1、 九年级数学专项训练题二次函数学专项训练 1二次函数中考精品压轴题（四边形与存在性问题）解析精选【例 1】综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x 2+2x+3 与 x 轴交于 AB 两点，与y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点（1）求直线 AC 的解析式及 BD 两点的坐标；（2）点 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作直线 lAC 交抛物线于点 Q，试探究：随着 P 点的运动，在抛物线上是否存在点 Q，使以点 AP、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线 AC 上找一点 M，使BDM 的周长最小
2、，求出 M 点的坐标【答案】解：（1）当 y=0 时，x 2+2x+3=0，解得 x1=1，x 2=3。点 A 在点 B 的左侧，AB 的坐标分别为（1，0） ， （3，0） 。当 x=0 时，y=3。C 点的坐标为（0，3） 。设直线 AC 的解析式为 y=k1x+b1（k 10） ，则，解得 。1b=3k+01=b3直线 AC 的解析式为 y=3x+3。y=x 2+2x+3=（x1） 2+4，顶点 D 的坐标为（1， 4） 。（2）抛物线上有三个这样的点 Q。如图，当点 Q 在 Q1 位置时，Q 1 的纵坐标为 3，代入抛物线可得点Q1 的坐标为（2，3） ；当点 Q 在点 Q2 位置时，
3、点 Q2 的纵坐标为3，代入抛物线可得点 Q2 坐标为（1+ ， 3） ；7九年级数学专项训练题二次函数学专项训练 2当点 Q 在 Q3 位置时，点 Q3 的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点 Q3 的坐标为（1 ，3） 。7综上可得满足题意的点 Q 有三个，分别为： Q1（2，3） ， Q2（1+ ，3） ，7Q3（1 ，3） 。7（3）点 B 作 BBAC 于点 F，使 BF=BF，则 B为点 B 关于直线 AC 的对称点连接 BD 交直线AC 与点 M，则点 M 为所求。过点 B作 BEx 轴于点 E。1 和2 都是3 的余角，1=2。RtAOCRtAFB 。 。COA=BF由 A（1
4、，0） ，B（3，0） ，C（0，3）得OA=1， OB=3，OC=3 ，AC= ，AB=4。 ，解得 。BB=2BF= ，310=BF4610BF=51205由1=2 可得 RtAOCRtBEB， 。AOC=BE 。BE= ，BE= 。OE=BEOB= 3= 1310=E25 1253636521B点的坐标为（ ， ） 。设直线 BD 的解析式为 y=k2x+b2（k 20） ，则，解得 。2k+b=41524=138b直线 BD 的解析式为： 。4yx+13联立 BD 与 AC 的直线解析式可得：，解得 。y3x48=+19=513y九年级数学专项训练题二次函数学专项训练 3M 点的坐标为
5、（ ） 。91325 形【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形三边关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解二元一次方程组。【分析】 （1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，由抛物线 y=x 2+2x+3 与 x 轴交于 AB 两点可求得 AB 两点的坐标，同样，由由抛物线 y=x 2+2x+3 与 y 轴交于点 C 可求得 C 点的坐标。用待定系数法，可求得直线 AC 的解析式。由 y=x 2+2x+3=（x1） 2+4 可求得顶点 D 的坐标。（2）由于点 P 在 x 轴上运动，故
6、由平行四边形对边平行的性质求得点 Q 的坐标。（3）点 B 作 BBAC 于点 F，使 BF=BF，则 B为点 B 关于直线 AC 的对称点连接 BD 交直线 AC 与点 M，则根据轴对称和三角形三边关系，知点 M 为所求。因此，由勾股定理求得 AC= ，AB=4 。由 RtAOC Rt AFB 求得 ，从而得10 610BF=5到 BB=2BF= 。由 Rt AOCRtBEB 得到 BE= ，BE= ，OE=BEOB= 3= ，从1205 1253632而得到点 B的坐标。用待定系数法求出线 BD 的解析式，与直线 AC 的解析式即可求得点 M 的坐标。【例 2】.如果一条抛物线 与 x 轴
7、有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交2y=ax+bc0点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”（1） “抛物线三角形” 一定是 三角形；（2）若抛物线 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求 b 的值；2y=x+b(0)（3）如图，OAB 是抛物线 的“ 抛物线三角形 ”，是否存在以原点 O 为对称中心的矩2yxb(0)形 ABCD？若存在，求出过 O、C 、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由【答案】解：（1）等腰。（2）抛物线 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，2y=x+b(0)九年级数学专项训练题二次函数学专项训练 4该抛物线的顶点 满足 （b0） 。2b4， 2
8、=b=2。（3）存在。如图，作OCD 与OAB 关于原点 O 中心对称，则四边形 ABCD 为平行四边形。当 OA=OB 时，平行四边形 ABCD 为矩形。又AO=AB， OAB 为等边三角形。作 AEOB ，垂足为 E， ，即 ， A3O2b=304b=23 。BCD0 - ， ， ， ， ， ， ，设过点 O、C、D 三点的抛物线 ，则2ymx+n，解得， 。12m3n=0=13所求抛物线的表达式为 。2yx+【考点】二次函数综合题，新定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中心对称的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。【分析】 （1）抛物线的顶点必在抛物线与 x 轴两交
