1、1第四章：圆一、知识回顾圆的周长： C=2r 或 C=d、圆的面积：S=r圆环面积计算方法：S=R-r或 S=（R-r）(R 是大圆半径，r 是小圆半径）二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点 O 为圆心。连 接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的
2、轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点 在圆内；drC2、点在圆上 点 在圆上；B3、点在圆外 点 在圆外；rA三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；drrddCBAO22、直线与圆相切 有一个交点；dr3、直线与圆相交 有两个交点；drd=rr d四、圆与圆的位置关系外离（图 1） 无交点 ；dRr外切（图 2） 有一个交点
3、 ；相交（图 3） 有两个交点 ；rr内切（图 4） 有一个交点 ；dR内含（图 5） 无交点 ；r周1rRd周3rRd五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧周2rRd 周4rRd周5rRd3以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： 是直径 弧 弧 弧 弧ABABCDEBCDACD中任意 2 个条件推
4、出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 中， OABC弧 弧D六、圆心角定理顶点到圆心的角，叫圆心角。圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个 结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即： ； ；AOBDEAB ； 弧 弧CF七、圆周角定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫 圆周角。1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角 的一半。即： 和 是弧 所对的圆心角和圆周角AOBCAB 22、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或
5、等圆中，相 等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 中， 、 都是所对的圆周角OCD OE DCBAOC DA BFEDC BAOCBAO D CBAO4推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所 对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 中， 是直径 或OAB90C 是直径90CAB推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三 角形是直角三角形。即：在 中，ABCOAB 是直角三角形或 90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 中，O四
6、边形 是内接四边形ABCD 180 180BDE九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且 过半径 外MNOAA端 是 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）CB AO CB AOEDCBANM AO5推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心； 过切点； 垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条
7、切线的夹角。即： 、 是的两条切 线PAB 平分OPA十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积 相等。即：在 中，弦 、 相交于点 ，OABCDPP（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所 成的两条线段的比例中项。即：在 中，直径 ，OABCD 2E（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在 中， 是切线， 是割线OPAB 2CPBAOPO DCBAO EDCB AD EC BPAO6（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即
8、：在 中， 、 是割线OPBE CDP十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这 两个圆的的公共弦。如图： 垂直平分 。12OAB即： 、 相交于 、 两点 垂直平分12十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长： 中， ；12RtOC221ABOC（2）外公切线长： 是半径之差； 内公切线长： 是半径之和 。2十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在 中 是正三角形，有关计算在 中进行：OABCRtBOD:1:32ODB；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 中进行，RtOAE :1:2OEA：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在 中进行，RtOAB .:1:32ABOBAO1 O2 CO2O1BADCB AOECBA DOBAO7十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式： ；180nRl（2）扇形面积公式： 2136Sl：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积nRlS2、圆柱： （1）A 圆柱侧面展开图=2S侧表 底 2rhB 圆柱的体 积： V（2）A 圆锥侧面展开图=S侧表 底 2RrB 圆锥 的体积： 13VhS lBAO周周周周周周周周 C1D1DCBAB1RrC BAO
