1、第 1 页 共 8 页 二次函数竞赛题1二次函数 的图象的顶点为 D，与 x 轴正方向从左至右依次交于 A，B 两点，与 y 轴正方向cbxy2交于 C 点，若ABD 和OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点） ，则 cb22在直角坐标系中有三点 A（0，1） ，B（1，3） ，C （2，6） ；已知直线 上横坐标为 0、1、2 的点分baxy别为 D、E、F.试求 的值使得 AD2+BE2+CF2达到最小值.ba,3.（2004 年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数 x、y、z 满足 x+y+z=5，xy+yz +zx=3，则 z 的最大值是_4.已知直线 与抛物线 相交于
2、A、B 两点，O 为坐标原点，那么OAB 的面积等于32xy2xy_。5.（2003 年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数 y=ax2+bx+c（其中 a 是正整数）的图象经过点 A（-1，4）与点 B（2，1） ，并且与 x轴有两个不同的交点，则 b+c 的最大值为_6.设抛物线 的图象与 x 轴只有一个交点， （1）求 a 的值；（2）求 的45212axy 61832a值.7. 通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数 y
3、随时间 x（分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）. 当 时，图象是抛物10x线的一部分，当 和 时，图象是线段.201x40x（1）当 时，求注意力指标数 y 与时间 x 的函数关系式；0（2）一道数学竞赛题需要讲解 24 分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于 36.第 2 页 共 8 页8课题研究：现有边长为 120 厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大为此，他们对水槽的横截面进行
4、了如下探索：（1）方案：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图 a） 若ACB=90，设 AC=x 厘米，该水槽的横截面面积为 y 厘米 2，请你写出 y 关于 x 的函数关系式（不必写出 x 的取值范围） ，并求出当 x 取何值时，y 的值最大，最大值又是多少？方案：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图 b） 若ABC=120，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案中的 y 的最大值比较大小（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程） 9如图，抛物线 与双曲线 相交于点 A，B. 已知点 A
5、 的坐标为（1，4） ，点 B 在第2(0)yaxbkyx三象限内，且AOB 的面积为 3（O 为坐标原点）.（1）求实数 a，b，k 的值；（2）过抛物线上点 A 作直线 ACx 轴，交抛物线于另一点 C，求所有满足EOCAOB 的点 E 的坐标.10.如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于 点.230ymxxAB、 yC（1）请求出抛物线顶点 的坐标（用含 的代数式表示） ， 两点的坐标；M、（2）经探究可知， 与 的面积比不变，试求出这个比值；BC A（3）是否存在使 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.第 3 页 共 8 页11已知抛物线 与动直线 有公共
6、点 ， ，且 .2yxcxty)12( ),(1yx),(2 3221tx（1）求实数 t 的取值范围；（2）当 t 为何值时，c 取到最小值，并求出 c 的最小值.12.已知 ， ， ，且 ，求 的最小值.0ab0cacb242ac4213. 在自变量 x 的取值范围 59x60 内，二次函数 的函数值中整数的个数是( )21yxA.59 B.120 C.118 D.6014. 在直角坐标系中，抛物线 与 x 轴交于 A，B 的两点.若 A，B 两点到原点的距223(0)4yxm离分别为 OA，OB，且满足 ，则 m=_ _.1OBA15. RtABC 的三个顶点 A，B，C 均在抛物线 上
7、，并且斜边 AB 平行于 x 轴若斜边上的高为 h，则2xy（ ）（A）h216. 设 0k1，关于 x 的一次函数 ，当 1x2 时的最大值是（ ）)1(kxy（A）k （B） （C ） （D）k12k117. 平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数 的图象上整点12xy的个数是 （ ）（A）2 个 （B）4 个 （C ）6 个 （D）8 个18. 函数 的最小值是 12xy19.对 ，二次函数 的最小值为 （ ）20ba， )(bxay第 4 页 共 8 页图 6-2 y x 0 1 A. B. C. D. 2)(ba2)(ba2)(ba2)(ba20.两抛物