9、点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形。（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于 b0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形 ”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出 b 的值。（3 ）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点 O 为对称中心的矩形 ABCD，那么必须满足 OA=OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形 ”必须是等边三角形，首先用 b表示出 AE、OE的长，通过OAB 这个等边三角形来列等量关系求出 b的值，进而确定 A、B 的坐标，即可确定 C、D 的坐标，利用待定系数即可求出过
10、O、C、D 的抛物线的解析式。【例 3】已知，在 RtOAB 中，OAB=90，BOA=30，AB=2若以 O 为坐标原点，OA 所在直九年级数学专项训练题二次函数学专项训练 5线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 B 在第一象限内将 RtOAB 沿 OB 折叠后，点 A 落在第一象限内的点 C 处（1）求点 C 的坐标；（2）若抛物线 经过 C、A 两点，求此抛物线的解析式；2yaxb(0)（3）若上述抛物线的对称轴与 OB 交于点 D，点 P 为线段 DB 上一动点，过 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 M，问：是否存在这样的点 P，使得四边形 CDPM 为等腰梯形？若存在，
11、请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）过 C 作 CHOA 于 H，在 Rt OAB 中，OAB=90，BOA=30，AB=2，OA= 。23将 RtOAB 沿 OB 折叠后，点 A 落在第一象限内的点 C 处，OC=OA= ，AOC=60 。23OH= ，CH=3 。C 的坐标是（ ，3） 。 （2）抛物线 经过 C（ ，3） 、A（ ，0）两点，2yaxb(0)23 ，解得 。此抛物线的解析式为3=+01=13 2y=x+（3）存在。 的顶点坐标为（ ，3） ，即为点 C。2y=x+3MPx 轴，设垂足为 N，PNt，BOA30 0，所以 ONP（ ）3t, 九年
12、级数学专项训练题二次函数学专项训练 6作 PQCD，垂足为 Q，MECD，垂足为 E。把 代入 得： 。x3t2y=x+32y3t6 M（ ， ） ，E（ ， ） 。t6同理：Q（ ，t） ，D （ ，1） 。33要使四边形 CDPM 为等腰梯形，只需 CEQD ，即 ，解得： ， （舍去） 。2t6t14t32t P 点坐标为（ ， ） 。43 存在满足条件的点 P，使得四边形 CDPM 为等腰梯形，此时 P 点的坐为（ ，43） 。43【考点】二次函数综合题，翻折变换（折叠问题） ，折叠对称的，解二元一次方程和一元二次方程，曲线上点的坐标与方程的关系，含 30 度角的直角三角形的性质，勾股
13、定理，等腰梯形的判定。 【分析】 （1）过 C 作 CHOA 于 H，根据折叠得到 OC=OA=4，A0C=60，求出 OH 和 CH 即可。（2）把 C（ ，3） 、A（ ，0）代入 得到方程组，求出方程组的解即可。232yaxb（3）如图，根据等腰梯形的判定，只要 CEQD 即可，据此列式求解。【例 4】如图 1，已知ABC 中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm 如果点 P 由 B 出发沿 BA 方向点 A 匀速运动，同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为 2cm/s连接 PQ，设运动的时间为t（单位：s） （0t4） 解答下列问题：（1）当 t
14、 为何值时，PQBC（2）设AQP 面积为 S（单位：cm 2） ，当 t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值（3）是否存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把ABC 的面积平分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由九年级数学专项训练题二次函数学专项训练 7（4）如图 2，把AQP 沿 AP 翻折，得到四边形 AQPQ那么是否存在某时刻 t，使四边形 AQPQ为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由【答案】解：AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，由勾股定理逆定理得ABC 为直角三角形，C 为直角。（1）BP=2t，则 AP=102t若 PQBC，则 ，即 ，
15、解得 。APQB102t820t9当 s 时，PQ BC。20t9（2）如图 1 所示，过 P 点作 PDAC 于点 D。则 PDBC，APDABC。 ，即 ，解得 。ADBC02t166Pt5S= AQPD= 2t（ ）12t5。26t+t+5当 t= s 时，S 取得最大值，最大值为 cm2。215（3）不存在。理由如下：假设存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把ABC 的面积平分，则有 SAQP = SABC ，而 SABC = ACBC=24，此时 SAQP =12。1212由（2）可知，S AQP = ， =12，化简得：t 25t+10=0 。6t+56t5=（5） 24110=15
