1、二次函数知识点总结及相关典型题目一基础知识1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx2.二次函数 的性质2ax（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.y（2）函数 的图像与 的符号关系.y当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；0当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.a（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .y2axy）（ 03.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.cbxy24.二次函数 用配方法可化成： 的形式，khxay2其中 .akh42，5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ； ；2k
2、axy2； ； .2xaykhxy2 cbxay26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；00相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .yhxyx7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方a向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，顶点是 ，bcaxcbaxy4222 ），（ abc422对称轴是直线 .（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为khxay
3、2( , )，对称轴是直线 .hkhx（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.9.抛物线 中， 的作用cbaxy2a,（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2axy（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线cbxay2，故： 时，对称轴为 轴； （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；ax00by （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.0abby（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccbxay2当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：xc
4、2yc ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半轴.0cy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .0ab10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy（ 轴）0xy（0,0）k（ 轴） (0, )khh( ,0)hxy2( , )cba当 时0a开口向上当 时开口向下 abx2( )abc422，11a,b,c, b 2-4ac,a+b+c,a-b+c 等符号的确定12二次函数值恒正或恒负的条件：恒正的条件：a0 且 ；恒负的条件：a0 且 。013抛物线的平移规律：在顶点式的基础上-“左加右减，上加下
5、减” 。在一般式的基础上-14两抛物线关于坐标轴对称的条件：抛物线 关于 x 轴对称的解析式：khxay2抛物线 关于 x 轴对称的解析式：15.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.cbaxy2 xy（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .1x2 21xa16二次函数的最值问题(1)公式法:y=ax 2+bx+c 中,当 a0 时,x=_,y 最小 =_;当 a0,当 x=_,y 最小 =_;若 a0； 其中所有正确结论的序号是（ ）042cbA
6、B C D 7 (0);kxk为 常 数 ， (,0);ykxbk为 常 数 ， y为 常 数 ， 2aa为 常 数 ，其中，函数 y 的值随着 x 值得增大而减少的是（ ）A B、 C、 D、 8已 知 抛 物 线 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 下 列 说 法 正 确 的 是 （ ）2bcA ；0cB若 y 0，则 与 x 轴的交点是（1，0） ， （3，0） ；xCy 随 x 的增大而减小的自变量 x 的范围是：x1；D若 y 0，则 x 的取值范围是：x1 或 x39小明、小亮、小梅、小花四人共同探讨代数式 x24x+5 的值的情况他们作了如下分工：小明负责找其值为 1 时的
7、x 的值，小亮负责找其值为 0 时的 x 的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ）A小明认为只有当 x=2 时， x24x+5 的值为 1B小亮认为找不到实数 x，使 x24x+5 的值为 0C小梅发现 x24x+5 的值随 x 的变化而变化，因此认为没有最小值D小花发现当 x 取大于 2 的实数时， x24x+5 的值随 x 的增大而增大，因此认为没有最大值10.抛物线 的顶点坐标在第三象限，则 的值为（ ）)(my mA B C D 1m或 10或 0111已知二次函数 y=3(x-1)2+k 的图象上有 A( ,y1)、B(2,y 2)、
8、C(- ,y3)三个点,则 y1、y 2、y 35的大小关系为( )A.y1y2y3 B.y2y1y3 C.y3y1y2 D.y3y2y112 由 于 被 墨 水 污 染 ,一 道 数 学 题 仅 能 见 到 如 下 文 字 :“已 知 二 次 函 数 y=x2+bx+c 的 图 象 过 点 (1,0)求证 :这 个 二 次 函 数 的 图 象 关 于 直 线 x=2 对 称 .”根 据 现 有 信 息 ,题 中 的 二 次 函 数 图 象 不 具 有 的 性 质 是 ( )A.过点(3,0) B.顶点为(2,-2)C.在 x 轴上截得的线段长是 2 D.与 y 轴的交点是 (0,3)13如图
9、函数 y=ax2-bx+c 的图象过点(-1,0),则 的值是 ( )baccbaA.-3 B.3 C.-1 D.114已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,下面结论:(1)a+b+c0;(3)abc0; (4)b=2a.其中正确的结论有( )A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个15二次函数 y=ax2bxc 的图象在 x 轴的上方的条件是（ ）Aa0，b 2 4ac0 Ba0，b 24ac0Ca0，b 2 4ac0 Da0，b 24ac016 如 图 ， 如 果 函 数 y=kx b 的 图 象 在 第 一 、 二 、 三 象 限 内 ， 那 么 函 数 y=kx2