8、线 和 与 x 轴交于同一点（非原点） ，且 a、b、c 为正数，22baxy22bcxyac，则以 a、b、c 为边的三角形一定是 （ ）A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形21.当 n=1，2，3，2003，2004 时，二次函数 的图象与 x 轴所截得的线1)2()(2xnxny段长度之和为（ ）A. B. C. D. 02043205406522.已知二次函数 图象如图 6-2 所示，则下列式子： ab，ac，a+b+c，cbxaya-b+c，2a+b，2a-b 中，其值为正的式子共有 个.23.如果当 m 取不等于 0 和 1 的任意实数时
9、，抛物线 在平面直角坐标系上都过两mxy321个定点，那么这两个定点间的距离为24.已知抛物线 与 x 轴两个交点 A、B 不全在原点的左侧，抛物线顶点为 C，要使ABC1)(2kxy恰为等边三角形，那么 k 的值为25.设 x 为实数，则函数 的最小值是12563xy26.设二次函数 的图象经过点（2，-1） ， 且与 x 轴交于不同的两点 A（x 1，0） B（x 2，0） ，qpxy2M 为二次函数图象的顶点，求使 AMB 面积最小时的二次函数的解析式 .27.已知：3x 2+2y2=6x, x 和 y 都是实数，求：x 2+y2 的最大、最小值.28. 中,B= ，AC=1，求 BA+
10、BC 的最大值及这时三角形的形状.AC60第 5 页 共 8 页FEGA BCD A tsONMHGFED CBAD tsOB tsOC tsO29.如图，点 、 、 在直线 上，点 、 、 、 在直线 上，若 ， 从如图所示 的GDCaEFABbab RtEF位置出发，沿直线 向右匀速运动，直到 与 重合运动过程中 与矩形 重合部分的面积bGCEFAB随时间 变化的图象大致是（ ）St30.（南京）如图， 、 分别是边长为 的正方形 的边 上的点， ,直线 EF4ABC， 413E， EF交 的延长线于 ，过线段 上的一个动点 作 ， ，垂足分别为 ，设 ，ABGHMG NA MN， x矩形
11、 的面积为MHNy 求 与 之间的函数关系式；x 当 为何值时，矩形 的面积最大，最大面积为多少？AN31.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示（1）请说明图中、两段函数图象的实际意义（2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大.第 6 页 共
12、8 页-21Ox 价价 kg价价价价价O 602045 764080 价价价价价价 kg价O32函数 的最小值为 m，则当 m 达到最大时，x_623)12(kxkxy（2004 年全国初中数学联赛）33设 a，b 为实常数，k 取任意实数时，函数 的图像与 x)3()(2)1(22 bakxkaxky 轴交于点 A（1，0） （1）求 a，b 的值（2）若函数与 x 轴的另一个交点为 B，当 k 变化时，求 AB 的最大值34.（2007 年福州）如图所示，二次函数 （a0）的图象经过点（1，2） ，且与 x 轴交点的2yxbc横坐标分别为 、 ，其中 2 1，0 1，下列结论：1x2 ；
13、；a1； .其中正确的有：（ ）40abcb284cA、1 个 B、2 个 C 、3 个 D、4 个35.（2007 年天门）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为 6 米，宽度 OM 为 12 米，现在O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系（如图所示） （1）直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使 A、D 点在抛物线上，B、C 点在地面 OM上为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆 AB、AD、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下第 7 页 共 8 页3
14、6.（2009 年天津市）已知函数 为方程 的两个根，点 在21yxbxc， ， ， 120y1MT，函数 的图象上2y（）若 ，求函数 的解析式；132， 2y（）在（）的条件下，若函数 与 的图象的两个交点为 ，当 的面积为 时，求 的值；1 AB， 12t（）若 ，当 时，试确定 三者之间的大小关系，并说明理由010tT， ，37. 已知点 A(0,3)，B(-2,-1)，C (2,-1) P(t,t2)为抛物线 yx 2上位于三角形 ABC 内（包括边界）的一动点，BP 所在的直线交 AC 于 E， CP 所在的直线交 AB 于 F。将 表示为自变量 t 的函数。BCE38在直角坐标系
15、 xOy 中，一次函数 的图象与 轴、 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，bkxy0（ ） xy且使得OAB 的面积值等于 3OAB（1） 用 b 表示 k；（2） 求OAB 面积的最小值 39已知点 A，B 的坐标分别为（1，0） ， （2，0） 若二次函数 23yxa的图象与线段 AB 恰有一个交点，则 a的取值范围是 40已知点 M，N 的坐标分别为（0，1） ， （0，1） ，点 P 是抛物线 214yx上的一个动点（1）判断以点 P 为圆心，PM 为半径的圆与直线 y的位置关系；第 8 页 共 8 页（2）设直线 PM 与抛物线 214yx的另一个交点为点 Q，连接 NP，NQ，求证： PNMQ
