1、1实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1) 方程两边表示的是同类量；(2) 同类量的单位要统一；(3) 方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是: 两者的行程差开始时两者相距的路程； ； ；(2)相遇问题 :相遇问题也是行程
2、问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程。(3)航行问题： 船在静水中的速度水速船的顺水速度；船在静水中的速度水速船的逆水速度；顺水速度逆水速度2水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2工程问题：工作效率工作时间=工作量.3商品销售利润问题：(1)利润售价成本 (进价 )；(2) ；(3) 利润成本（进价）利润率；(4)标价成本(进价)(1 利润率) ；(5)实际售价标价 打折率；注意：“商品利润售价成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏
3、损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。 （例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4储蓄问题：(1)基本概念本金：顾客存入银行的钱叫做本金。 利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。 本息和：本金与利息的和叫做本息和。 期数：存入银行的时间叫做期数。 利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。 利息税：利息的税款叫做利息税。 (2)基本关系式利息本金利率期数 本息和本金利息本金本金利率期数本金 (1利率期数)利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。税后利息利息 (1利息税率) 年利率月利率 12 。2注意：免税利息=利息 5配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间
4、的比例=每一套各部分之间的比例。6增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量(1增长率) 增长后的量；原量(1减少率) 减少后的量.7和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量较小量多余量，总量倍数倍量.8数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当 n 为整数时，奇数可表示为 2n+1(或 2n-1)，偶数可表示为 2n 等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字9浓度问题：溶液质量浓度=溶质质量.10几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年
5、龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的12优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1审题:弄清题意及题目中的数量关系； 2设未知数: 可直接设元，也可间接设元；3找出题目中的等量关系；4列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5解所列的方程组，并检验解的正确性；6写
6、出答案.要点诠释：(1)解实际应用问题必须写“答” ，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得 的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2)“设” 、 “答”两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.(4)列方程组解应用题应注意的问题弄清各种题型中基本量之间的关系； 审题时，注意从文字，图表中获得有关信息； 注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 方程组与解方程组时，不要带单位；正确书写速度单位，避免与路程单位混淆； 在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件； 列方程组解应用题一定要注意检验。 类型一：列二元一次方
7、程组解决行程问题31甲、乙两地相距 160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 小时 20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留 1 小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 思路点拨：画直线型示意图理解题意：(1)这里有两个未知数：汽车的行程；拖拉机的行程. (2)有两个等量关系：相向而行：汽车行驶 小时的路程拖拉机行驶 小时的路程160 千米;同向而行：汽车行驶 小时的路程拖拉机行驶 小时的路程.解：设汽车的速度为每小时行 千米，拖拉机的速度为每小时 千米.根据题意，列方程组 解这个方程组，得:.答
8、：汽车行驶了 165 千米，拖拉机行驶了 85 千米.总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。【变式 1】甲、乙两人相距 36 千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发 2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？【变式 2】两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用 20 小时，求船在静水中的速度和水流速度。4类型二：列二元一次方程组解决工程问题2一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用
9、共3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可完成，需付两组费用共 3480 元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需 12 天完成，乙组单独做需 24 天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？ 思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共 3520 元；第二层含义：若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可完成，需付两组费用共 3480 元。设甲组单独做一天商店应付 x 元，乙组单独做一天商店应付 y 元，由第一层含义可得方程 8（x+y）=3520,由第二
10、层含义可得方程 6x+12y=3480.解：(1)设甲组单独做一天商店应付 x 元，乙组单独做一天商店应付 y 元，依题意得：解得答：甲组单独做一天商店应付 300 元，乙组单独做一天商店应付 140 元。(2)单独请甲组做，需付款 300123600 元，单独请乙组做，需付款 241403360 元，故请乙组单独做费用最少。答：请乙组单独做费用最少。总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为 1，也可设为 a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6
11、周完成需工钱 5.2 万元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 类型三：列二元一次方程组解决商品销售利润问题3有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为 5%,乙商品的利润率为 4%,共可获利 46 元。价格调5整后，甲商品的利润率为 4%，乙商品的利润率为 5%，共可获利 44 元，则两件商品的进价分别是多少元？思路点拨：做此题的关键要知道：利润进价利润率解：甲商品的进价为 x 元，乙商品的进价为 y 元，由题意得：，解得：答：两件商品的进价分别为 600 元和
12、 400 元。【变式 1】（2011 湖南衡阳）李大叔去年承包了 10 亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利 18000 元，其中甲种蔬菜每亩获利 2000 元，乙种蔬菜每亩获利 1500 元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？【变式 2】某商场用 36 万元购进 A、B 两种商品，销售完后共获利 6 万元，其进价和售价如下表：A B进价（元/件） 1200 1000售价（元/件） 1380 1200（注：获利 = 售价 进价）求该商场购进 A、B 两种商品各多少件；类型四：列二元一次方程组解决银行储蓄问题4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了 2000 元钱，
13、一种是年利率为 2.25的教育储蓄，另一种是年利率为 2.25的一年定期存款，一年后可取出 2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额20%，教育储蓄没有利息所得税）思路点拨： 设教育储蓄存了 x 元，一年定期存了 y 元，我们可以根据题意可列出表格：6解：设存一年教育储蓄的钱为 x 元，存一年定期存款的钱为 y 元，则列方程：，解得：答：存教育储蓄的钱为 1500 元，存一年定期的钱为 500 元. 总结升华: 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之
