1、#*高三数学试卷讲评课的研究北京市十一学校 刘军红【内容摘要】高三复习中的每一次考试都是对复习教学的反馈，教师要对高三试卷讲评课进行研究，把握好每一次试卷讲评的机会，实现真正的反馈。通过试卷讲评，教师要让学生了解每份试题的考查重点、命题意图和整体答题情况，有针对性地帮助学生找到自己的优势与劣势。通过试卷讲评课的设计，让学生参与到课堂教学中，发挥学生的潜能，使学生在深思中得到感悟，在探索中寻求发展，在发现中体验喜悦，在挫折中砺练意志，在成功中树立信心，从而完善学科知识体系和思维系统，提高分析问题和解决问题的能力。【关键词】 试题分析 试卷讲评 教学反馈 反思感悟在高三复习过程中，课堂教学有一半时
2、间将用于讲评试卷。试卷讲评课该怎么上，是按题号顺序一道题接一道题地讲，还是简单地打乱顺序讲，抑或用其他方法讲？提高试卷讲评的实效性是高三数学教师要研究的重要课题。本人在近两年高三教数学学实践中作了初步探究，现以 09 年北京市海淀区一模试卷为例交流想法，仅供参考。一、详细做好试卷的统计与分析高三试卷讲评课同样要把握好备课、上课、作业反馈等环节。备课应从三个方面入手：一是教师要独立完成试卷，认真分析试卷的内容、答案和命题者的意图，统计考点、知识点的分布；二是教师必须在认真批改试卷的基础上，记录好学生答题情况；如：哪些知识点掌握得较好，哪些掌握得较差或是一般？哪些能力已经形成，哪些能力离高考要求距
3、离较远？三是教师要将自己所教班级学生的成绩统计好，把每个学生的答题情况、得分情况在统计表中显示出来。我将 09 年北京海淀一模数学试卷分析后，在试卷讲评课上对试卷的难度作出评价，并将统计好的学生得分情况告诉学生，使学生知道自己在这次考试中所处的“地位” ，以利于他们对这次考试进行总结。展示给学生的内容如下：1一模数学试卷题型题量、考查内容：本次模拟试卷延用北京高考试卷 3 种题型“8+6+6”的题数结构，试卷结构稳定，沉稳中凸显活力；同时以基本知识、基本方法为命题的出发点，基本覆盖了所有内容，注重主干知识的考查，对重点内容常考常新，一模数学试卷知识对应章节、题号、分值分布统计见表 1。表 1
4、选择题 填空题 解答题章次 知识题号 分值 题号 分值 题号 分值 总分值占全卷比值（%）一 集合与简易逻辑 6 5 5 3.3二 函数 2 5 14 5 10 6.7三 数列 8 5 12 5 20 13 23 15.3四 三角函数 1 5 15 13 18 12五 平面向量 3 5 5 3.3六 不等式 5，7 10 10 6.7七 直线和圆的方程八 圆锥曲线方程 13 5 19 14 19 12.7九 直线、平面、简单几何体4 5 11 5 17 14 24 16十 排列、组合和二项式定理10 5 3.3#*十一 概率十二 概率与统计 18 13 13 8.7十三 极限与导数 16 13
5、 13 8.7十四 复数 9 5 5 3.32一模数学试卷学生整体答题的情况：所教班级共 91 人，平均分 117.91，一模数学试卷题号、考查内容、平均分、难度值统计见表 2、表 3.表 2 卷各题答题情况统计表题号 考查内容 平均分 难度值1 三角函数定义，角的概念推广，二倍角 4.62 0.9242 指数函数的反函数的图像， 4.56 0.9123 向量的夹角（向量的数量积、坐标运算） 4.95 0.9904 直线与平面平行、垂直，两平面平行、垂直 5.00 1.0005 不等式（不等式性质、均值定理、绝对值不等式、等差数列） 4.78 0.9566 充要条件（两直线平行条件） 3.02
6、 0.6047 不等式（双曲线的几何性质、绝对值不等式） 4.00 0.8008 数列、不等式性质 4.09 0.818表 3 卷各题答题情况统计表题号 考查内容 平均分 难度值9 复数运算；复数概念 5.00 1.00010 二项式定理，分数指数幂运算性质 4.84 0.968异面直线所成的角 2.57 0.85711球的表面积 1.82 0.91012 数列（求 Sn） 4.56 0.91213 圆的标准方程、抛物线标准方程、求切线夹角 3.19 0.638区间上根的个数 2.41 0.80314函数的性质（周期函数、函数的单调性、函数的最值） 0.20 0.10015 解三角形（正弦、余
