1、圆的垂径定理1、（2013 年潍坊市）如图，O 的直径 AB=12，CD 是O 的弦，CDAB，垂足为 P，且 BP： AP=1:5,则 CD 的长为（ ）.A. B. C. D. 2428543、(2013 河南省)如图，CD 是 的直径，弦 于点 G，直线 与 相切与OABCDEFOA点 D，则下列结论中不一定正确的是 【】（A） （B） GEF（C）ADBC （D） A【解析】由垂径定理可知：（A ）一定正确。由题可知： ，又因为 ，EFCDABC所以 ，即（B ）一定正确。因为 所对的弧是劣弧 ，根据同EFAB和弧所对的圆周角相等可知（D ）一定正确。4、 （2013泸州）已知 O 的
2、直径 CD=10cm，AB 是 O 的弦，ABCD，垂足为 M，且AB=8cm，则 AC 的长为（ ）A cm B cm C cm 或 cm Dcm 或 cm分析： 先根据题意画出图形，由于点 C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论解答： 解：连接 AC，AO，O 的直径 CD=10cm，ABCD，AB=8cm ，AM=AB=8=4cm，OD=OC=5cm，当 C 点位置如图 1 所示时，OA=5cm，AM=4cm，CD AB，OM= = =3cm，CM=OC+OM=5+3=8cm，AC= = =4 cm；当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2
3、cm，在 RtAMC 中，AC= = =2 cm故选 C5、 （2013广安）如图，已知半径 OD 与弦 AB 互相垂直，垂足为点 C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆 O 的半径为（ ）A cm B 5cm C 4cm Dcm解答： 解：连接 AO，半径 OD 与弦 AB 互相垂直，AC= AB=4cm，设半径为 x，则 OC=x3，在 RtACO 中，AO 2=AC2+OC2，即 x2=42+（x 3） 2，解得：x= ，故半径为 cm故选 A8、 （2013嘉兴）如图， O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交 O 于点 E，连结 EC若 AB=8，CD=2，则 EC
4、的长为（ ）A 2 B 8 C 2 D2解答： 解： O 的半径 OD弦 AB 于点 C，AB=8，AC=AB=4，设 O 的半径为 r，则 OC=r2，在 RtAOC 中，AC=4，OC=r 2，OA 2=AC2+OC2，即 r2=42+（r2） 2，解得 r=5，AE=2r=10，连接 BE，AE 是O 的直径， ABE=90，在 RtABE 中，AE=10，AB=8，BE= = =6，在 RtBCE 中，BE=6，BC=4，CE= = =2 故选 D点评： 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键12、 （2013宜昌）如图， DC 是O 直径
5、，弦 ABCD 于 F，连接 BC，DB，则下列结论错误的是（ ）A B AF=BF C OF=CF DDBC=90解答： 解： DC 是O 直径，弦 ABCD 于 F，点 D 是优弧 AB 的中点，点 C 是劣弧 AB 的中点，A、 = ，正确，故本选项错误；B、AF=BF ，正确，故本选项错误；C、OF=CF ，不能得出，错误，故本选项错误；X Kb1. Co mD、DBC=90，正确，故本选项错误；故选 C点评： 本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般14、 （2013南宁）如图， AB 是O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，且
6、 AE=CD=8， BAC=BOD，则O 的半径为（ ）A 4 B 5 C 4 D3解答： 解：BAC= BOD， = ， ABCD，AE=CD=8，DE= CD=4，设 OD=r，则 OE=AEr=8r，在 RtODE 中，OD=r，DE=4，OE=8r，OD2=DE2+OE2，即 r2=42+（8r） 2，解得 r=5故选 B17、 （2013内江）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A（13，0） ，直线y=kx3k+4 与O 交于 B、C 两点，则弦 BC 的长的最小值为 解答： 解： 直线 y=kx3k+4 必过点 D（3，4） ，最短的弦 CD 是过点 D 且
7、与该圆直径垂直的弦，点 D 的坐标是（3，4） ，OD=5，以原点 O 为圆心的圆过点 A（13，0） ，圆的半径为 13，OB=13，BD=12，BC 的长的最小值为 24；故答案为：2420、 （2013宁夏）如图，将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕AB 的长为 cm解答： 解：过点 O 作 ODAB 交 AB 于点 D，OA=2OD=2cm，AD= = = cm，ODAB，AB=2AD= cm点评： 本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用21、 （2013包头）如图，点 A、B、C 、D 在O 上，OB AC，若BOC=56 ，则ADB= 度解答： 解： OB
8、AC， = ，ADB= BOC=28故答案为：28点评： 此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半22、 （2013株洲）如图 AB 是O 的直径，BAC=42，点 D 是弦 AC 的中点，则DOC的度数是 48 度解答： 解： AB 是O 的直径，OA=OCA=42ACO=A=42D 为 AC 的中点，ODAC，DOC=90DCO=9042=48故答案为：48点评： 本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线23、 （2013黄冈）如图， M 是 CD 的中点，EMCD，若 CD=4，EM=8，则 所在圆的半径为 解
9、答： 解：连接 OC，M 是 CD 的中点，EMCD，EM 过O 的圆心点 O，设半径为 x，CD=4，EM=8 ， CM= CD=2，OM=8 OE=8x，在 RtOEM 中， OM2+CM2=OC2，即（8x ） 2+22=x2，解得：x= 所在圆的半径为： 故答案为： 28、（2013 陕西）如图，AB 是O 的一条弦，点 C 是O 上一动点，且ACB=30，点 E、F 分别是 AC、BC 的中点，直线 EF 与O 交于 G、H 两点，若O 的半径为 7，则 GE+FH 的最大值为 解析：本题考查圆心角与圆周角的关系应用，中位线及最值问题。连接 OA，OB，因为ACB=30，所以AOB=
10、60，所以 OA=OB=AB=7，因为 E、F 中 AC、BC 的中点，所以 EF= =3.5，因为 GE+FH=GHEF，要使 GE+FH 最大，而 EF 为定值，所以 GH 取最AB21大值时 GE+FH 有最大值，所以当 GH 为直径时，GE+FH 的最大值为 14-3.5=10.533、 （2013资阳）在 O 中，AB 为直径，点 C 为圆上一点，将劣弧沿弦 AC 翻折交 AB 于点 D，连结 CD（1）如图 1，若点 D 与圆心 O 重合，AC=2，求O 的半径 r；（2）如图 2，若点 D 与圆心 O 不重合，BAC=25，请直接写出DCA 的度数CA BCGHE F第 16 题
11、图分析： （1）过点 O 作 OEAC 于 E，根据垂径定理可得 AE= AC，再根据翻折的性质可得OE= r，然后在 RtAOE 中，利用勾股定理列式计算即可得解；（2）连接 BC，根据直径所对的圆周角是直角求出ACB，根据直角三角形两锐角互余求出B ，再根据翻折的性质得到 所对的圆周角，然后根据ACD 等于所对的圆周角减去 所对的圆周角，计算即可得解解答： 解：（1）如图，过点 O 作 OEAC 于 E，则 AE= AC= 2=1，翻折后点 D 与圆心 O 重合，OE= r，在 RtAOE 中，AO 2=AE2+OE2，即 r2=12+（ r） 2，解得 r= ；（2）连接 BC，AB 是直径，ACB=90，BAC=25，B=90BAC=9025=65，根据翻折的性质， 所对的圆周角等于 所对的圆周角，DCA=BA=6525=40点评： 本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，（1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键， （2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键
