1、1垂径定理和圆周角专题一、知识梳理1. 圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半例 1：如图，A 是O 的圆周角，且A35,则OBC=_.例 2：如图，圆心角AOB=100，则ACB= 例 3：（2007 威海）如图， 是O 的直径，点 都在O 上，若ABCDE， ，则 CDE 例 4：（2007 常德）如图 2，O 的直径 过弦 的中点 ， ，则CDEFG40EODDCF2. 圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90的圆周角所对的弦是直径。例 5：已知：如图，AD是O的直径，ABC=30，则CAD=_ . . ._D_C_B _A_O例 6
2、：（2007 南京）已知O 中， ， ，则O 的半径为 30C2cmABcmBOCA OA BC（例 4）ABEE FCDGO例 5O2例 7：（2006 青岛）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面. (1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽 AB16cm，水面最深地方的高度为 4cm，求这个圆形截面的半径.二、巩固练习1.（2007 浙江温州）如图，已知 是O 的圆周角， ，则圆心角ACB50ACB是（ ）AOBA B. C. D. 40508102.(2007 四川宜宾)
3、已知：如图，四边形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 是劣弧 上不同CD 于点 C 的任意一点，则BPC 的度数是（ ）A45 B60 C75 D903.（2006陕西省）ABC 中，A30，B60，AC6，则ABC 外接圆的半径为（ ）A B C D33234.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）A30 B150 C30或 150 D605.(2007 上海)小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图 5 所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）A第块 B第块 C第块 D第块6.（2008 山东德州）如图所示，AB 是
4、O 的直径，ADDE，AE 与 BD 交于点 C，则图中与BCE 相等的角有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 7.（2008 浙江台州）下列命题中，正确的是（ ）PODCBABEDACO3顶点在圆周上的角是圆周角；圆周角的度数等于圆心角度数的一半； 的圆周角90所对的弦是直径；不在同一条直线上的三个点确定一个圆；同弧所对的圆周角相等A B C D8.（2008 南京）如图，O 是等边三角形 的外接圆， O 的半径为 2，AB则等边三角形 的边长为（ ）CA B C D352359.（2006盐城市）已知四边形 ABCD 内接于O，且A：C12，则BOD . 10.（2007 山东
5、枣庄）如图， ABC 内接于 O， BAC=120， AB=AC， BD 为 O 的直径，AD=6，则 BC 。11.（2008 南京）如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点 处安装了一台监视器，它A的监控角度是 为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 65台。12.（2008 龙岩）如图，量角器外沿上有 A、 B 两点，它们的读数分别是 70、40，则 1的度数为 。13.（2008 海南）如图, AB 是O 的直径，点 C 在O 上，BAC=30，点 P 在线段 OB上运动.设ACP=x，则 x 的取值范围是 .14.（2008 庆阳）图中 外接圆的圆心坐标是 AB15.（
6、2007 山东济宁）如图所示，小华从一个圆形场地的 A 点出发，沿着与半径 OA 夹角为 的方向行走，走到场地边缘 B 后，再沿着与半径 OB 夹角为 的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧 AB 上，此时AOE56，则 的度数是 . 16.（2007 沈阳） 如图，已知 A、B、C、D 是O 上的四个点，ABBC，BD 交 AC 于点E，连接 CD、AD （第 8 题）AB CO（第 11 题）A65OA BOCxP4（1）求证：DB 平分ADC；（2）若 BE3，ED 6，求 AB 的长 第 16 题图17.（2008 广东湛江）如图所示，已知 AB 为O 的直径，C
7、D 是弦，且 ABCD 于点E连接 AC、OC、BC（1）求证： ACO= BCD （2）若 EB=8cm，CD= 24c，求O 的直径18.（2008 陕西）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC5，CB12，AD 是ABC 的角平分线，过 A、C、D 三点的圆与斜边 AB 交于点 E，连接 DE。（1）求证：ACAE；（2）求ACD 外接圆的半径。1、 （2011 牡丹江）已知 0 的直径 AB=40，弦 CDAB 于点 E，且 CD=32，则 AE 的长为（ ）A、12 B、8 C、12 或 28 D、8 或 322、 （2011 绍兴）如图， AB 为O 的直径，点 C 在O 上若
8、C=16，则BOC 的度数是（ ）A、74 B、48 C、32 D、161如图 1，O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，那么弦 AB 的长是（ EDBAOCAC BDE5）A4 B6 C7 D8答案：D2如图，O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的一个动点，则线段 OM 长的最小值为（ ）A2 B3 C4 D5答案：B3过O 内一点 M 的最长弦为 10 cm，最短弦长为 8cm，则 OM 的长为（ ）A9cm B6cm C3cm D cm41答案：C4如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 OA、OB 在 O 点钉在一起