7、弦定理；两角和公式；同角三角关系） 11.42 0.87816 导数应用（基本导数公式、函数单调性、导数几何意义） 12.07 0.92817 立体几何（直线和平面垂直、线面所成的角、函数的最值） 11.57 0.82618 概率、分布列（排列组合、等可能事件的概率、随机变量） 10.36 0.79719 解析几何（椭圆的标准方程、证定值、求定点存在性问题） 7.63 0.54520 数列、不等式综合问题 5.45 0.4193一模数学试卷统计得出的分析结果：从表 2 可以看出，本份试题选择题难度不大，学生得分情况较好，只有第 6 题有一定难度。第 6 题中 25.27%的学生错选了 A 选项
8、，分析错误原因，是学生在思维上存在着不严密性和不全面性，没有注意到两直线重合的情况，即：当 时，两直线重合。1,4ab从表 3 可以看出 914 填空题中 13 题和 14 题的第二个空的得分率不高，第 13 题突出考查用代数方法解决几何问题的基本方法的运用，36.26% 的学生答错，其中部分学生转化问题的能力不够，不能把所求问题转化为求抛物线上的点与圆心 两点距离的最小值后再求切线的夹角；另外一部分学生知道思(3,0)路但计算出错。14 题不仅考查学生对高中数学知识掌握情况，而且考查他们在运用知识和方法的过程中#*所表现的数学能力和一般心理能力。考查学生在学习新知识的过程中所形成的探索、研究
9、问题的方法和能力，关注学生学习的潜能及应变能力。对于第一个空学生答题情况良好，第二个空得分率极低，只有9.89%的学生答对，答错的学生中部分学生对函数的几个性质认识不到位，混淆不清，错选或多选；另外部分学生综合能力不够，不知从何入手解决，随便选几个或放弃解答。表 3 中 1520 题为解答题，1518 题得分率较高，说明经过二轮的复习与强化训练，大部分学生对三角函数、导数应用、立体几何、概率分布列等题型的解题方法掌握得比较到位，效果很好。19 题和 20题要求有一定的综合能力，注重能力的考查，部分学生能力欠缺或因时间不够做不到，造成得分率偏低。一是基础不够扎实，对图形与方程比较盲然，其表现形式
10、为不会审视问题实质，思路决策有误；二是运算技能不过关，下笔没几步就出错。加之高考常将解析几何解答题放在后三题，更增加了学生的畏难情绪。二、认真做好试卷讲评课的设计在做好试卷统计分析的基础上，要精心设计试卷的讲评，明确该讲什么？该如何讲？由于试卷讲评课是复习课的一种类型，特别是近几年的高考试题已不再追求注重知识点的覆盖率，而是主要注重思想和方法的覆盖率。因此，教师就更应该在试卷讲评课上将要讲的试题按照大众化的思想方法、模型化的知识题型、规范化的解题过程等去归类讲解，并在此基础上讲清试题的来龙去脉、讲清试题的推广与引申，以达到在试卷讲评的同时复习知识和方法的目的。基于这点我将 09 年北京海淀一模
11、数学试卷讲评课做出如下设计：教师活动 学生活动 设计目的讲清一模试题的考点及得分情况，要求学生拿到试卷后进行自我分析，分析自己做错的原因，反思自己的知识漏点、盲点和落实不到位的地方，并填写失分原因调查表（见表 4） 。认真倾听，弄清楚试题考查的知识点后，对自己考试情况进行分析、反思。帮助学生总结一、二轮复习后的学习情况，发现知识漏点，分析成功与失败的原因。课后阅读学生填写的失分原因调查表表，进一步弄清学生答题时的心理状态和对学科知识掌握的情况，使得在对不同学生的个性化辅导时更有针对性。组织学生分组进行试卷分析，巡视发现各组学生的主要问题，每组选出学生代表发言。学生代表讲解第 6 题和第13 题
12、、第 19 题的解题思路，并做相关题目的练习。其他学生认真倾听、思考，并提出自己的想法法，并从中学会规范表达，同时进行相关题目的练习。其一利用同伴效应，让学生参与到讲评中来，展现学生的思维过程，调动学生课堂参与的积极性,充分发挥学生的主体作用。其二教给学生反思的方法，总结解决问题的思路、方法和技巧，力求复习的时效性。课后针对学生的失分调查问卷，对每个学生情况进行个性化辅导。学生进一步反思、总结一模考试情况，将错题改在错题本上，对课堂上没有讲评到的或者自己不明白的地方及时找老师答疑。帮助学生学会自我评价、自我改进，明确今后努力的方向，重在落实。表 4：学生失分调查表选择题 填空题 15 16 1
