1、二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 二次函数基础知识 相关概念及定义 二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函2yaxbca，0a数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零二次函数的定义域是全体实数bc， 二次函数 的结构特征：2yaxbc 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项， bc 二次函数各种形式之间的变换 二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中cbxay2 khay2.kh4， 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ； ； ； ；2axykxy2
2、2hxaykhxay2.cb 二次函数解析式的表示方法 一般式： （ ， ， 为常数， ） ；2abc0 顶点式： （ ， ， 为常数， ） ；()yaxhkhka 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.1201x2x 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式40bc才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数 的性质2axy 二次函数 的性质2yaxc 二次函数 的性质：2yaxh的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0，轴y时， 随 的增大而增大；
3、时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 a向下 ，轴 时， 随 的增大增大而减小；时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x有最大值 的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质性质0向上 0c，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 ca向下 ，轴 时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大x0x值 二次函数 的性质2yaxhk 抛物线 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.2yaxbc 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向0a0a下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 对称轴：平行于 轴（或重合）
4、的直线记作 .特别地， 轴记作直线y2bxay.0x 顶点坐标坐标： ），（ abc422 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 抛物线 中， 与函数图像的关系cbxay2, 二次项系数二次函数 中， 作为二次项系数，显然 a0a 当 时，抛物线开口向上， 越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大；0 当 时，抛物线开口向下， 越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大a总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决a定开口的大小 一次项系数 b在二次项系数 确定的前提下， 决定了
5、抛物线的对称轴ab的符a号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 0h，X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随xhyxxhy的增大而减小； 时， 有最小值 hy0a向下 ，X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随的增大而增大； 时， 有最大值 xx的符号a开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0向上 k，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 ka向下 h，X=h时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大yxxh值 在 的前提下，0a当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；b02ay当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；当 时
6、， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧0y 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即a当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；b02a当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；0 y当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置ab总结： 常数项 c 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；0yxy 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； 0 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为cyxy负总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确
7、定的ab， 求抛物线的顶点、对称轴的方法 公式法： ，顶点是abcxacbxy4222 ，对称轴是直线 .），（ acb4 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得khxy2到顶点为( , )，对称轴是直线 .hkhx 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 用待定系数法求二次函数的解析式 一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.cbxay2 xy 顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
8、kh 交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：1x2.21x 直线与抛物线的交点 轴与抛物线 得交点为(0, ).ycbaxyc 与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( ,hbxay2 h).cbha2 抛物线与 轴的交点:二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的两个实数根 .抛物线与 轴的1x2 02cx交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 抛物线与 轴相交；0x有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴相离. 平行于 轴的直线与抛物线的交点x可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交
9、点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.kkcbxa2 一次函数 的图像 与二次函数 的图像0knyl 02acbxy的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不G2yn同的解时 与 有两个交点; 方程组只有一组解时 与 只有一个交点；l lG方程组无解时 与 没有交点.G 抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为x cbxay2，由于 、 是方程 的两个根，故021， BA1x20xacb1, acbacbxxxxB 442221212121 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 关于
10、轴对称x关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2yabc 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；hkx hk 关于 轴对称关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2yxcy 2yxc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；ak ak 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是 ；2yxbc 2yxbc关于原点对称后，得到的解析式是 ；hk hk 关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是 ；2yaxc 22yaxca关于顶点对称后，得到的解析式是 hk hk 关于点 对称 mn，关于点 对称后，得到的解析式是2yax， 2yxmnk 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不
11、会发生变化，因此 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方a便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 二次函数图象的平移 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yax，【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0 a时，y 随 x 的增大而增大，简记左减ab2右增；（4）抛物线有最低点，当 x= 时，y 有最小ab2值， c
12、y4最 小 值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x= ，顶点坐标是ab2（ ， ） ；c4（3）在对称轴的左侧，即当 x 时， y 随 x 的增大而减小，简ab2记左增右减；（4）抛物线有最高点，当 x= 时，y 有最ab2大值， cy4最 大 值2、二次函数 中， 的含义：)0,(2 abax是 常 数 ， b、表示开口方向： 0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点；当 0 时，图像与 x 轴没有交点。知识点五 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展
13、思路，以寻求解题方法）y如图：点 A 坐标为（x 1，y 1）点 B 坐标为（x 2，y 2）则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为 A211y0 xB知识点五 二次函数 图象的画法2yaxbc 五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，2yaxbc2()yaxhk确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对0，0c，称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组2hc， x12x关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的y交点.、已
14、知二次函数 )0(2acbxy的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A、 0a， B、 0bc，C、 ， D、 ，、函数 )(2axyxy与 在同一坐标系中的图象可能是（ ）特别记忆-同左上加 异右下减 (必须理解记忆)说明 函数中 ab 值同号，图像顶点在 y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必在 Y 轴右侧异右向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减3、直线斜率： b为直线在y轴上的截距4、直线方程：12tanxyk4、两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式: xyOxyOxyOxyOA B C D)()(tan1121 xxybbkxy 此公式有多种变形 牢记点
15、斜 1ky斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: y kx b(k0)截距 由直线在 轴和 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：xy1byax牢记 口诀 -两点斜截距-两点 点斜 斜截 截距5、设两条直线分别为， ： ： 若 ，则有1l1ykxb2l2ykxb12/l且 。 若1212/lk12b1l6、点P（ x0， y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: 1)1(20220kkd7、抛物线 中， a b c,的作用cxay（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2xya（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线b cbxy2，故： 时，对称轴为 轴； （即 、 同号）时，对称ax0b0a轴在 轴左侧； （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧. 口诀 - 同yaby左 异右（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccxy2y当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：0xcba2 c ，抛物线经过原点;c ,与 轴交于正半轴；0y ,与 轴交于负半轴.c以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 y
