1、中考相似三角形经典综合题解析1、 （2013 哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点 0 为坐标原点，A 点的坐标为(3，0)，以 0A 为边作等边三角形 OAB，点 B 在第一象限，过点 B 作 AB 的垂线交 x 轴于点 C动点 P 从 0 点出发沿 0C 向 C 点运动，动点 Q 从 B 点出发沿 BA向 A 点运动，P,Q 两点同时出发，速度均为 1 个单位秒。设运动时间为 t秒(1)求线段 BC 的长；(2)连接 PQ 交线段 OB 于点 E，过点 E 作 x 轴的平行线交线段 BC 于点 F。设线段 EF 的长为 m，求 m 与 t 之间的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围
2、：(3)在(2)的条件下，将BEF 绕点 B 逆时针旋转得到BE 1F1,使点 E 的对应点 E1落在线段 AB 上，点 F 的对应点是 F1，E 1F1交 x 轴于点 G，连接 PF、QG，当 t 为何值时，2BQ-PF= QG?3(1)解：如图 lAOB 为等边三角形 BAC=AOB=60。BCAB ABC=90 0 ACB=30 0OBC=30 0ACB=OBC CO=OB=AB=OA=3AC=6 BC= AC= 32(2)解：如图 l 过点 Q 作 QN0B 交 x 轴于点 NQNA=BOA=60 0=QAN QN=QAAQN 为等边三角形NQ=NA=AQ=3-tNON=3- (3-t
3、)=tPN=t+t=2tOEQNPOEPNQ OEPQN 132t312tEFx 轴BFE=BCO=FBE=30 0EF=BEm=BE=OB-OE 132t(0t3)(3)解：如图 21180120BEFEBF AEG=600=EAGGE 1=GA AEG 为等边三角形 322Qmttt1111EGABEQEl=2 3=4l+2+3+4=180 02+3=90 0即QGA=90 0EFOCBFECO332mBFt312BCFPt3126tCPBAFCP=BCA FCPBCA2BQPF= QG 32PFCtAB3 t=1当 t=1 时， 2BQPF= QG312()tt 32、 （2013天津）
4、在平面直角坐标系中，已知点 A（2，0） ，点 B（0，4） ，点E 在 OB 上，且OAE=0BA （）如图，求点 E 的坐标；（）如图，将AEO 沿 x 轴向右平移得到AEO ，连接 AB、BE 设 AA=m，其中 0m2，试用含 m 的式子表示 AB2+BE2，并求出使AB2+BE2 取得最小值时点 E的坐标；当 AB+BE取得最小值时，求点 E的坐标（直接写出结果即可） 解：（）如图，点 A（2，0） ，点 B（0，4） ，OA=2，OB=4 OAE=0BA，EOA=AOB=90，OAE OBA， = ，即 = ，解得，OE=1，点 E 的坐标为（0，1） ；（）如图 ，连接 EE由题
5、设知 AA=m（0m2） ，则 AO=2m在 Rt ABO 中，由 AB2=AO2+BO2，得 AB2=（2m） 2+42=m24m+20AE O是AEO 沿 x 轴向右平移得到的，EEAA，且 EE=AABEE=90，EE=m又 BE=OBOE=3，在 RtBEE 中，BE 2=EE2+BE2=m2+9，A B2+BE2=2m24m+29=2（m 1） 2+27当 m=1 时， AB2+BE2 可以取得最小值，此时，点 E的坐标是（1，1） 如图，过点 A 作 ABx，并使 AB=BE=3易证AB AEBE ，BA=BE ，A B+BE=AB+BA当点 B、A 、B在同一条直线上时，AB+B
6、 A最小，即此时 AB+BE取得最小值易证AB AOBA ， = = ，AA = 2= ，EE=AA= ，点 E的坐标是（ ，1） 3、 （2013淮安 压轴题）如图，在 ABC 中，C=90，BC=3，AB=5点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度沿 BCAB 的方向运动；点 Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位沿 CAB 方向的运动，到达点 B 后立即原速返回，若 P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为 秒（1）当 = 7 时，点 P 与点 Q 相遇；（2）在点 P 从点 B 到点 C 的运动过程中，当 为何值时，PCQ 为等腰三角形？（3）在点 Q 从点 B 返回点
7、A 的运动过程中，设PCQ 的面积为 s 平方单位求 s 与 之间的函数关系式；当 s 最大时，过点 P 作直线交 AB 于点 D，将 ABC 中沿直线 PD 折叠，使点 A 落在直线 PC 上，求折叠后的APD 与PCQ重叠部分的面积： 解：（1）在直角ABC 中，AC= =4，则 Q 从 C 到 B 经过的路程是 9，需要的时间是 4.5 秒此时 P 运动的路程是 4.5，P 和 Q 之间的距离是：3+4+54.5=7.5根据题意得：（t4.5）+2（t 4.5）=7.5 ，解得：t=7（2）Q 从 C 到 A 的时间是 3 秒，P 从 A 到 C 的时间是 3 秒则当 0t2 时，若 P