16、0，此方程无解，不存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把ABC 的面积平分。（4）存在。假设存在时刻 t，使四边形 AQPQ为菱形，则有 AQ=PQ=BP=2t。如图 2 所示，过 P 点作 PDAC 于点 D，则有 PDBC，APDABC 。 ，即 。ADBC102tPA68九年级数学专项训练题二次函数学专项训练 8解得：PD= ，AD= ，6t58t5QD=ADAQ= 。12=在 Rt PQD 中，由勾股定理得：QD 2+PD2=PQ2，即（ ） 2+（ ） 2=（2t） 2，18t56t5化简得：13t 290t+125=0，解得：t 1=5，t 2= 。53t=5s 时，AQ=10cmA
17、C ，不符合题意，舍去，t= 。21由（2）可知，S AQP = 26t+5S 菱形 AQPQ=2SAQP =2（ ）=2 （ ） 2+6 = 。t6513540169存在时刻 t= ，使四边形 AQPQ为菱形，此时菱形的面积为 cm2。213【考点】动点问题，勾股定理和逆定理，平行的判定，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程和一元二次方程根的判别式，二次函数的最值，菱形的性质。【分析】 （1）由 PQBC 时的比例线段关系，列一元一次方程求解。（2）如图 1 所示，过 P 点作 PDAC 于点 D，得APDABC ，由比例线段，求得 PD，从而可以得到 S 的表达式，然后利用二次函数的极值
18、求得 S 的最大值。（3）利用（2）中求得的AQP 的面积表达式，再由线段 PQ 恰好把ABC 的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于 0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻 t，使线段 PQ恰好把ABC 的面积平分。（4）根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得 PQ、QD 和 PD 的长度；然后在 RtPQD中，求得时间 t 的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于AQP 面积的 2 倍，从而可以利用（2）中AQP 面积的表达式，这样可以化简计算。【例 5】如图 1，在直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 在 y 轴正半轴上，二次函数 y=ax2+ x
19、+c 的16图象 F 交 x 轴于 B、C 两点，交 y 轴于 M 点，其中 B（-3，0） ，M（0，-1） 。已知 AM=BC。（1）求二次函数的解析式；（2）证明：在抛物线 F 上存在点 D，使 A、B、C 、D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线 BD 的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线 l 过 D 且分别交直线 BA、BC 于不同的 P、Q 两点，AC、BD 相交于九年级数学专项训练题二次函数学专项训练 9N。若直线 lBD，如图 1 所示，试求 的值；1BPQ若 l 为满足条件的任意直线。如图 2 所示，中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出
20、反例。【答案】解：（1）二次函数 y=ax2+ x +c 的图象经过点 B（-3，0），M（0，-1），16 ，解得 。9a3c0c11a6c二次函数的解析式为： 。2yx1（2）证明：在 中，令 y=0，得 ，解得 x1=3，x 2=2。21yx62x106C（2，0），BC=5。令 x=0，得 y=-1，M （0，1），OM=1。又 AM=BC，OA=AMOM=4。A （0，4）。设 ADx 轴，交抛物线于点 D，如图 1 所示，则 ，解得 x1=5，x 2=6（位于第二象限，舍去）。2D1y=O6D 点坐标为（5，4）。AD=BC=5。又ADBC， 四边形 ABCD 为平行四边形，即在抛
21、物线 F 上存在点 D，使A、B、C 、D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。设直线 BD 解析式为：y=kx+b，B（3，0），D （5，4），九年级数学专项训练题二次函数学专项训练 10 ，解得： 。3kb0 541k23b直线 BD 解析式为： 。1y x2（3）在 RtAOB 中， ，ABO5又 AD=BC=5，ABCD 是菱形。若直线 lBD，如图 1 所示，四边形 ABCD 是菱形，ACBD。AC直线l。 。BACN1PQD2BA=BC=5， BP=BQ=10 。 。11BPQ05若 l 为满足条件的任意直线，如图 2 所示，此时中的结论依然成立，理由如下：ADBC，CDAB，
22、PADDCQ 。 。APDCQAPCQ=ADCD=55=25。 1115APBPQ APBCQ 5PC。00AC10125+2+2+Q5【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形、菱形的判定和性质，平行线间的比例线段关系，相似三角形的判定和性质，分式化简。【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式。（2）首先求出 D 点的坐标，可得 AD=BC 且 ADBC，所以四边形 ABCD 是平行四边形；再根据 B、D 点的坐标，利用待定系数法求出直线 BD 的解析式。（3）本问的关键是判定平行四边形 ABCD 是菱形。推出 AC直线 l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出 BP、CQ 的长度，计算出。1PQ5
