1、中考数学专题讲座 代数、三角、几何综合问题概述：代数、三角与几何综合题是较复杂与难度较大的问题，其中包括方程、函数、三角与几何等，内容基本上包含所有的初中数学知识，必须把以前的函数观念、方程思想、数形结合思想、转化与化归思想进行综合来解题典型例题精析例 1有一根直尺的短边长 2cm，长边长 10cm，还有一块锐角为 45的直角三角形纸板，它的斜边长 12cm，如图 1，将直尺的矩边 DE 放置与直角三角形纸板的斜边 AB 重合，且点 D与点 A 重合，将直尺沿 AB 方向平移如图 2，设平移的长度为 xcm（0x10），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为 Scm2（1）当 x=
2、0 时（如图），S=_；当 x=10 时，S=_；（2）当 01 时，y 随x 的增大而减小（1）求 k 的值及抛物线的解析式；（2）设抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左边），抛物线的顶点为 P，试求出A、B、P 三点的坐标，并在直角坐标系中画出这条抛物线；（3）求经过 P、A、B 三点的圆的圆心 O的坐标；（4）设点 G（0，m）是 y 轴上的动点当点 G 运动到何处时，直线 BG 是O的切线？并求出此时直线 BG 的解析式若直线 BG 与O 相交，且另一个交点为 D，当 m 满足什么条件时，点 D 在 x 轴的下方？2如图，已知圆心 A（0，3），A 与 x 轴相切，B
3、的圆心在 x 轴的正半轴上，且B与A 外切于点 P，两圆的公切线 MP 交 y 轴于点 M，交 x 轴于点 N（1）若 sinOAB= ，求直线 MP 的解析式及经过 M、N、B 三点的抛物线的解析式；45（2）若A 的位置大小不变，B 的圆心在 x 轴的正半轴上移动，并使B 与A 始终外切，过 M 作B 的切线 MC，切点为 C，在此变化过程中探究：四边形 OMCB 是什么四边形，对你的结论加以证明；经过 M、N、B 三点的抛物线内是否存在以 BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，说明理由yM CBAxPO N3如图，已知直线 L 与O 相交于点 A，直径 AB=6，点 P 在
4、L上移动，连结 OP 交O 于点C，连结 BC 并延长 BC 交直线 L 于点 D（1）若 AP=4，求线段 PC 的长；（2）若PAO 与BAD 相似，求APO 的度数和四边形 OADC 的面积（答案要求保留根号）考前热身训练1如图，已知 A 为POQ 的边 OQ 上一点，以 A为顶点的MAN 的两边分别交射线 OP 于 M、N 两点，且MAN=POQ=（ 为锐角），当MAN 为以点 ALCBA D POMAQPO N为旋转中心，AM 边从与 AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（MAN 保持不变）时，M、N 两点在射线 OP上同时以不同的速度向右平行移动设 OM=x，ON=y（yx0），A
5、OM的面积为 S，若 cos、OA是方程 2z2-5z+2=0 的两个根（1）当MAN 旋转 30（即OAM=30）时，求点 N 移动的距离；（2）求证：AN 2=ONMN；（3）求 y 与 x 之间的函数关系式及自变量量 x 的取值范围；（4）试写出 S 随 x 变化的函数关系式，并确定 S 的取值范围2如图，已知 P、A、B 是 x 轴上的三点，点 A 的坐标为（-1，0），点 B 的坐标为（3，0），且 PA：AB=1：2，以 AB 为直径画M 交 y 轴的正半轴于点 C（1）求证：PC 是M 的切线；（2）在 x 轴上是否存在这样的点 Q，使得直线 QC 与过 A、C、B三点的抛物线只
6、有一个交点？若存在，求点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）画N，使得圆心 N 在 x 轴的负半轴上，N 与M 外切，且与直线 PC 相切于 D，问将过 A、C、B 三点的抛物线平移后，能否同时经过 P、D、A 三点？为什么？yMCBA xDP ON答案:中考样题看台1（1）k=1，抛物线解析式 y=-x2+2x+3（2）A（-1，0），B（3，0），C（1，4）（3）O过 A、B 两点，O在 AB 的垂直平分线上，即在抛物线的对称轴上，设抛物线的对称轴交 x 轴于 M，交O于 N，则有 MPMN=MAMB，4MN=22，MN=1，PN=5，OP= 2，4=90，2=APO，OB=OC，
7、2=31=2+3，2=22=2APO4=90，1+APO=903APO=90，APO=30在 RtBAD 中，2=APO=30AD=6sin30=6 =2 3过点 O 作 OEBC 于点 E2=30，BO=3，OE= ，BE=3cos30= ，3232BC=2BE=3 ，S 四边形 OADC=SBAD -SBOC = ABAD12= BCOE= 62 - 3 =6 - = 123394315考前热身训练1（1）易知 OA=2，cos= ，POQ=MAN=60，12初始状态时，AON 为等边三角形，ON=OA=2，当 AM 旋转到 AM时，点 N 移动到 N，OAM=30，POQ=MAN=60，
8、MNA=30，在 RtOAN 中，ON=2AO=4，NN=ON-ON=2，点 N 移动的距离为 2（2）易知OANAMN，AN 2=ONMN（3）MN=y-x，AN 2=y2-xy，过 A 点作 ADOP，垂足为 D，可得 OD=1，AD= ，3DN=ON-OD=y-1，在 RtAND 中，AN 2=AD2+DN2=y2-2y+4，y 2-xy=y2-2y+4，即 y= 4xy0，2-x0，即 x0，320S 2即 0S322（1）易知M 半径为 2，设 PA=x，则 x：4=1：2 x=2，由相交弦定理推论得 OC=OAOB=13，OC= ，PC 2=PO2+OC2=32+（ ） 2=12，33PM2=42=16，MC 2=22=4，PM 2=PC2+MC2，PCM=90（2）易知过 A、C、B 三点的抛物线的解析式为 y=- （x+1）（x-3），3假设满足条件的 Q 点存在，坐标为（m，0），直线 QC 的解析式为 y=- x+ ，3m直线 QC 与抛物线只有一个公共点，方程- （x+1）（x-3）=- x+ 有相等的实根，33（2+ ） 2=0，m=- ，即满足条件的 Q 点存在，坐标为（- ，0）；m32