13、7 18 19 20 总分班平均分#*我的得分主要失分原因 标注题号及失分 合计1知识漏洞、盲点2不良习惯（审题、计算、书写等方面）3综合能力方面在哪些方面还希望得到老师的帮助（可以具体到某章某节）下面以 19 题第（）问的讲评为例，具体说明试卷讲评课上如何帮助学生学会分析问题、解决问题。从前面试卷的统计与分析中已经提到了，19 题主要考查椭圆中的基本量关系，求椭圆方程；考查向量的综合应用；考查解析几何的基本思想方法及推理运算能力。由于综合能力要求较高，部分学生能力欠缺或因时间做不到，造成得分率偏低。因此在试卷讲评时主要是帮助学生解决如何寻求突破口，如何准确进行代数转化，熟练进行运算等问题。（
14、海淀一模第 19 题）已知椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 、 ，短轴两个端点为21xyab0a1F2、 ，且四边形 是边长为 2 的正方形. AB12FAB（）求椭圆的方程； （）若 、 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 满足 ，连结 ，交椭圆于点 ，CDMDCMP证明： 为定值.OMP（）分析如下：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，从代数推理的角度去思考，因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目0(,)Pxy的。由（） ，又 ，故点 易求，这样解题的关键就是要求出点 的坐标。(2,0)(,CDMCDP由于点 的变化是由直线 与椭圆
15、相交的变化引起的，自然可选择直线 的斜率 作为参数，0,Pxy CMk将直线 的方程代入椭圆 的方程，利用韦达定理即可求出点 坐标，进而通过向M214xy0(,)Pxy量坐标运算得到 是否为定值。OP通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到了心中有数。由此出发，可设计如下解题思路：把直线 lCM 的方程 y = k(x+2)代入椭圆方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程x0= f（k） ，y 0 = g（k ）利用韦达定理OM OP得到所求量关于 k 的式子，约分后得解#*简解如下：由（）知： .(2,0)(,CD由题意可设 ： ， . Mykx0)
16、Py，D(,4)由 ，整理得: . 214()xyk22()840kxk， 2081x. 204k012()yx. 224,kP. 2224(1)41kkOMk即 为定值.P当然也可以通过以下思路解决问题：思路 1：设 ，以 为参写出直线 的方程，求出点 的坐标，再求(2,)mCMPOMP思路 2：设 ，利用 三点共线和点在椭圆上的条件，运用设而不求消元的思想求解0xy,P思路 3：运用椭圆参数方程，设出点 的坐标，再求 O通过对此题的分析、讲解，要使学生领会：（1）在审题过程中学会思考如下问题：弄清问题的已知条件和未知条件；注意题目的隐含条件；弄清已知条件之间的相互关系以及已知条件与所求目标
17、之间的相互联系；思考所求解的题目与以前曾经做过的哪个题目相类似，需要用到什么方法等等。（2）通过本题，掌握解决解析几何中定值问题的一般求解方法：本题融椭圆方程、解析几何基本思想方法及向量运算为一体，考查运用所学知识与方法综合分析解决问题的能力。而定值问题往往出现在以解析几何为背景的题目中，体现了动与静的完美统一，解决方法灵活（也有一定规律） ，突出解析几何的基本思想如下：#*（3）通过本题，掌握解析几何问题答题的技巧，寻求得高分的策略。三、试卷讲评课需要注意的问题1试卷讲评时要让学生自己先思考、领悟，师生互动效果会比教师通讲更好要求学生通过试卷讲评做到：第一步：不借助于书本或他人，自我独立改错
