1、#*高中数学必修 5_第二章数列复习知识点总结与练习（一）一数列的概念与简单表示法知识能否忆起1数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：数列：按照一定顺序排列的一列数数列的项：数列中的每一个数(2)数列的分类：分类标准 类型 满足条件有穷数列 项数有限项数无穷数列 项数无限递增数列 an1 an递减数列 an1 0，则 Sm最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.以题试法3(2012江西七校联考)数列 an的通项 an ，则数列 an中的最大值是( )nn2 90A3 B1910C. D.119 1060解析：选 C a n ，由基本不等式得， ，由于 nN *，易知当 n91n 90n
2、1n 90n 1290或 10 时，a n 最大119二等差数列及其前 n 项和知识能否忆起一、等差数列的有关概念1定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为 an1 a nd(n N*，d 为常数)2等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是 A ，其中 A 叫做 a，b 的a b2等差中项二、等差数列的有关公式1通项公式：a na 1(n1)d.#*2前 n 项和公式：S nna 1 d .nn 12 a1 ann2三、等差数列的性质1若 m，n，p，qN *，且 mnpq， an为等差数列，则 ama na pa
3、 q.2在等差数列a n中，a k，a 2k，a 3k，a 4k，仍为等差数列，公差为 kd.3若a n为等差数列，则 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n，仍为等差数列，公差为 n2d.4等差数列的增减性：d0 时为递增数列，且当 a10 时前 n 项和 Sn有最大值5等差数列a n的首项是 a1，公差为 d.若其前 n 项之和可以写成 SnAn 2Bn，则A ， Ba 1 ，当 d0 时它表示二次函数，数列a n的前 n 项和 SnAn 2Bn 是a n成d2 d2等差数列的充要条件1.与前 n 项和有关的三类问题(1)知三求二：已知 a1、d、n、a n、S n中的任意三个，即可求得其
4、余两个，这体现了方程思想(2)Sn n2 nAn 2Bnd2A.d2 (a1 d2)(3)利用二次函数的图象确定 Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值2设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为，a3d，ad，ad，a3d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元考点等差数列的判断与证明例 1 在数列a n中，a 13，a n2a n1 2 n3( n2，且 nN *)(1)求 a2，a 3 的值；(2)设 bn (n
5、N *)，证明：b n是等差数列an 32n自主解答 (1) a 13，a n2a n1 2 n3( n2，且 nN *)，a 22a 12 231，a 32a 22 3313.(2)证明：对于任意 nN *，#*b n1 b n (an1 2a n)3 (2n1 3) 31，an 1 32n 1 an 32n 12n 1 12n 1数列b n是首项为 0，公差为 1 的等差数列a1 32 3 32由题悟法1证明a n为等差数列的方法：(1)用定义证明：a na n1 d( d 为常数，n2)a n为等差数列；(2)用等差中项证明：2a n1 a na n2 an为等差数列；(3)通项法：a
6、n为 n 的一次函数 an为等差数列；(4)前 n 项和法：S nAn 2Bn 或 Sn .na1 an22用定义证明等差数列时，常采用的两个式子 an1 a nd 和 ana n1 d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2” ，否则 n1 时，a 0 无定义以题试法1已知数列a n的前 n 项和 Sn是 n 的二次函数，且 a1 2，a 22，S 36.(1)求 Sn；(2)证明：数列a n是等差数列解：(1)设 SnAn 2BnC(A0)，则Error!解得 A2，B 4，C0.故 Sn2n 24n.(2)证明：当 n1 时，a 1S 12.当 n2 时，a nS nS n1 2n 24n
7、2(n1) 24(n1)4n6.a n4n6(nN *)a n1 a n4，数列a n是等差数列.等差数列的基本运算典题导入例 2 (2012重庆高考 )已知a n为等差数列，且 a1a 3 8，a 2a 412.(1)求a n的通项公式；(2)记a n的前 n 项和为 Sn，若 a1，a k，S k2 成等比数列，求正整数 k 的值自主解答 (1) 设数列a n的公差为 d，由题意知Error!解得Error!所以 ana 1(n1)d22(n1) 2n.#*(2)由(1)可得 Sn n(n1) na1 an2 n2 2n2因为 a1，a k，S k2 成等比数列，所以 a a 1Sk2 .
