1、1MAOP任意角的三角函数教学设计福建师大附中 张春晓一、教学内容解析三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在其它学科领域也有着广泛的应用.任意角的三角函数是函数的下位概念，它建立在数学 1中函数概念的基础上，是对锐角三角函数概念的扩张.引入锐角三角函数的概念，目的是为了研究三角形中的边角关系，定义侧重于从几何的角度，在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系.而引入任意角三角函数的概念，是为了研究周期变化现象，定义侧重于从代数的角度，以单位圆为工具，得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下，是数集到数集的映射.本节课是在学习完“任意角和弧度制”后的第一节新授课，
2、教材中对任意角的三角函数的定义有两种单位圆定义法和终边定义法.从研究任意角的三角函数作用看，单位圆定义法显得更为简单直观，为后续研究三角函数性质埋下伏笔；从数学史发展看，单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用.因此，本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发，以数学实际应用为线索，完成任意角的三角函数的建构过程.二、教学目标知识与技能：理解任意角三角函数的定义，树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.过程与方法：经历单位圆定义法，培养合情猜测的能力，体会函数模型的作用.情感、态度与价值观：通过学生积极参与知识“发现”与“形成”的过程，加深对数学概念本质的理解，
3、感悟数学概念的严谨性与科学性.重点: 任意角三角函数的定义.难点：任意角三角函数概念的建构过程.三、教学流程1复习通过对任意角的概念的学习，你认为它与初中角的概念有什么区别？设计意图 对任意角概念的理解是学习本节课的基础.2创设情境、引出主题问题：已知摩天轮的中心离地面的高度为 ,它的直径为 ，逆时针方向做匀速转动，转动一周需要0h2r360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置点 出发，求相对于地面的高度 与时间 的函数关系式. Aht师：让我们一起分析一下，在整个运动过程中，高度 是怎样变化的?师生：开始高度 先渐渐增高至最高点，再渐渐降低至最低点，再渐渐升高，h最后回到初始位置；第二周，第三
4、周，周而复始，呈现周期现象.设计意图 以解决实际问题为背景，引入任意角三角函数概念，突出研究问题的“周期性”特点.师：我们该用怎样的函数模型来刻画这种运动呢？让我们先从特殊情形入手.例如，过了 20s 后，人距离地面的高度是多少？生： .00sin2hr2师：你能对这个式子做一解释吗？生： 表示水平位置 距离地面的高度， 表示 距离水平位置 的高度，即 .0hOA0sin2rPOA0|MPh师：如果过了 s 呢？对上面式子做怎样修改？4师生：将 换成 ，即： .一般地，过了 秒呢？猜想: 020 00i4ht0sinrt师：这样猜想合情，但合理吗？随着摩天轮的转动， 从最初的锐角被推广到了任意
5、角.对任意角A，该如何定义呢？这就是这节课我们要学习的内容，任意角的三角函数.sin设计意图 为引出任意角的三角函数做准备，按照从特殊到一般地策略来探究，让学生感受到接下来学习新知识的必要性.3概念生成师：当 在水平但位置 上方时， ；当 在水平位置 下方时， ，即：POA0|MPhOA0-|MPh0|Mh与 相比较，要想两者和谐统一，必须有： ，即： .sinrt sin|Prtsinrt师生小结：当点 在圆周上运动时， 随之变化，任一个 ，对应着唯一点 ，进而有唯一PPAAP，得到： .|irt师：不过这样表述 时，还是不够简洁, 何时取正值，何时取负值？能否用一个量去代替 ，| MM使上
6、述表示形式更简单？它的绝对值与 的长度相等，符号在 上方表示正的， 下方表示负的.POAOA生:引入直角坐标系，用点 的纵坐标 来替代 或 .y|-|P设计意图 让学生感受到任意角三角函数定义中，坐标系的引入是自然的，有必要的.师：接下来，我们把角 放在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为 做圆，与角 的终边交于点r，P假设点 坐标为 ，利用我们刚才对上述问题的分析，这里， .(,)xy sin=y师：当 是锐角时，此规定与初中规定是否吻合？生：吻合，利用初中对锐角三角函数定义， ， 即 ， 即 .|MPsin=O|y|Pr师：三角函数只有这一个吗？生：还有余弦，正切.师：你能仿照正弦给出它
7、们的类似定义吗？3yx|OP=rtan=ycosriy(x,y)生： ，cosxrtanyx师：从高中函数定义来看，他们是真正意义上的函数吗？生：是的，任意给定角 ，其终边唯一确定，终边与圆的交点 就唯一确定，比值随之唯一确定.P师：比值会随着点 在终边上的变化而变化吗？P生：不会，由相似三角形知识，比值是唯一确定的.师：很好，任意给定 唯一确定比值.那如果 是任意角呢，我们不妨假设此时 终边落在第二象限，终边与圆的交点仍然是 ，坐标为 ，(,显然，我们已经不能把 放在一个锐角三角形内，但是我们同样可以发现，当 给定后，终边唯一确定，其与圆的交点 唯一确定，仍然符合函数的定义.P师：这种比值形
8、式能进一步简化吗？生：另 ，则 ， ，=1rsinycosxtanyx师：此时点 具有什么特点？生：点 即是角终边与单位圆的交点.P师：它们是函数吗？生：是的，当 给定时，点 即定，函数值唯一确定.P师：既然是函数，则有三要素，它们的定义域是什么？生： ， 的定义域均为 ， 的定义域是sinycosyRtany|k+,Z2师：很好，我们就把上面这三个函数称为任意角的三角函数.其实，我们可以发现，任意角的三角函数是以角作为自变量，以坐标或者坐标的比值为函数值的函数，即从角的集合到实数集的一种对应关系.设计意图 这里采用概念同化的学习方式，让学生理解定义的合理性，理解概念的背景和生成过程.4概念运
9、用例 1.（口算）求下列三角函数值：(1) ; (2) ; (3) .0sin27cos33tan()4变式：若已知 ,你能写出 的一个角吗？1例 2.角 的终边经过点 ，求它的三角函数值.()2P设计意图 让学生熟悉定义，从中概括出用定义解题的步骤.例 3.设 且 ,确定 是第几象限的角.sin0ta设计意图 通过定义的应用，让学生了解三种定义域及函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一4yxMPTBAOAS步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想.例 4.不求值，判断下列三角函数值的符号.(1) ; (2) ; (3) .0sin(16)16cos()50tan56设计意图 引出公式一
10、， ， ，突出in2ikcos(2)cosktan(2)tank函数周期变化的特点，以及数形结合的思想.5探究发现在如图所示的单位圆中，角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边为 ，则有向线段xOP分别称为角 的正弦线，余弦线，正切线，余切线，正割线和余割线.图中的,MPOATBS正弦线 ，余弦线 均为圆 上的弦的一段.如 是圆 的弦上 的一段， 是圆 的弦OMPO M上的一段.图中正切线 ,余切线 均为圆 上的切线段.图中正割线 ,余割线 均为圆 上的割ATBSTS线段.你能否据此给出三角函数名称的一种几何解释，并说明理由？设计意图 针对学生素质差异，设计有层次的思考题，留给学生课后自主探究，也为即将介绍“三角函数线”埋下伏笔.6小结反思通过本节课的学习，谈谈你对三角函数有哪些新的认识？在认知过程中有哪些体会？设计意图 让学生回顾所学内容，体会任意角三角函数是刻画圆周运动的重要数学模型，它实质上就是以角为自变量，以角的终边与单位圆交点坐标或坐标比为函数值的函数.体会数形结合、化归等思想方法的应用.