14、浮现出来.【变式 1】李明以两种形式分别储蓄了 2000 元和 1000 元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息 43.92 元.已知两种储蓄年利率的和为 3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额20%） 【变式 2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了 4000 元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了 3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息 2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75 元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？类型五：列
15、二元一次方程组解决生产中的配套问题5某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5只. 现计划用 132 米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为 132 米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的 2 倍(注意：别把 2 倍的关系写反了).解：设用 米布料做衣身，用 米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：7答：用 60 米布料做衣身，用 72 米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰
16、好配套.总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.【变式 1】现有 190 张铁皮做盒子，每张铁皮做 8 个盒身或 22 个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 【变式 2】某工厂有工人 60 人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓 14个或螺母 20 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使
17、生产出的螺栓和螺母刚好配套。【变式 3】一张方桌由 1 个桌面、4 条桌腿组成，如果 1 立方米木料可以做桌面 50 个，或做桌腿 300条。现有 5 立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？类型六：列二元一次方程组解决增长率问题6. 某工厂去年的利润（总产值总支出）为 200 万元，今年总产值比去年增加了 20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？ 思路点拨：设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，则有总产值（万元） 总支出（万元） 利润（万元）去年 x
18、y 200今年 120%x 90%y 780根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出8两个等式。解：设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，根据题意得：，解之得：答：去年的总产值为 2000 万元，总支出为 1800 万元总结升华：当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析。【变式 1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？【变式 2】某城市现有人口 42 万，估计一年后城镇人口增加 0.8%，农村人口增加 1.1%，这样全市人口增加 1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。类型七：列二元一次方程组解决和差倍分问题7.（201
19、1 年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共 9 千顶，现某地震灾区急需帐篷 14 千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的 1.6 倍、1.5 倍，恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？思路点拨：找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组。解：设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷 x 千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷 y 千顶，由题意得
20、：， 解得： 所以：1.6x=1.6 5=8, 1.5y=1.5 4=6答：“爱心”帐篷厂生产帐篷 8 千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷 6 千顶. 【变式 1】 (2011 年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时”是世界自然基金会在 2007 年提出的一项倡议号召个人、社区、企业和政府在每年 3 月最后一个星期六 20 时 30 分21 时 30 分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活中国内地去年和今年共有 119 个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的 3 倍少 13 个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动9【
21、变式 2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1 倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？类型八：列二元一次方程组解决数字问题8. 两个两位数的和是 68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。思路点拨：设较大的两位数为 x，较小的两位数为 y。问题 1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100xy问题 2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可
22、表示为： 100yx解：设较大的两位数为 x，较小的两位数为 y。依题意可得：，解得：答：这两个两位数分别为 45，23.【变式 1】一个两位数，减去它的各位数字之和的 3 倍，结果是 23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是 5，余数是 1，这个两位数是多少？【变式 2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少 9，求这个两位数？【变式 3】某三位数，中间数字为 0，其余两个数位上数字之和是 9，如果百位数字减 1，个位数字加 1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。类型九：列
23、二元一次方程组解决浓度问题109现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是 37，乙种酒精溶液的酒精与水的比是 41，今要得到酒精与水的比为 32 的酒精溶液 50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？ 思路点拨：本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和50；（2）混合前两种溶液所含纯酒精质量之和混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种溶液所含水的质量之和混合后溶液所含水的质量；（4）混合前两种溶液所含纯酒精之和与水之和的比混合后溶液所含纯酒精与水的比。解：法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取
24、 x kg , y kg.依题意得：， 答：甲取 20kg，乙取 30kg法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取 10x kg 和 5y kg，则甲种酒精溶液含水 7x kg，乙种酒精溶液含水 y kg，根据题意得：， 所以 10x=20,5y=30.答：甲取 20kg，乙取 30kg总结升华：此题的第（1）个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。用它们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了。列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么。有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数。举一反三：【变式 1】要配浓度是 45%的盐水 12 千克，现有 10%的盐水与 85%的盐水，这两种盐水各需多少？【变式 2】一种 35%的新农药，如稀释到 1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为 35%的农药加水多少千克，才能配成 1.75%的农药 800 千克？类型十：列二元一次方程组解决几何问题10如图，用 8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？
