1、 二次函数与几何综合二次函数与几何综合是中考压轴题的考查重点，常考查函数解析式、交点坐标、图形面积或周长的最值、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等压轴题的综合性强，难度大，复习时应加强训练，它是突破高分瓶颈的关键 1、如图，已知抛物线 yax 2bxc(a0)的对称轴为直线 x1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与 x 轴交于点 B.(1)若直线 ymxn 经过 B、C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴 x1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出点 M 的坐标；(3)设点 P 为抛物线的对称轴 x1 上的一个动点，求
2、使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标2、如图，已知抛物线 yx 2bxc 与 x 轴交于 A(1，0)，B(3，0)两点，与 y 轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点 P、与直线 BC 相交于点 M，连接 PB.(1)求抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D，使得BCD 的面积最大？若存在，求出 D 点坐标及BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点 Q，使得QMB 与PMB 的面积相等？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由3、如图，二次函数 yax 2bxc 的图象的顶点 C 的坐标为(0，2)，交 x 轴
3、于 A、B 两点，其中 A(1，0)，直线 l：xm(m1)与 x 轴交于 D.(1)求二次函数的解析式和 B 的坐标；(2)在直线 l 上找点 P(P 在第一象限)，使得以 P、D、B 为顶点的三角形与以 B、C、O 为顶点的三角形相似，求点 P 的坐标(用含 m 的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点 Q，使BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由4、已知抛物线 yx 22xa(a0)与 y 轴相交于 A 点，顶点为 M，直线 y xa 分别12与x 轴、y 轴相交于 B、C 两点，并且与直线
4、 MA 相交于点 N 点(1)若直线 BC 和抛物线有两个不同交点，求 a 的取值范围，并用 a 表示交点 M、A 的坐标；(2)将NAC 沿着 y 轴翻折，若点 N 的对称点 P 恰好落在抛物线上，AP 与抛物线的对称轴相交于点 D，连接 CD，求 a 的值及PCD 的面积；(3)在抛物线 yx 22xa(a0)上是否存在点 P，使得以 P、A、C、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由5、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ly 轴于点 B(0，2)，A 为 OB 的中点，以 A为顶点的抛物线 yax 2c(a0)与 x 轴分别交于 C、D
5、两点，且 CD4，点 P 为抛物线上的一个动点，以 P 为圆心，PO 为半径画圆(1)求抛物线的解析式；(2)若P 与 y 轴的另一交点为 E，且 OE2，求点 P 的坐标；(3)判断直线 l 与P 的位置关系，并说明理由6、如图，抛物线 yax 2bxc(a0)的图象过点 M(2， )，顶点坐标为 N(1， )，34 33且与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 为抛物线对称轴上的动点，当PBC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标；(3)在直线 AC 上是否存在一点 Q，使QBM 的周长最小？若存在，求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由7、如
6、图，二次函数 yx 2bx3b3 的图象与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左边)，交 y 轴于点 C，且经过点(b2，2b 25b1)(1)求这条抛物线的解析式；(2)M 过 A，B，C 三点，交 y 轴于另一点 D，求点 M 的坐标；(3)连接 AM，DM，将AMD 绕点 M 顺时针旋转，两边 MA，MD 与 x 轴，y 轴分别交于点 E，F.若DMF 为等腰三角形，求点 E 的坐标8、如图 1，二次函数 yax 2bxc 的图象与 x 轴分别交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，若 tanABC3，一元二次方程 ax2bxc0 的两根为8，2.(1)求二次函数的解析式；
7、(2)直线 l 以 AB 为起始位置，绕点 A 顺时针旋转到 AC 位置停止，l 与线段 BC 交于点 D，P是 AD 的中点求点 P 的运动路程；如图 2，过点 D 作 DE 垂直 x 轴于点 E，作 DFAC 所在直线于点 F，连接 PE、PF，在 l 运动过程中，EPF 的大小是否改变？请说明理由；(3)在(2)的条件下，连接 EF，求PEF 周长的最小值9、已知抛物线 C1：y x2，平移抛物线 yx 2，使其顶点 D 落在抛物线 C1位于 y 轴12右侧的图象上，设平移后的抛物线为 C2，且 C2与 y 轴交于 C(0，2)(1)求抛物线 C2的解析式；(2)抛物线 C2与 x 轴交
8、于 A，B 两点(点 B 在点 A 的右方)求点 A、B 的坐标及过点 A、B、C的圆的圆心 E 的坐标；(3)在过点(0， )且平行于 x 轴的直线上是否存在点 F，使四边形 CEBF 为菱形，若存在，12求出点 F 的坐标，若不存在，请说明理由10、如图，已知直线 y3x3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线yax 2bxc经过点 A 和点 C，对称轴为直线 l：x1，该抛物线与 x 轴的另一个交点为 B.(1)求此抛物线的解析式；(2)点 P 在直线 l 上，求出使PAC 的周长最小的点 P 的坐标； (3)点 M 在此抛物线上，点 N 在 y 轴上，以 A、B、M、N