18、。第二步：回归课本，借助教科书、笔记和同学的帮助等进行改错。 这步是为了强化基础，改变“高考就是天，课本也靠边”的想法，强调“题在书外，理在书中，源于课本，高于课本”。第三步：在重点知识跟踪卡上记录错点，反思错误原因。让学生把考纲中的重点知识列成表制成重点知识跟踪卡，在每次测试后把自己出错的试题对应的重点知识作统计，以便了解自己在各重点知识点的现状、优劣；反思自己在这一段时间的学习中，按照高考的要求存在哪些问题。要求学生从“概念、运算、规范、方法”等方面去总结失分原因，反思：错误产生的原因是什么？这种错误的产生说明了什么？是哪里出了问题？这个题用到了哪些知识与思想方法？怎么会想到这样去解？当时
19、思维是如何受阻的？对目前的解法感到满意吗？还能用不同的方式推导这个结果吗？以前曾经用类似的方法解过别的题目吗？要求学生查找能力的欠缺点，知识的漏洞，反思平时学习中出现问题的解决情况，自觉查漏补缺。2通过试卷讲评对学生加强应试心理的辅导针对学生在考试中出现的应试心理问题，在试卷讲评课中要对学生进行及时的纠正、疏通和辅导。学生面临考试，尤其是大考，有焦虑、急躁的情绪，比较脆弱，尤其是能力比较弱的学生。一旦受到前面不会题目的影响，或者遇上难题不能一下子做出来时，立刻就会心烦意乱，思维混乱，后面再简单的题要么放弃，要么就是静不下心来读题，更谈不上正确解题了。因此，在讲评课上要向学生渗透应试的心理，告诉
20、他们考场上要“慢做会的求全对，稳做中档题一分也不浪费，舍去全不会的” 。并且教会学生怎么去分析题，剥去题目新鲜的、陌生的外表，找出该题实质上是考什么知识点，应该用什么方法来解题。即：“材料在外，答案在内” 、 “陌生之中考查熟悉”、 “起点高，落点低” ， “答案就在课本里、答案就在你的知识网络里、答案就在你的头脑里”等等。3通过试卷讲评帮助学生真正理解知识点，深刻把握三基基本知识、基本方法、基本思想方法一直是数学考查的重点内容。试卷讲评课上应结合试题内容尽可能进行全面、深入的复习，帮助学生真正理解、深刻把握基本知识、基本方法、基本思想方法，教给学生分析、解决问题的方法。并通过变式拓展，如变换
21、题支或题干，尽可能融合较多的知识点，让学生从不同的角度明白各知识点之间的内在联系。4试卷讲评后一定要有新的作业反馈，抓好落实和个性化辅导课备得再充分，讲得再精彩，没有落实，一切都会成空话。试卷讲评课后，要检查学生错题的订正落实情况。由于这种讲评课不可能面面俱到，个别题目讲评后仍会有学生不会，适时有针对性的进行个性化辅导也是很有必要的。总之，高三数学试卷讲评课的上法有很多学问，作为教师要努力探求好的方法，精心准备，以学生为本，使学生通过试卷讲评课的学习，真正做到：退一步触发灵感，进一步认清本质，倒一倒别有洞天，串一串融会贯通，辩一辩迷途知返，议一议豁然开朗。在抓住典型、择其要点、精讲精析的同时，
22、延伸发散，创新思维，归纳技巧，从而提高试卷讲评的实效。20010.1#*参考文献：2009 年普通高等学校招生全国统一考试北京卷考试说明2009 年海淀区高三年级第二学期期中练习新课程标准指出：“评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学。” 南宋理学家朱熹有一首七绝诗观书有感：半亩方塘一鉴开，天光云影共徘徊。问渠哪得清如许？为有源头活水来。 活力 1、积累讲评原始资料，讲评前已了然于胸 活力 2、摒弃逐题讲解演练，有取有舍分类指导 活力 3、典型试题借题发挥，整合所学知识、方法 活力 4、展示教师思维过程，提高学生思维能力 活力 5、发挥学生主体地位，提高自主学习能力 活力 6、多媒体课堂巧辅助，选择最佳展示内容 活力 7、一评了之过于简单，纠错合卷强化矫正 试卷讲评的几个原则： 1、教师主导、学生主体的原则 #* 2、师生互动原则 3、教师赏识、激励原则 4、培养学生答题规范和答题技巧的原则 试卷讲评教学是综合因素互动的特殊教学现象，是学科教学的有机组成部分 。高效的试卷讲评、活力四射的课堂是我们数学教师必须要追求的目标。
