1、- 1 -二次函数综合练习题一、选择题1 （2013 江苏苏州，6，3 分）已知二次函数 yx 23x m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为(1，0)，则关于 x 的一元二次方程 x23xm0 的两实数根是（ ） Ax 11，x 21 Bx 11，x 22Cx 11，x 20 Dx 11，x 23【答案】B【解析】二次函数 yx 23x m 的图象与 x 轴的一个交点为（ 1，0） ，01 23m，解得 m2，二次函数为 yx 23x2设 y0，则 x23x 20解得 x21，x 22，这就是一元二次方程 x23x m 0 的两实数根所以应选 B来源: 中教网*&#【方法指导】考查一元
2、二次方程的根、二次函数图象与 x 轴交点的关系当 b2 4ac0 时，二次函数 yax 2+bx+c 的图象与 x 轴的两个交点的横坐标是一元二次方程 ax2+bx+c0 的两个根【易错警示】因审题不严，容易错选；或因解方程出错而错选2 （2013 江苏扬州，8，3 分）方程 的根可视为函数 的图象与函01323xy数 的图象交点的横坐标，则方程 的实根 所在的范围是（ ） xy1x0A B C D 来源:% 中&教*网4031020120x【答案】C【解析】首先根据题意推断方程 x32x1=0 的实根是函数 y=x23 与 的图象交点的横坐标，再根据四个选项中 x 的取值代入两函数解析式，找
3、出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程 x32x1=0 的实根x0 所在范围解：依题意得方程 x32x 1=0 的实根是函数 y=x22 与 的图象交点的横坐标，这1两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限当 x= 时，y=x 22=2 ， =4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；1416yx当 x= 时，y=x 22=2 ， =3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；39当 x= 时，y=x 22=2 ， =2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；4yx- 2 -当 x=1 时，y=x 22=3， =1，此时抛物线的图象在反比例函数上方1yx所以
4、方程 的实根 所在的范围是 3002130x所以应选 C【方法指导】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点” ，还要善于分析各图象的变化趋势【易错警示】不会得出函数解析式，不会观察图象而出错3. （2013 重庆市(A)，12，4 分）一次函数 yaxb（a0） 、二次函数 yax 2bx 和反比例函数 y (k0)在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为(2，0) 则下列x结论中，正确的是（ ）来源:中教&网%Ab2ak Babk Cab0 Dak0【答案】D【解析】一次函数与二次函数的图象交点 A 的坐标为（ 2，0） ， 2a
5、b0， b2a来* 源:%zzstep.&com又 抛物线开口向上，a0，则 b0而反比例函数图象经过第一、三象限， k02ak 2a，即 b2ak 故 A 选项错误假设 B 选项正确，则将 b2a 代入 abk，得 a2ak，ak又a0，k0，即 k0，这与 k0 相矛盾，ab k 不成立故 B 选项错误再由 a0，b2a，知 a，b 两数均是正数，且 ab，b a0故 C 选项错误来#源: 中教%*&网这样，就只有 D 选项正确 来源:中#国教*育出版网%【方法指导】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的图象，属于图象共存型问题解决这类问题的关键是熟练掌握这三类函数的图象及性质，能根据图
6、象所在象限的位置准确判断出各系数的符号上面解法运用的是排除法，至于 D 为何正确，可由二次函数yax 2bx 与反比例函数 y (k0) 的图象，知当 x 1 时，x2bayk a，即 ka又因为 a0，k 0，所以 ak 024b2【易错警示】二次函数 a、b、c 的符号的确定与函数图象的关系混淆不清4. （2013 湖南益阳，7，4 分）抛物线 的顶点坐标是（ ）1)3(2xyA(3，1) B(3，1) C(3，1) D( 3，1) 【答案】：A【解析】抛物线 的顶点是（h，k）2()yax- 3 -【方法指导】求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方，再得到顶点坐标；也可以利用顶点公式 求
7、顶点坐标。24(,)bac4 （2013徐州， 28，10 分）如图，二次函数 yx 2bx的图象与 x 轴交于点A（3，0）和点 B，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD，点 P 是 x 轴上一动点，连接 DP，过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点 E（1）请直接写出点 D 的坐标： （3，4） ；（2）当点 P 在线段 AO（点 P 不与 A、O 重合）上运动至何处时，线段 OE 的长有最大值，求出这个最大值；中*国&教%育出版网（3）是否存在这样的点 P，使PED 是等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标及此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积；若不存在，请说明
