1、一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例 1 恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售额下降了 20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6 万元，求这两个月的平均增长率.解: 设这两个月的平均增长率是 x.，则根据题意，得 200(120%)(1+x) 2193.6 ，即(1+x )21.21，解这个方程，得 x10.1，x 22.1（舍去）.答 这两个月的平均增长率是 10%.说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式 m(1+x)2n 求解，其中 mn .对
2、于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式 m(1x) 2n 即可求解，其中 mn.二、商品定价例 2 益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价 a 元，则可卖出（35010 a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 20%，商店计划要盈利 400 元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解 根据题意，得(a21)(35010 a)400，整理，得 a256a+7750 ，解这个方程，得 a125，a 231.因为 21(1+20%)25.2，所以 a2=31 不合题意，舍去 .所以 35010a3501025100（件）.答 需要进货 100
3、件，每件商品应定价 25 元.说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题例 3 王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的 500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90%，这样到期后，可得本金和利息共530 元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）解 设第一次存款时的年利率为 x.则根据题意，得1000(1+x)500(1+0.9x )530.整理，得 90x2+145x30.解这个方程，得 x10.0204 2.04% ，x 21
4、.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2 1.63 舍去.答 第一次存款的年利率约是 2.04%.说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.四、趣味问题例 4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽 4 米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高 2 米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解 设渠道的深度为 xm，那么渠底宽为(x+0.1)m ，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得 (x+0.1+x+1.4+0.1)x1.8 ，整理，得 x
5、2+0.8x1.8 0.12解这个方程，得 x11.8 （舍去），x 21.所以 x+1.4+0.11+1.4+0.12.5.答 渠道的上口宽 2.5m，渠深 1m.说明 求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.五、古诗问题例 5 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为 x，则十位数字为 x3.则根据题意，得 x210( x3)+x，即 x2-11x+300，解这个方程，
6、得 x5 或 x6.当 x5 时，周瑜的年龄 25 岁，非而立之年，不合题意，舍去；当 x6 时，周瑜年龄为 36 岁，完全符合题意.答 周瑜去世的年龄为 36 岁.说明 本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛例 6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记 2 分，输者记 0分. 如果平局，两个选手各记 1 分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979， 1980， 1984，1985.经核实，有一位同学统计无误 .试计算这次比赛共有多少个选手参加.解 设共有 n 个选手参加比赛，每个选手都要与( n1)
7、个选手比赛一局，共计 n(n1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n 1)局.由于每局共计 2 分，所以全部选手得分总共为 n(n1)分. 显然(n1)与 n 为相12邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是 0，2，6，故总分不可能是1979， 1984， 1985，因此总分只能是 1980，于是由 n(n1) 1980 ，得n2 n 19800 ，解得 n1 45，n 244（舍去）.答 参加比赛的选手共有 45 人.说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.七、情景对话例 7 春秋旅行社为
8、吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图 1 对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元. 请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解 设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游 .因为 10002525000 27000，所以员工人数一定超过 25 人 .则根据题意，得1000 20(x 25)x27000.整理，得 x275x+1350 0，解这个方程，得 x145 ，x 230.当 x45 时，100020(x 25)600700，故舍去 x1；当 x230 时，100020(x 25)900700 ，符合题意.答：该单位这次
9、共有 30 名员工去天水湾风景区旅游.说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论.八、等积变形例 8 将一块长 18 米，宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到 0.1m）（1）设计方案 1（如图 2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案 2（如图 3）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.解 都能.（1）设小路宽为 x，则 18x+16xx 2 1815，即 x234 x
10、+1800，3解这个方程，得 x ，即 x6.6.3462（2）设扇形半径为 r，则 3.14r2 1815，即 r257.32，所以 r7.6.图 1如果人数超过 25 人，每增加1 人，人均旅游费用降低 20 元，但人均旅游费用不得低于 700元.如果人数不超过 25 人，人均旅游费用为 1000 元.说明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等.九、动态几何问题例 9 如图 4 所示，在ABC 中，C90，AC6cm，BC8cm，点 P 从点 A 出发沿边 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 C 点出发沿
11、CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动.（1）如果 P、Q 同时出发，几秒钟后，可使PCQ 的面积为 8 平方厘米？（2）点 P、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ 的面积等于ABC 的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由 .解 因为C90 ，所以 AB 10 （cm）.2ACB268（1）设 xs 后，可使PCQ 的面积为 8cm2，所以 APxcm ，PC(6 x)cm， CQ2 xcm.则根据题意，得 (6x )2x8.整理，得 x26x+80，解这个方程，得 x12，x 24.1所以 P、 Q 同时出发，2s 或 4s 后可使PCQ 的面积为 8cm
12、2.（2）设点 P 出发 x 秒后，PCQ 的面积等于ABC 面积的一半.则根据题意，得 (6x)2x 68.整理，得 x26x +120.1212由于此方程没有实数根，所以不存在使PCQ 的面积等于 ABC 面积一半的时刻.说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程速度时间.十、梯子问题例 10 一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角 6m.（1）若梯子的顶端下滑 1m，求梯子的底端水平滑动多少米？图 2QP CBA图 4 图 3（2）若梯子的底端水平向外滑动 1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离