9、，并使它们保持垂直，在测直径时，把 O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8 个单位，OF=6 个单位，则圆的直径为（ ）A12 个单位 B10 个单位 C1 个单位 D15 个单位答案：B5如图， 的直径 垂直弦 于 ，且 是半径 的中点， ，O ABCDPOB6cmCD则直径 的长是（ ）AA B C D23cm32c42cm43c答案：D6下列命题中，正确的是（ ）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 6B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案：D7如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧） ，其跨度
10、为 24 米，拱的半径为 13米，则拱高为( )A5 米 B8 米 C7 米 D5 米 3答案：B8O 的半径为 5cm，弦 AB/CD，且 AB=8cm,CD=6cm,则 AB 与 CD 之间的距离为( )A 1 cm B 7cm C 3 cm 或 4 cm D 1cm 或 7cm答案：D9已知等腰ABC 的三个顶点都在半径为 5 的O 上，如果底边 BC 的长为 8，那么BC 边上的高为( )A2 B8 C2 或 8 D3 答案：C二.填空题1已知 AB 是O 的弦，AB8cm，OCAB 与 C，OC=3cm，则O 的半径为 cm答案：5 cm2在直径为 10cm 的圆中，弦 AB的长为
11、8cm，则它的弦心距为 cm答案：3 cm3在半径为 10 的圆中有一条长为 16 的弦，那么这条弦的弦心距等于 答案：64已知 AB 是O 的弦，AB8cm，OCAB 与 C，OC=3cm，则O 的半径为 cm答案：5 cm5如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，若COD120，OE3 厘米，则CD 厘米O图 4E DCBA答案： cm6376半径为 6cm 的圆中，垂直平分半径 OA 的弦长为 cm. 答案： cm637过O 内一点 M 的最长的弦长为 ，最短的弦长为 ，则 OM 的长等于 cm 6cm4cm答案： 58已知 AB 是O 的直径，弦 CDAB，E 为垂足，CD
12、=8，OE=1，则 AB=_答案： 2179如图，AB 为O 的弦，O 的半径为 5，OCAB 于点 D，交O 于点 C， 且CDl，则弦 AB 的长是 答案：610某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB16m，半径 OA10m，则中间柱 CD 的高度为 m答案：411如图，在直角坐标系中，以点 P 为圆心的圆弧与轴交于 A、B 两点，已知 P(4，2)和 A(2，0)，则点 B 的坐标是 BAPOyx答案：(6，0)12如图，AB 是O 的直径，ODAC 于点 D，BC=6cm，则 OD= cm答案：313如图，矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的圆 O 交于点 G、B、F、E
13、，GB=10，EF=8，那么8AD=答案：3 14如图，O 的半径是 5cm，P 是O 外一点,PO=8cm，P=30,则 AB= cmPBAO答案：615O 的半径为 13 cm，弦 ABCD，AB24cm，CD10cm，那么 AB 和 CD 的距离是 Cm答案：7cm 或 17cm16已知 AB 是圆 O 的弦，半径 OC 垂直 AB，交 AB 于 D，若 AB=8，CD=2，则圆的半径为 答案：5 17一个圆弧形门拱的拱高为 1 米，跨度为 4 米，那么这个门拱的半径为 米答案： 218在直径为 10 厘米的圆中,两条分别为 6 厘米和 8 厘米的平行弦之间的距离是厘米答案：7 或 11
14、9如图，是一个隧道的截面，如果路面 宽为 8 米，净高 为 8 米，那么这ABCD个隧道所在圆的半径 是_米OA9ODA BC答案：520如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧 AC 的中点，OE 交弦AC 于点 D。若 AC=8cm，DE=2cm，则 OD 的长为 cm答案：321已知等腰ABC 的三个顶点都在半径为 5 的O 上，如果底边 BC 的长为 8，那么 BC 边上的高为 答案：8 或 222如图，将半径为 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 ，则折痕2cmO的长为 AB 答案： 2323如图，O 的的半径为 5，直径 AB弦 CD，垂足为 E，CD=6，那
15、么 B 的余切值为_答案：3三.解答题1已知O 的弦 AB 长为 10，半径长 R 为 7，OC 是弦 AB 的弦心距，求 OC 的长答案： 262已知O 的半径长为 50cm，弦 AB 长 50cm.求：（1）点 O 到 AB 的距离；（2）AOB 的大小10答案：（1） （2）53063如图，直径是 50cm 圆柱形油槽装入油后，油深 CD 为 15cm，求油面宽度 ABDOBCA答案：404如图，已知O 的半径长为 R=5，弦 AB 与弦 CD 平行，他们之间距离为 7，AB=6 求：弦 CD 的长OCADB答案：85如图，已知 AB 是O 的直径，CDAB，垂足为点 E，如果 BE=OE，AB=12m，求ACD 的周长OCDA BE答案： 1836如图，已知 C 是弧 AB 的中点，OC 交弦 AB 于点 DAOB=120，AD=8求 OA 的长ODACB