8、理由考点： 二次函数综合题分析： （1）将点 A 的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点 B 的坐标即可求得正方形 ABCD 的边长，从而求得点 D 的纵坐标；（2）PAt，OEl，利用DAP POE 得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；来%源:中教#网&（3）分点 P 位于 y 轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积解答：解：（1） （3，4） ；（2）设 PAt ，OEl，由DAPPOE DPE90得 DAPPOE，l （t ） 2当 t时，l 有最大值，即 P 为 AO 中点时，OE 的最大值为 ；来源:*中国#教育出版网（3）存在点 P 点在 y
9、 轴左侧时，P 点的坐标为（4，0）由PAD OEG 得 OEPA1，OPOAPA4。ADGOEG， AG：GOAD：OE4：1 来源&%:#中国教育出版网*- 4 -AG 来*源%:z#zstep&.com重叠部分的面积 当 P 点在 y 轴右侧时，P 点的坐标为（4，0） ，此时重叠部分的面积为点评： 本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大中国教育出版网*&%5 （2013鞍山，18，2 分）某商场购进一批单价为 4 元的日用品若按每件 5 元的价格销售，每月能卖出 3 万件；若按每件 6 元的价格销售，每月能卖出 2 万件，假定每月销售件数 y（件）与价格
10、 x（元/件）之间满足一次函数关系（1）试求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？考点：二次函数的应用分析：（1）利用待定系数法求得 y 与 x 之间的一次函数关系式；来源: 中* 教网&#（2）根据“利润（售价成本）售出件数”，可得利润 W 与销售价格 x 之间的二次函数关系式，然后求出其最大值来源:中国# 教育%出版网解答：解：（1）由题意，可设 ykx+b，w#ww.zzs%- 5 -把（5，30000） ， （6，20000）代入得： ，解得： ，所以 y 与 x 之间的关系式为：y10000x+80000； 来源*:#
11、中%国教育出版网（2）设利润为 W，则 W（x4） （10000x+80000）10000（x4） （x8）10000（x 212x+32）10000（x6） 2410000（x6） 2+40000所以当 x6 时，W 取得最大值，最大值为 40000 元答：当销售价格定为 6 元时，每月的利润最大，每月的最大利润为 40000 元点评：本题主要考查利用函数模型（二次函数与一次函数）解决实际问题的能力要先根据题意列出函数关系式，再代数求值解题关键是要分析题意根据实际意义求解注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识 6 （2013 东营，
12、 24，12 分）已知抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 A（2，0） ，与 y 轴的交点为B（0，1） 来源:*&中教网AO（第 24 题图）xyB(1)求抛物线的解析式；来源:*中国教育%出#版网(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点 C，使以 BC 为 直径的圆经过抛物线的顶点 A并求出点 C 的坐标以及此时圆的圆心 P 点的坐标(3)在（2）的基础上，设直线 x=t（0t 10）与抛物线交于点 N，当 t 为何值时，BCN 的面积最大，并求出最大值来源 #:中国教%育出*版网分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解（2）设 C 点坐标为（x，y） ，由题
13、意可知 过点 C 作 轴于点 D，连09BAx接 AB，AC 易证 ，根据对应线段成比例得出 的关系式 ，AOBCD:,y24再根据点 C 在抛物线上得 ，联立两个关系式组成方程组，求出 的值，214yx,xy- 6 -再根据点 C 所在的象限确定点 C 的坐标。P 为 BC 的中点，取 OD 中点 H，连 PH，则 PH为梯形 OBCD 的中位线可得 ，故点 H 的坐标为（5，0）再根据点 P 在12OHDBC 上，可求出直线 BC 的解析式，求出点 P 的坐标。来源:z#zs%*（3）根据 ，得 ，所以求 的最大BCNMCNSS1BCNMNBCNS值就是求 MN 的最大值，而 M，N 两点
14、的横坐标相同，所以 MN 就等于点 N 的纵坐标减去点 M 的纵坐标，从而形成关于 MN 长的二次函数解析式，利用二次函数的最值求解。来&%源:中教网中%国教育出版&网#解：(1) 抛物线的顶点是 A(2，0)，设抛物线的解析式为 2()yax=-由抛物线过 B(0，1) 得 ， 2 分41a=-4-抛物线的解析式为 2()yx即 3 分中国*教育&#出版网214yx=-+-(2)设 C 的坐标为(x ，y)来源&:中国%教育*出版网A（第 24(2)答案图）xOyCBPH DA 在以 BC 为直径的圆上BAC =90作 CDx 轴于 D ，连接 AB、AC ， 09BOC09ADCBAODC
15、 AOBCDA4 分 w*=OBCD=OAAD即 1 =2(x 2) =2x4yy- 7 -点 C 在第四象限 5 分来源:中国教育出%#版&网24yx=-+由 解得 来源#*:中教&%网2,14- 120,xy=点 C 在对 称轴右侧的抛物线上点 C 的坐标为 (10，16)6 分来源:中国教育&*出%版网P 为圆心，P 为 BC 中点 来&源*:#中教网取 OD 中点 H，连 PH，则 PH 为梯形 OBCD 的中位线PH= (OB+CD)= 7 分217D(10，0) H (5，0)P (5， ) 12-故点 P 坐标为(5， )8 分7-(3)设点 N 的坐标为 ，直线 x=t（0t1