10、bx 1 的 大 致 图 象 是 （ ）17已知抛物线 y=ax2bxc，如图所示，则 x 的方程 ax2bxc3=0 的根的情况是（ ）A有两个不相等的正实根B有两个异号实数根C有两个相等实数根D没有实数根18下列四个函数：y=x1；y= ；y=x 2；y=2x（1x2） 其中图象是中心对3称图形，且对称中心是原点的共有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个19已知函数 y=ax2bxc 的图象如图所示，关于系数 a、b、c 有下列不等式：a0；b0；c0；2ab0；abc0其中正确个数为（ ）A1个B 2个 C3 个 D4 个20已知二次函数 y=ax2bxc 的图象如图所示，那么下
11、列判断正确的是（ ） （多选）Aabc0 Bb 24ac0C2ab0 D4a2bc021如图，二次函数 y=x24x3 的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，则ABC 的面积为（ ）A6 B4 C3 D122函数y=ax2与y=axa（a0在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）23一台机器原价为 60 万元，如果每年的折旧率为 x，两年后这台机器的价位为 y 万元，则 y与 x 之间的函数表达式为（ ）Ay=60（1x） 2 By=60 （1x）Cy=60x 2 Dy=60（ 1x） 224抛物线 y=x2axb 向左平移 2 个单位再向上平移 3 个单位得到抛物线 y=x22x
12、1，则（ ）Aa=2，b=2 Ba=6，b=6 Ca=8，b=14 Da=8，b=18二、填空题1抛物线 y=3(x+4)(x-2)与 x 轴的两交点坐标为_,与 y 轴的交点坐标为_.2已知抛物线 y=x2（m 1）x 的顶点的横坐标是 2，则 m 的值是 43二次函数 y=x22x3 的最小值是 4抛物线 y=x22 xa 2 的顶点在直线 x=2 上，则 a 的值是 5二次函数 y=x 26x5，当 时， ，且 随 的增大而减小。0yx6已知二次函数 y=x2（ab）xa 的图象如图所示，那么化简 的baa22结果是 7若一抛物线 y=ax2 与四条直线 x=1，x=2，y=1，y=2
13、围成的正方形有公共点，则 a 的取值范围是 8把抛物线 y=2x24x5 向左又向上分别移动 4 个单位，再绕顶点旋转 180，则所得新的图象的表达式是 9请你写出函数 y=3（x1） 2 与 y=x21 具有的一个共同性质 10抛物线 y=x2（2m1） x2m 与 x 轴的两个交点坐标分别为 A（x 1，0） ，B（x 2，0） ，且=1，则 m 的值为 21x11抛物线与直线在同一直角坐标系中，如图所示点 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2）均在抛物线上，点 P3（x 3，y 3）在直线上，其中2x 1x 2，x 32，则 y1、y 2、y 3 的大小关系为 12如图，已知
14、一次函数 y=2x3 的图象与 x 轴交于 A 点，则 y 轴交于 C 点，二次函数y=x2bx c 的图象过点 C，且与一次函数在第二象限交于另一点 B若 AC：CB=1：2，那么这个抛物线的顶点坐标是 三、解答题1已知抛物线 y=x2（a2）x12 的顶点在 x=3 上，求 a 的值及顶点的坐标2已知二次函数 y=x2x6（1）求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标；（2）画出函数图象；（3）观察图象，指出方程 x2x6=0 的解及使不等式 x2x60 成立的 x 的取值范围；（4）求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形面积3如图所示，一单杠高 22m，两立柱之间的距离为 16m ，
15、将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状（1）一身高 07m 的小孩站在离立柱 04m 处，其头部刚好碰到绳子，求绳子最低点到地面的距离；（2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为 04m 的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳子长正好各为 2m，木板与地面平行，求这时木板到地面的距离 （供选用数据： =18， 19， 21）36.64.36.4已知抛物线 y=x22mx m2 的顶点在坐标轴上，直线 y=3xb 经过抛物线的顶点，求直线与两条坐标轴围成的面积5已知二次函数 y=2x2-mx-m2.(1)求证:对于任意实数 m,该二次函数图象与 x 轴总有公共点
16、;(2)若该二次函数图象与 x 轴有两个公共点 A、B, 且 A 点坐标为(1,0),求 B 点坐标.6如图 1 是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是 1 m,拱桥的跨度为 10 m,桥洞与水面的最大距离是 5 m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m 的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中 .(如图 2)(1)求抛物线的解析式;(2)求两盏景观灯之间的水平距离.7如图,直线 y=2x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,将AOB 绕点 O 顺时针转 90得到A1OB1.(1)在图中画出A 1OB1;(2)求经过 A、 A1、B
17、 1 三点的抛物线的解析式.8 已知抛物线 L：y=ax+bx+c（其中 a、b、c 都不等于 0）它的顶点 P 的坐标是（-b/2a，4ac-b/4a） ，与 y 轴的交点是 M（0、c） 。我们称以 M 为顶点，对称轴是 y 轴且过点 P 的抛物线为抛物线 L 的伴随抛物线，直线 PM 为 L 的伴随直线。（1）请直接写出抛物线 y=2x2-4x+1 的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式： 。伴随直线的解析式： 。（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是 y= -x2-3 和 y= -x-3。则这条抛物线的解析式是： （3）求抛物线 L：y=ax 2+bx+c（其中 a
18、、b 、c 都不为 0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式。（4）利用（3）的结论直接写出 y= -x2+4x+2 的伴随抛物线和伴随直线。9.如图直线 y=x3 与 轴、 轴分别交于 B、C 两点，y抛物线 y=x 2bxc 经过点 B 和点 C，点 A 是抛物线与 轴的另一个交点； （1）求此抛物线的解析式；（2）若点 P 在直线 BC 上，且 SPAC = SPAB ，求 P 点的坐标.1210.已知直线 y2xb(b0)与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；一抛物线的解析式为yx 2(b10)xc.若该抛物线过点 B，且它的顶点 P 在直线 y2xb 上，试确定这条抛物线的解析式；过
19、点 B 作直线 BCAB 交 x 轴于点 C，若抛物线的对称轴恰好过 C 点，试确定直线y2xb 的解析式.11二次函数 （a0）的图像如图所示cbxy2（1）试判断 a、b、c 及 的范围42（2）若|OA | OB|，试证：acb1012已知二次函数 的图象经过点 A（2，0）且与直线 相交于cbxay2 34xy8642-2-4-6-8-10 -5 5 10DC BA PB、C 两点，点 B 在 轴上，点 C 在 轴上；（1）求二次函数的解析式；（2）如果xyP（ ， ）是线段 BC 上的动点， O 为坐标原点，试求 POA 的面积 与 之间的函数关xy POASx系式，并求自变量取值范围；（3）是否存在这样的点 P，使 PO = AO？若存在，求出 P 点的坐标，若不存在，请说明理由；