9、为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点 M 的坐标；若不能，请说明理由11、如图，已知抛物线 yax 2bxc(a0)与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B(3，0)，与 y轴正半轴交于点 C，且 OCOB.(1)求此抛物线的解析式；(2)若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积最大值，并求出此时点 E 的坐标；(3)点 P 在抛物线的对称轴上，若线段 PA 绕点 P 逆时针方向旋转 90后，点 A 的对应点A恰好也落在此抛物线上，求点 P 的坐标12、如图，已知抛物线 y (x2)(x4)(k 为常数，且 k0)与 x 轴从左至右
10、依次交于k8A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y xb 与抛物线的另一交点为 D.33(1)若点 D 的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；(2)若在第一象限内的抛物线上有点 P，使得以 A，B，P 为顶点的三角形与ABC 相似，求k的值；(3)在(1)的条件下，设 F 为线段 BD 上一点(不含端点)，连接 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？13、已知抛物线 yx 2bxc 与 x 轴交于点 A(m2，0)
11、和 B(2m1，0)(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴相交于点 C，顶点为 P，对称轴为 l：x1.(1)求抛物线解析式；(2)直线 ykx2(k0)与抛物线相交于两点 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)(x1x2)，当|x 1x 2|最小时，求抛物线与直线的交点 M 和 N 的坐标；(3)首尾顺次连接点 O，B，P，C 构成多边形的周长为 L.若线段 OB 在 x 轴上移动，求 L 最小时点 O，B 移动后的坐标及 L 的最小值14、如图，抛物线 yax 28ax12a(a0)与 x 轴交于 A、B 两点(A 在 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，点 D 的坐标为(6，0)，且
12、ACD90.(1)请直接写出 A、B 两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得PAC 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；(4)平行于 y 轴的直线 m 从点 D 出发沿 x 轴向右平行移动，到点 A 停止设直线 m 与折线DCA的交点为 G，与 x 轴的交点为 H(t，0)记ACD 在直线 m 左侧部分的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式及自变量 t 的取值范围15、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax 22ax3a(a0)与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，经过点 A 的
13、直线 l：ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD4AC.(1)直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式(其中 k、b 用含 a 的式子表示)(2)点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为 45，求 a 的值；(3)设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由参考答案1、 【思路点拨】 (1)利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；(2)利用抛物线的轴对称性，BC 与对称轴的交点即为 M，继而求出其坐标；(3)设 P
14、(1，t)，用含 t 的代数式表示 PB、PC.对直角顶点分三种情况讨论，利用勾股定理建立方程可求得 t 的值【解答】 (1)依题意，得解得 b2a 1，a b c 0，c 3， ) a 1，b 2，c 3. )抛物线解析式为 yx 22x3.对称轴为 x1，且抛物线经过 A(1，0)，B(3，0)把 B(3，0)、C(0，3)分别代入直线 ymxn，得解得 3m n 0，n 3， ) m 1，n 3.)直线 ymxn 的解析式为 yx3.(2)设直线 BC 与对称轴 x1 的交点为 M，则此时 MAMC 的值最小，把 x1 代入直线yx3，得 y2.M(1，2)，即当点 M 到点 A 的距离
15、与到点 C 的距离之和最小时，M 的坐标为(1，2)(3)设 P(1，t)，又 B(3，0)，C(0，3)，BC 218，PB 2(13) 2t 24t 2，PC 2(1) 2(t3) 2t 26t10.若点 B 为直角顶点，则 BC2PB 2PC 2，即 184t 2t 26t10，解得 t2；若点 C 为直角顶点，则 BC2PC 2PB 2，即 18t 26t104t 2，解得 t4；若点 P 为直角顶点，则 PB2PC 2BC 2，即 4t 2t 26t1018；解得 t1 ，t 2 .3 172 3 172综上所述，P 的坐标为(1，2)或(1，4)或(1， )或(1， )3 172
16、3 1722、 【思路点拨】 (1)把 A(1，0)、B(3，0)两点的坐标代入 yx 2bxc 即可求出 b和 c 的值，进而求出抛物线的解析式；(2)设 D(t，t 22t3)，作 DHx 轴，则 SBCD S 梯形 DCOHS BDH S BOC ，进而得到 S 关于 t 的二次函数，利用二次函数的性质，确定 D 点坐标与 SBCD 的最大值；(3)因为两三角形的底边 MB 相同，所以只需满足 MB 上的高相等即可满足题意【解答】 (1)由 解得 1 b c 0， 9 3b c 0， ) b 2，c 3.)抛物线解析式为：yx 22x3.(2)设 D(t，t 22t3)，作 DHx 轴令
17、 x0，则 y3，C(0，3)则 SBCD S 梯形 DCOHS BDH S BOC (t 22t33)t (3t)(t 22t3) 3312 12 12 t2 t.32 92 0，32当 t 时，即 D( ， )时，S BCD 有最大值，且最大面积为 .922（ 32） 32 32 154 278(3)P(1，4)，过点 P 且与 BC 平行的直线与抛物线的交点即为所求 Q 点之一，直线 BC 为 yx3，过点 P 且与 BC 平行的直线为 yx5.由 解得 Q1(2，3)；y x 5，y x2 2x 3， )直线 PM 为 x1，直线 BC 为 yx3，M(1，2)设 PM 与 x 轴交于 E 点，PMEM2，过点 E 且与 BC 平行的直线为 yx1.从而过点 E 且与 BC 平行的直线与抛物线的交点也为所求 Q 点之一
