1、-_必修一第一章 集合与函数概念1.1 集合的含义与表示集合元素的三大特征：确定性、互异性、无序性。通常，集合用大写字母表示，集合元素用小写字母表示。如果 是集合 A 的元素，就说 属于集合 A，记作 。aaa如果 不是集合 A 的元素，就说 不属于集合 A，记作 。非负整数集（自然数集） N 整数集 N*或 N+整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R集合的两种表示方式：列举法，描述法。1.2 集合间的基本关系一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为 B 的子集。记作： 读作：A 含于 B(或 B 包含 A)。
2、()A或如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等。Venn 图法表示集合。空集的定义：不含任何元素的集合称为空集。空集的性质：空集是一切集合的子集。空集是任何非空集合的真子集。子集的定义：对于两个集合 A 与 B，若然任何属于 A 的元素也属于 B，我们就说 A是 B 的子集。真子集的定义：如果 A 是 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么集合A 叫做集合 B 的真子集。-_1.3 集合的基本运算交集、并集、全集、补集。一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集。记作：AB 。 读作：A 交 B。其含义用符号表示为：
3、 |,.xA且用 Venn 图表示如下：般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集。记作：AB. 读作：A 并 B.其含义用符号表示为： |,BxAB或用 Venn 图表示如下：补集：一般地，设 S 是一个集合，A 是 S 的一个真子集,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做子集 A 在 S 中的补集记作sA. 读作 A 在 S 中的补集。A BA B-_1.4 函数的概念（1）设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A
4、B 为从集合 A到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)， xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| xA 叫做函数的值域注意： “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“ y=g(x)”； 函数符号“ y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是 f 乘 x（2）构成函数的三要素：定义域、值域、对应关系。（3）区间的概念区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；无穷区间；区间的数轴表示（4）求函数定义域的方法：1）如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R
5、 .2）如果 f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .3）如果 f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.4）如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）-_5）满足实际问题有意义.1.5 函数的表示法函数的三种常用表示法：解析法、列表法、图像法解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域。列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值。图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变
6、化情况。注意：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。解析法：必须注明函数的定义域。图象法：是否连线。列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征。1.6 映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 ，使对于集合fA 中的任意一个元素 ，在集合 B 中都有唯一确定的元素 与之对应，那么就称对应 ：xyfAB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“ ：AB” 。f说明：（1）这两个集合有先后顺序，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的，其中表示具体的对应法则，可以用多种形式表述f（2） “都有唯一”什么意思？包含两层意思
7、：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思-_1.7 函数的单调性增函数：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2，当 x1x2 时，都有 f(x1)=)M；xI2）存在 ，使得 00()fM那么，称 M 是函数 的最大值。yx-_(2) 利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法。配方法 换元法 数形结合法1.9 函数的奇偶性偶函数的定义：一般地，对于函数 的定义域内的任意一个 ，都有()fxx，那么 就叫做偶函数。()fxf()fx奇函数的定义：一般地，对于函数 的定义域的任意一个 ，都有()fxx，那
8、么 就叫做奇函数()(fxf()fx注意：1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质。2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 ，则 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称） 。x3）偶函数的图象关于 轴对称；奇函数的图象关于原点对称。y偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致。第 2 章 基本初等函数2.1 指数与指数幂的运算n 次方根：一般地，若 ，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n 1，且 n ,当nn 为偶数时， a 的 n 次方根中，正数用 表示，如果是负
9、数，用 表示， 叫做根n a式. n 为奇数时， a 的 n 次方根用符号 表示，其中 n 称为根指数，a 为被开方数。n为 奇 数 , 的 次 方 根 有 一 个 ,为为 正 数 :为 偶 数 的 次 方 根 有 两 个 为nanaa为 奇 数 , 的 次 方 根 只 有 一 个 ,为为 负 数 :为 偶 数 的 次 方 根 不 存 在 .-_零的 n 次方根为零，记为 0n正数的分数指数幂的意义为： *(0,)mnanN正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即： *1(,)mna规定：0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂
10、是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是11(0)nmmaa由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1） (0,)rsrsaQ（2） ()rSrs（3） (,)rrbbr一般来说，无理数指数幂 是一个确定的实数，有理数指0,)pa是 一 个 无 理 数数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的。整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则
11、运算顺序。2.2 指数函数及其性质指数函数的定义：一般地，函数 （ 0 且 1）叫做指数函数，其中 是自xyaax变量，函数的定义域为 R。-_从图上看 （ 1）与 （0 1）两函数图象的特征。 xyaxya8642-2-4-6-8-10 -5 5 10指数函数 （ 0 且 1） ，当 底 数 越 大 时 ， 函 数 图 象 间 有 什 么 样 的 关 系 .xyaa图象特征 函数性质1 0 1 1a0 1a向 轴正负方向无限延伸x 函数的定义域为 R图象关于原点和 轴不对称y非奇非偶函数函数图象都在 轴上方x函数的值域为 R+函数图象都过定点（0 ，1） =10a自左向右，图象逐渐上升自左向
12、右，图象逐渐下降增函数 减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于 1在第一象限内的图象纵坐标都小于 10 ， 1xxa0 ， 1xxa在第二象限内的图象纵坐标都小于 1在第二象限内的图象纵坐标都大于 10 ， 1xx0 ， 1xx利用函数的单调性，结合图象还可以看出：-_（1）在 （ 0 且 1）值域是,xabfa上 ()=a(),(),;fabfa或（2）若 0xf x 则 1;取 遍 所 有 正 数 当 且 仅 当 R;（3）对于指数函数 （ 0 且 1） ，总有()x(1)f（4）当 1 时，若 ，则 。a121()f2fx2.3 对数对数的定义：一般地，若 ，那么数 叫做以 a 为底 N
13、的对数，(0,1)xaNa且 x记作 ， 叫做对数的底数， N 叫做真数。logaxN在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制 0 ，且 1 （2 ）alogxaaNx指数式 对数式 幂底数 对数底数指 数 对数 幂 N真数x说明：对数式 可看作一记号，表示底为 （ 0 ，且 1） ，幂为 N 的指数logaNaa工表示方程 （ 0 ，且 1）的解。也可以看作一种运算，即已知底为x（ 0 ，且 1）幂为 N，求幂指数的运算. 因此，对数式 又可看幂运算的逆a loga运算。两类对数： 以 10 为底的对数称为常用对数， 常记为 .10logNl 以无理数 e=2.71828为底的对数称为自然对
14、数， 常记为 .以后解题ogelnN时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如 100 的对数等于 2，即.lg102-_2.4 对数及其性质1 的对数是零，负数和零没有对数对数的性质 0 且 1log1aalaN如果 0 且 1，M0，N0，那么：a（1） logllogaaa（2） （3） ll()naanR换底公式：0，且 1， 0，且 1， 0cebloglcab一般地，我们把函数 （ 0 且 1）叫做对数函数，其中 是自变量，函数layxax的定义域是（0，+ ） 。对数函数的性质：图象的特征 函数的性质（1）图象都在 轴的右边y（1）定义域是（0 ，+ ）（2）函数图象都经过（1 ，0 ）点 （2）1 的对数是 0（3）从左往右看，当 1 时，图象逐a渐上升，当 0 1 时，图象逐渐下降 .（3）当 1 时， 是增函数，当alogxay0 1 时， 是减函数.（4）当 1 时，函数图象在（1，0 ）a（4）当 1 时a