13、，那么滑动的距离是多少米？解 依题意，梯子的顶端距墙角 8（m）.2106（1）若梯子顶端下滑 1m，则顶端距地面 7m.设梯子底端滑动 xm.则根据勾股定理，列方程 72+(6+x)210 2，整理，得 x2+12x15 0，解这个方程，得 x11.14，x 213.14（舍去），所以梯子顶端下滑 1m，底端水平滑动约 1.14m.（2）当梯子底端水平向外滑动 1m 时，设梯子顶端向下滑动 xm.则根据勾股定理，列方程(8x) 2+(6+1)2100.整理，得 x216x +130.解这个方程，得 x10.86，x 215.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑动 1m，则顶端下滑约 0.8
14、6m.（3）设梯子顶端向下滑动 xm 时，底端向外也滑动 xm.则根据勾股定理，列方程 (8x) 2+(6+x)210 2，整理，得 2x24x 0，解这个方程，得 x10 （舍去）， x22.所以梯子顶端向下滑动 2m 时，底端向外也滑动 2m.说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例 11 如图 5 所示，我海军基地位于 A 处，在其正南方向 200海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标C，小岛 D 恰好位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC上且恰好处于小岛 D 的正南方向，一艘军舰
15、从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.（1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里？FEDCBA图 5（2）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到 0.1 海里）解（1）F 位于 D 的正南方向，则 DFBC.因为 ABBC，D 为 AC 的中点，所以DF AB100 海里，所以，小岛 D 与小岛 F 相距 100 海里.2（2）设相遇时补给船航行了 x 海里，那么 DEx 海里，AB+BE2x 海里，EF AB+BC (AB+BE)C
16、F(3002 x)海里.在 RtDEF 中，根据勾股定理可得方程 x2100 2+(3002x) 2，整理，得3x2 1200x+1000000.解这个方程，得 x1200 118.4 ，x 2200+ （不合题意，舍去）.0631063所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 海里.说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程.十二、图表信息例 12 如图 6 所示，正方形 ABCD 的边长为 12，划分成 1212 个小正方形格，将边长为 n（n 为整数，且 2n11 ）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，
17、黑白相间地摆放，第一张 nn 的纸片正好盖住正方形 ABCD 左上角的 nn 个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n1)( n1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形 ABCD 的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长 n 的取值不同， 完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长 n 2 3 4 5 6使用的纸片张数（2）设正方形 ABCD 被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为 S1，未被盖住的面积为 S2.当 n2 时，求 S1S 2 的值；是否存在使得 S1S 2 的 n 值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由
18、 .解（1）依题意可依次填表为：11 、10、9、8 、7.（2）S 1n 2+(12n) n2(n 1) 2n 2+25n12.当 n2 时，S 12 2+2521234 ，S 21212 34110.所以 S1S 234110 1755.若 S1S 2，则有n 2+25n12 122，即 n225n +840 ，1解这个方程，得 n14 ，n 221 （舍去）.所以当 n4 时，S 1S 2.所以这样的 n 值是存在的.说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来
19、加以判断.十三、探索在在问题例 13 将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于 17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于 12cm2 吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.解（1）设剪成两段后其中一段为 xcm，则另一段为（20x）cm.则根据题意，得 + 17，解得 x116，x 24，24x20当 x16 时，20x4 ，当 x4 时，20 x 16 ，答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是 4cm 和 16cm.（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为
20、 ycm，则另一段为（20y）cm.则由题意得 + 12 ，整理，得 y220y+104 0，移项并配方，得(y10)4y20240，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为 12cm2.图 6说明 本题的第（2）小问也可以运用求根公式中的 b24ac 来判定. 若 b24ac0，方程有两个实数根，若 b24 ac0，方程没有实数根，本题中的 b24ac 160 即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例 14 如图 7，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC 5，AD4，BC 10. 点 E在下底边 BC上，点 F 在腰 AB 上.（1）若 EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长，设 BE 长
21、为 x，试用含 x 的代数式表示BEF 的面积；（2）是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成 12 的两部分？若存在，求此时 BE 的长；若不存在，请说明理由.解（1）由已知条件得，梯形周长为 12，高 4，面积为 28.过点 F 作 FGBC 于 G，过点 A 作 AKBC 于 K.则可得，FG 4，125x所以 SBEF BEFG x2+ x（7x10）.45（2）存在.由（1）得 x2+ x14，解这个方程，得 x17，x 25（不合题意，舍去）
22、，所以存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长与面积同时平分，此时 BE7.（3）不存在.假设存在，显然有 SBEFS 多边形 AFECD 12，即(BE+BF) ( AF+AD+DC)12.则有 x2+ x ，5683整理，得 3x2 24x+700 ，此时的求根公式中的 b24ac 5768400，所以不存在这样的实数 x.即不存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成12 的两部分FEDCBA图 7KG说明 求解本题时应注意：一是要能正确确定 x 的取值范围；二是在求得 x25 时，并不属于 7x 10，应及时地舍去；三是处理第（ 3）个问题时的实质是利用一元二次方程
23、来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例 15 在如图 8 中，每个正方形有边长为 1 的小正方形组成：（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 1 3 5 7 n（奇数）黑色小正方形个数 正方形边长 2 4 6 8 n（偶数）黑色小正方形个数 （2）在边长为 n（n1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为 P1，白色小正方形的个数为 P2，问是否存在偶数 n，使 P25P 1？若存在，请写出 n 的值；若不存在，请说明理由.解（1）观察分析图案可知正方形的边长为 1、3 、5、7 、n 时，黑色正方形的个数为 1、5、9、 13、2 n1（奇数）；正方形的边长为 2、4、6、8、n 时，黑色正方形的个数为 4、8、12、16、2 n（偶数）.（2）由（1）可知 n 为偶数时 P12n，所以 P2n 22n.根据题意，得n2 2n52 n，即 n212 n0，解得 n112 ，n 20 （不合题意，舍去）. 所以存在偶数n 12，使得 P25 P1.说明 本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解.图 8