8、2k从而(2k )22(k 2)(k 3)，即 k25k60，解得 k6 或 k1(舍去)，因此 k6.由题悟法1等差数列的通项公式 ana 1(n1) d 及前 n 项和公式 Sn na 1na1 an2d，共涉及五个量 a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思nn 12想2数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法以题试法2(1)在等差数列中，已知 a610，S 55，则 S8_.(2)设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 1，则公差为_S412 S39解析：(1)a
9、 610，S 55，Error!解方程组得Error!则 S88a 128d8(5)28344.(2)依题意得 S44a 1 d4a 16d，S 33a 1 d3a 13d，于是有432 322 1，由此解得 d6，即公差为 6.4a1 6d12 3a1 3d9答案：(1)44 (2)6等差数列的性质典题导入例 3 (1)等差数列 an中，若 a1a 4a 739，a 3a 6a 927，则前 9 项和 S9 等于( )A66 B99C144 D297(2)(2012天津模拟)设等差数列a n的前 n 项和 Sn，若 S48，S 820，则a11a 12a 13a 14( )A18 B17#*
10、C16 D15自主解答 (1) 由等差数列的性质及 a1a 4a 739，可得 3a439，所以 a413.同理，由 a3a 6a 927，可得 a69.所以 S9 99.9a1 a92 9a4 a62(2)设a n的公差为 d，则 a5a 6a 7a 8S 8S 412，( a5a 6a 7a 8)S 416d，解得 d ，a 11a 12a 13a 14S 440d18.14答案 (1)B (2)A由题悟法1等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前 n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题2应用等差数列的性质解答问题的关
11、键是寻找项的序号之间的关系以题试法3(1)(2012江西高考)设数列a n，b n都是等差数列，若 a1b 17，a 3b 321，则a5b 5_.(2)(2012海淀期末)若数列a n满足：a 119，a n1 a n3(nN *)，则数列 an的前 n项和数值最大时，n 的值为( )A6 B7C8 D9解析：(1)设两等差数列组成的和数列为 cn，由题意知新数列仍为等差数列且c17，c 321，则 c52c 3c 1221735.(2)a n1 a n3，数列 an是以 19 为首项，3 为公差的等差数列，a n19(n1)( 3)22 3n.设前 k 项和最大，则有 Error!即Err
12、or!解得 k .k N *，k7.故满足条件的 n 的值为 7.193 223答案：(1)35 (2)B三等比数列及其前 n 项和知识能否忆起1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零) ，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的表#*达式为 q(nN *，q 为非零常数)an 1an(2)等比中项：如果 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项即： G 是 a 与 b 的等比中项a，G，b 成等比数列G 2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：a na 1qn1
13、 .(2)前 n 项和公式：S nError!3等比数列a n的常用性质(1)在等比数列a n中，若 mnpq2r(m ，n，p，q， rN *)，则 amana paqa .2r特别地，a 1ana 2an1 a 3an2 .(2)在公比为 q 的等比数列a n中，数列 am，a mk ，a m2k ，a m3k ，仍是等比数列，公比为 qk；数列 Sm，S 2mS m，S 3mS 2m，仍是等比数列( 此时 q1)；ana mqnm .1.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比 q 也是非零常数(2)由 an1 qa n，q0 并不能立即断言 an为等比数
14、列，还要验证 a10.2等比数列的前 n 项和 Sn(1)等比数列的前 n 项和 Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用(2)在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q1 与 q1 分类讨论，防止因忽略 q1 这一特殊情形导致解题失误考点等比数列的判定与证明典题导入例 1 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 anS nn.(1)设 cna n1，求证：c n是等比数列；(2)求数列a n的通项公式自主解答 (1) 证明：a n Snn，a n1 S n1 n1.得 an1 a na n1 1，2a n1 a n1，2(a n1 1)a n1，#* .an 1
15、 1an 1 12首项 c1a 11，又 a1a 11，a 1 ，c 1 .12 12又 cna n1，故 cn是以 为首项， 为公比的等比数列12 12(2)由(1)可知 cn n1 n，( 12)(12) (12)a nc n11 n.(12)在本例条件下，若数列b n满足 b1a 1，b na na n1 (n2)，证明b n是等比数列证明：由(2)知 an1 n，(12)当 n2 时，b na na n11 n(12) 1 (12)n 1 n1 n n.(12) (12) (12)又 b1a 1 也符合上式，b n n.12 (12) ，数列b n是等比数列bn 1bn 12由题悟法等比数列的判定方法(1)定义法：若 q(q 为非零常数， nN *)或 q( q 为非零常数且an 1an anan 1n2，nN *)，则a n是等比数列(2)等比中项法：若数列a n中，a n0 且 a a nan2 (nN *)，则数列a n是等比数2n 1列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 ancq n(c，q 均是不为 0 的常数，nN *)，则an是等比数列以题试法1 (2012沈阳模拟)已知函数 f(x)log ax，且所有项为正数的无穷数列a n满足