16、0）与直线 BC 交于点 M214tt-+，来源:m12BMNStD=(0)CMNStD=-AxOyCBMNx=t（第 24(3)答案图）所以 9 分来&源:zzs%tep#.*com102BCNMCNSSDD=+=- 8 -设直线 BC 的解析式为 ，直线 BC 经过 B(0， 1)、C (10，16)来源:%中*& 教网ykxb=+所以 成立，解得： 10 分1,06bk=-+ 3,21-所以直线 BC 的解析式为 ，则点 M 的坐标为 www#zz%stepcomyx=-312t-，MN= = 11 分214t-+-312t254t-+25()0BCNStD=-= =24t-+215()
17、4t-+所以，当 t=5 时， 有最大值，最大值是 12 分BCNSD4点拨：（1）已知抛物线的顶点坐标（h，k）一般可设其解析式为 (2)2yaxhk求最值问题一般考虑根据已知条件构造二次函数求解来#源:中%国教育出&版网来*源%:&w*w7 （2013济宁，23，?分）如图，直线 y= x4 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线y=x 交于点 C在线段 OA 上，动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动，同时动点 P 从点 A 出发向点 O 做匀速运动，当点 P、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点 P、Q 作 x 轴的垂线，交直线 AB、OC 于
18、点 E、F，连接EF若运动时间为 t 秒，在运动过程中四边形 PEFQ 总为矩形（点 P、Q 重合除外） 来#&*源:中教网（1）求点 P 运动的速度是多少？（2）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 为正方形？（3）当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 的面积 S 最大？并求出最大值来源&:中*教#网- 9 -w*ww.z%考点：一次函数综合题分析：（1）根据直线 y= x4 与坐标轴分别交于点 A、B，得出 A，B 点的坐标，再利用 EPBO，得出 = = ，据此可以求得点 P 的运动速度；（2）当 PQ=PE 时，以及当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形，分别求出即可；来源:zzs#
19、&（3）根据（2）中所求得出 s 与 t 的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可解答：解：（1）直线 y= x4 与坐标轴分别交于点 A、B，x=0 时， y=4，y=0 时，x=8，来 源:中国*教育出版网#% = = ，当 t 秒时，QO=FQ= t，则 EP=t，EPBO， = = ，中#国教育出&版*网AP =2t，动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动，点 P 运动的速度是每秒 2 个单位长度；（2）如图 1，当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形，则 OQ=FQ=t， PA=2t，中国& 教育出版 网%QP=8t2t =83t，83t =
20、t，解得：t=2，如图 2，当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形， 来#源:&中*国教育出版网OQ=t， PA=2t，OP=82t， QP=t（82t ）=3 t8，t=3t8，解得：t=4；中国教*育&#（3）如图 1，当 Q 在 P 点的左边时，OQ=t， PA=2t，QP=8t2t=83t ， 来源:S 矩形 PEFQ=QPQF=（83t） t=8t3t 2，当 t= = 时，S 矩形 PEFQ 的最大值为： =4， 中国教#育出&%版网www.zzste*p.c&%om- 10 -如图 2，当 Q 在 P 点的右边时，OQ=t， PA=2t，QP=t（8 2t ）=3t8，S
21、矩形 PEFQ=QPQE=（3t8） t=3t28t，当点 P、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动，网#% 0t4， 来#%源:中*国教育出版网来%源: 中教网#*当 t= = 时，S 矩形 PEFQ 的最小， 中%国教育&出 版* 网t=4 时，S 矩形 PEFQ 的最大值为：34 284=16， 来 源:* 中国教育&出版网综上所述，当 t=4 时，S 矩形 PEFQ 的最大值为：16点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出 P，Q 不同的位置进行分类讨论得出是解题关键 8 （2013 河 北 省 ，25，12 分）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数 Q 量化考核司机的工作业绩Q = W + 100，而 W 的大小与运输次数 n 及平均速度 x（km/h）有关（不考虑其他因素） ，W 由两部分的和组成：一部分与 x 的平方成正比，另一部分与 x 的 n 倍成正比试行中得到了表中的数据（1）用含 x 和 n 的式子表示 Q；（2）当 x = 70，Q = 450 时，求 n 的值；来源:zzste&p%#.com（3）若 n = 3，要使 Q 最大，确定 x 的值；