8、CQ 为等腰三角形，则一定有： PC=CQ，即 3t=2t，解得：t=1 当 2t3 时，若 PCQ 为等腰三角形，则一定有 PQ=PC（如图 1） 则Q 在 PC 的中垂线上，作 QHAC，则 QH= PCAQH ABC ，在直角AQH 中，AQ=2t4，则 QH= AQ= PC=BCBP=3t， （2t4）=3 t，解得：t= ；（3）在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中，P 一定在 AC 上，则PC=t3，BQ=2t 9，即 AQ=5（2t9）=142t同（2）可得：PCQ 中，PC 边上的高是： （142t） ，故 s= （2t9） （142t）= （ t2+10t2） 故当
9、t=5 时， s 有最大值，此时，P 在 AC 的中点 （如图 2） 沿直线 PD 折叠，使点 A 落在直线 PC 上，PD 一定是 AC 的中垂线则 AP= AC=2，PD= BC= ，则 SAPD = APPD= 2 = AQ=142t=1425=4则 PC 边上的高是： AQ= 4= 则 SPCQ = PC = 2 = 故答案是：74、如图，点 A 是ABC 和ADE 的公共顶点，BACDAE180，ABkAE，ACk AD，点 M 是 DE 的中点，直线 AM 交直线 BC 于点 N（1）探究ANB 与BAE 的关系，并加以证明（2）若ADE 绕点 A 旋转，其他条件不变，则在旋转的过
10、程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并证明变化后ANB 与BAE 的关系 ABCEMDN解：（1） ANB+BAE=180证明：（法一）如图，延长 AN 到 F，使 MF=AM，连接 DF、EF点 M 是 DE 的中点，DM=ME，四边形 ADFE 是平行四边形ADEF ，AD=EFDAE+AEF=180BAC+DAE=180BAC=AEFAB=kAE， AC=kADAB AE =AC ADAB AE =AC EF ABC EAFB=EAFANB+B+BAF=180ANB+EAF+BAF=180即ANB+BAE=180（
11、法二）如图，延长 DA 到 F，使 AF=AD，连接 EFBAC+DAE=180 ，DAE+EAF=180BAC=EAFAB=kAE， AC=kADAB AE =AC ADAB AE =AC AF ABC AEFB=AEF点 M 是 DE 的中点DM=ME， 又AF=ADAM 是DEF 的中位线AMEFNAE=AEFB=NAE ANB+B+BAN=180ANB+NAE+BAN=180即ANB+BAE=180（2）变化如图， ANB=BAE选取（） ，如图 证明：延长 AM 到 F，使 MF=AM，连接 DF、EF 点 M 是 DE 的中点DM=ME四边形 ADFE 是平行四边形ADFE ，AD
12、=EFDAE+AEF=180BAC+DAE=180BAC=AEFAB=kAE， AC=kAD，k=1AB=AE，AC=ADAC=EFABC EAFB=EAFANB+B+BAF=180ANB+EAF+BAF=180即ANB+BAE=180选取（） ，如图 证明：AB=ACB=1/ 2 （180-BAC）BAC+DAE=180DAE=180-BACB=1/ 2 DAEAB=kAE， AC=kADAE=ADAM 是ADE 的中线， AB=ACEAM=1 /2 DAEB=EAMANB+B+BAM=180ANB+EAM+BAM=180即ANB+BAE=180点评：本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，
13、三角形5.如图，已知一个三角形纸片 ， 边的长为 8， 边上的高为 ，ABCBC6和 都为锐角， 为 一动点（点 与点 不重合） ，过点 作BCMMA、 M，交 于点 ，在 中，设 的长为 ， 上的高为 MN N Nxh（1）请你用含 的代数式表示 xh（2）将 沿 折叠，使 落在四边形 所在平面，设点A 落在平面的点为 ， 与四边形 重叠部分的面积为 ，当 为1A BCyx何值时， 最大，最大值为多少？y【答案】解：（1） MNBCA 68hx34（2） 1AN 的边 上的高为 ，1M h当点 落在四边形 内或 边上时， BCM= （0 ）1AMNyS 213248x4x当 落在四边形 外时，如下图 ， (8)设 的边 上的高为 ，1EF 1h则 326hx11MNAMN 1ABCEFABC 126EFSh ABC824ABCS22363414EFxSx1 A112223988AMNEFyxxx
