）=3（x1） （x+1） ，当 x2，1，f（x） 0，x（1，1） ，f（x）0；x（1，2，f（x）0f（ x）在2， 1上是增函数， （ 1，1）上递减， （1，2）递增；且 f（ 2）=2，f（1）=2，f（ 1）= 2，f （2）=2f（ x）的值域 A=2，2 ；又g（x）=ax+1（a0）在 2，2上是增函数，g（ x）的值域 B=2a1，2a1；根据题意，有 AB a 同理 g（x）=ax+1（a0）在2，2上是减函数，可以求出 a 故实数 a 的取值范围是：（， ，+） 17 解： f（x）=2xcosx 是一个奇函数，在
20、对称的区间上单调性相同，故不对，排除（1）因为|cosx|1，令 M=2 即得|f（x）| M|x|成立，故（2）对，因为 f（ ）+f（ x）=（+2x）sinx+（2x）sinx=4xsinx0，所以点 不是函数y=f（x）图象的一个对称中心，故（3）不对因为 f（ +x）=2（+x ）cosx，f （ x）=2（x）cosx，f （ +x）f（x） ，函数 y=f（x）图象不关于直线 x= 对称故（4）不对故答案为：（2）18 解： f（x）=lnx 是（0，+）上的增函数， 对于由 f（ ）=ln ，=ln ， ，故 f（ ） ；故错误对于，x 1x 2 则有 f（x 1）f（x 2）
21、 ，2010-2014 菁优网故由增函数的定义得 f（x 1） f（x 2）x 2x1 故正确，对于由不等式的性质得 x1f（x 1）x 2f（x 2） ，故错误；对于令 1=x1x 2=e2，x 0=e 得，f（x 0） 故错误故答案为19 解：由 f（x）=e xex，f（x）为奇函数，增函数，f （msin）+f（1m）0 恒成立，即 f（msin） f（m 1） ，msin m1，当 0 时，sin0，1， ，解得 m1，故实数 m 的取值范围是（ ，1，故答案为：（，120解：（1）f（x）的定义域为（ 0，+ ） ，f（x）= ，当 p1 时，f （x）0，故 f（ x）在（0，+
22、 ）上单调递增；当 p0 时，f （x）0，故 f（ x）在（0，+ ）上单调递减；当 0p1 时，令 f（x）=0 ，解得 x= 则当 x 时，f（x）0；x 时，f（x）0，故 f（x）在（0， ）上单调递增，在 上单调递减；（2）x0，当 p=1 时，f （x） kx 恒成立 1+lnxkxk ，令 h（x）= ，则 kh（x） max，h（x）= =0，得 x=1，且当 x（0，1） ，h（x）0 ；当 x（1，+） ，h（x）0；所以 h（x）在 0，1）上递增，在（1，+）上递减，所以 h（x） max=h（1）=1，故 k1（3）由（2）知，当 k=1 时，有 f（x） x，当
23、x1 时，f （x）x，即 lnxx1，令 x= ，则 ，即 ，ln2ln11， ，相加得 1n（n+1）1+ + 21 解：在区间（0，+）上， （1）当 a=2 时，切线的斜率 k= ，又 f（1）=ln1 21=2，由点斜式得切线方程为 y（ 2）= （x1） ，即 x+y+1=0 （2）方法一：2010-2014 菁优网（i）当 a0 时，f（x） 0，则 f（x）在（1，e 2）上单调递增，此时 f（1）= a0，f（x）在 x（1，e 2）没有零点； （ii）当 a0 时，令 f（x）=0，得 时，则当 x（1，e 2） ，有 f（x）0，从而 f（x）在（1，e 2）单调递增，此
24、时 f（1）= a0，f（e 2）=lne 2ae2=2ae20，f （x）在 x（1，e 2）有且只有一个零点 当 即 时，则当 ，f（x）在 单调递增；当 ，f（x）在 单调递减 而 ，f（ 1）= a0，f（e 2）=2ae 2 0，f（ x）在 x（1，e 2）有且只有一个零点 综上，当 a0 时，f（x）在 x（1，e 2）没有零点；当 时，函数 f（x）有且只有一个零点方法二：由 f（x）=0，得 ，函数 f（x）在 x（1，e 2）的零点个数等价于函数 y=a 的图象与函数 的图象的交点个数，令 g（x）= ，则 ，由 g（x）=0，得 x=e，在区间（1，e）上，g（x）0，则函数 g（x）是增函数，g（ 1） g（x）g（e） ，即 ；在区间（e，e 2）上，g（x）0，则函数 g（x）是减函数，g（ e2）g（x）g（e ） ，即 ， 当 a0 时，f（x）在 x（1，e 2）没有零点；当 时，函数 f（x）有且只有一个零点（3）原不等式 lnx1+lnx22 不妨设 x1x 20，f（x 1） =0，f（x 2）=0， lnx1ax1=0，lnx 2ax2=0，lnx1+lnx2=a（ x1+x2） ，lnx 1lnx2=a（x 1x2） ，a（x 1+x2）2
